Endomorphismus, inv.Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Else20 |
| Aufgabe | K Körper, V endl.-dimensionaler K-Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus. Für k [mm] \in \IN_0 [/mm] definiert man [mm] f^{k} [/mm] als Hintereinanderausführung von k Kopien von f mit sich selbst. Für p= [mm] \summe_{k} a_{k} x^{k} \in [/mm] K[x] ist p(f):= [mm] \summe_{k}a_{k} f^{k}. [/mm]
Sei v [mm] \in [/mm] V und sei p ein normiertes Polynom vom Grad d>=1 mit p(f)(v)=0. Zeigen Sie, dass der kleinste f-invariante Unterraum von V, der v enthält, durch [mm] W:= [/mm] gegeben ist. |
Hallo ihr Lieben!
Ich sitze an obiger Aufgabe und komme nicht vorwärts.
Also W invariant => [mm] f^k(W) \subseteq [/mm] W; Nun muss ich p(f)(v)=0 verwenden. Ich setze p ein und bekomme: [mm] \summe_{k}a_{k} f^{k} [/mm] (v)=0.
Könnt ihr mir sagen, was ich nun machen muss?
Lieben Dank,
Else
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 23.01.2008 | | Autor: | SEcki |
> Also W invariant => [mm]f^k(W) \subseteq[/mm] W; Nun muss ich
> p(f)(v)=0 verwenden. Ich setze p ein und bekomme:
> [mm]\summe_{k}a_{k} f^{k}[/mm] (v)=0.
>
> Könnt ihr mir sagen, was ich nun machen muss?
Also, zuerst zeige: [m]f^d(v)[/m] ist Linearkombination der anderen Elemente (wieso folgt das aus der Polynombedingung?). Dann: [m]f^i(v)[/m] liegt nicht im Spann von [m][/m] - wieso? Wieso erhalten wir dann den kleinsten invarianten Unterraum?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Else20 |
Okay..
Also v liegt in W, f(v) ebenfalls, da f invariant, also auch f(f(v)), also auch f(f(f(v)))... bis [mm] f^{d}(v), [/mm] da es spätestens dann linear abhängig wird. Richtig? Deshalb liegt [mm] f^{d}(v) [/mm] nicht in W.
Stimmt das soweit?
Bin ich jetzt fertig?
Liebe Grüße,
Else
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 24.01.2008 | | Autor: | SEcki |
> Also v liegt in W, f(v) ebenfalls, da f invariant, also
> auch f(f(v)), also auch f(f(f(v)))... bis [mm]f^{d}(v),[/mm] da es
> spätestens dann linear abhängig wird.
Wieso denn? Vor allem: es geht darum, dass der Raum bis dahin immer größer wird!
> Richtig? Deshalb
> liegt [mm]f^{d}(v)[/mm] nicht in W.
Doch, das liegt drin. Macht den Raum blos nicht größer.
SEcki
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