Energie ged. harm. Oszillator < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Gesamtenergie des gedämpften harmonischen Oszillators als Funktion der Zeit. Sie dürfen annehmen, dass der Oszillater sehr schwach gedämpft ist, d.h. [mm] $\gamma [/mm] << [mm] \omega$. [/mm] |
Hallo. Bin mir hier grad recht unsicher ob ich totalen Blödsinn mache oder doch auf dem richtigen Weg bin - daher hier mal meine Gedankengänge.
Ansatz:
[mm] $E_{gesamt}(t)=\bruch{1}{2}*m*x'(t)^2+V[x(t)]$
[/mm]
Bewegungsgleichung: [mm] $m*x''=-D*x-\lambda [/mm] * x'=F$
[mm] $w^2_0:=\bruch{D}{m}$ [/mm] und [mm] $2\lambda:=\bruch{\lambda}{m}$
[/mm]
Bei schwacher Dämpfung: [mm] $\omega:=\wurzel{\omega^2_0-\gamma^2} \in \IR [/mm] $
$x(t)=a [mm] e^{-t \gamma } \cos[\varphi [/mm] +t [mm] \omega [/mm] ]$
$x'(t)=-a [mm] e^{-t \gamma } (\gamma \cos[\varphi [/mm] +t [mm] \omega ]+\omega \sin[\varphi [/mm] +t [mm] \omega [/mm] ])$
[mm] \Rightarrow
[/mm]
$F(t)=a [mm] e^{-t \gamma } ((-D+\gamma \lambda [/mm] ) [mm] \cos[\varphi [/mm] +t [mm] \omega ]+\lambda \omega \sin[\varphi [/mm] +t [mm] \omega [/mm] ])$
[mm] $V[x(t)]=\integral_{x_0}^{x(t)}{F(t)\ dx}=a e^{-t \gamma } (x(t)-x_0) ((-D+\gamma \lambda [/mm] ) [mm] \cos[\varphi [/mm] +t [mm] \omega ]+\lambda \omega \sin[\varphi [/mm] +t [mm] \omega [/mm] ])$
[mm] $E_{gesamt}(t)=\bruch{1}{2}*m*\left(a^2 e^{-2 t \gamma } (\gamma \cos[\varphi +t \omega ]+\omega \sin[\varphi +t \omega ])^2\right)+V[x(t)]$
[/mm]
[mm] $E_{gesamt}(t)=a*e^{-2t \gamma } \left(\bruch{1}{2}*a*m (\gamma* \cos[\varphi +t \omega ]+\omega*\sin[\varphi +t \omega ])^2-e^{t \gamma } (x_0-x(t)) ((D-\gamma*\lambda ) \cos[\varphi +t \omega ]-\lambda *\omega*\sin[\varphi +t \omega ])\right)$
[/mm]
Bevor ich jetzt meine ach-so-tollen Variablen resubstituiere wollte ich nur ma gerne wissen, ob der Weg überhaupt annähernd richtig ist.
Liebe Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe nicht ganz, wie du V ausrechnest. Das ist doch in jedem Moment gerade [mm] D/2*x^2(t)
[/mm]
mit Fds berechnest du doch die Änderung der Gesamtenergie
Ausserdem ist es nicht so sinnvoll, mit ner Phase zu rechnen. du kannst einfach bei t=0 von maximaler Auslenkung a ausgehen dann ist [mm] E(0)=D/2a^2 [/mm] und dann einfach [mm] cos(\omega*t) [/mm] spart viel Schreibarbeit. Dann einfach E(t)/E(0) als Angabe.
Gruss leduart
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Abend Leduart.
> Hallo
> ich verstehe nicht ganz, wie du V ausrechnest. Das ist
> doch in jedem Moment gerade [mm]D/2*x^2(t)[/mm]
> mit Fds berechnest du doch die Änderung der
> Gesamtenergie
Na das Potential berechne ich doch mit dem Integral der Kraft über den Weg, also dachte ich
Potential $= V(x) = [mm] \integral_{x_0}^{x(t)}{F(t) dx}$
[/mm]
Ich muss doch durch die auftretende Dämpfung die potentielle Energie in Abhängigkeit der Zeit darstellen oder liege ich hier falsch?
> Ausserdem ist es nicht so sinnvoll, mit ner Phase zu
> rechnen. du kannst einfach bei t=0 von maximaler Auslenkung
> a ausgehen dann ist [mm]E(0)=D/2a^2[/mm]
jetzt wo du's sagst...einleuchtend.
> und dann einfach
> [mm]cos(\omega*t)[/mm] spart viel Schreibarbeit. Dann einfach
> E(t)/E(0) als Angabe.
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
x(t) wird ja im Laufe der Zeit kleiner, damit auch [mm] D/2*x^2 [/mm] und das ist die pot. Energie.
Dein Integral misst wirklich die gesamte Energie. die Reibung hat doch nichts mit V zu tun?
Gruss leduart
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> Hallo
> x(t) wird ja im Laufe der Zeit kleiner, damit auch [mm]D/2*x^2[/mm]
> und das ist die pot. Energie.
> Dein Integral misst wirklich die gesamte Energie. die
> Reibung hat doch nichts mit V zu tun?
> Gruss leduart
Nochmal von vorne:
[mm] $x(t)=a*e^{-t \gamma}*\cos(t \omega)$
[/mm]
[mm] $x'(t)=-a*e^{-t \gamma} (\gamma \cos[t \omega ]+\omega*\sin[t \omega [/mm] ])$
[mm] $V(x)=-\integral_{}^{x}{-D*x_1 dx_1}=\bruch{1}{2}D*x^2$
[/mm]
[mm] $T(x)=\bruch{1}{2}m*(x')^2$
[/mm]
[mm] $E_{gesamt}(x)=V(x)+T(x)$=\bruch{1}{2}D*x^2$+\bruch{1}{2}m*(x')^2$
[/mm]
[mm] $E_{gesamt}(x)= \bruch{1}{2}D*a^2*e^{-2*t \gamma}*\cos^2(t \omega)+\bruch{1}{2}*a^2*e^{-2*t \gamma }*m*(\gamma \cos[t \omega ]+\omega* \sin[t \omega ])^2$
[/mm]
[mm] $E_{gesamt}(x)=\bruch{1}{2}*a^2*e^{-2 t \gamma } \left(\left(D+m \gamma ^2\right) \cos[t \omega ]^2+m \omega \left(\omega \sin[t \omega ]^2+\gamma \sin[2 t \omega ]\right)\right)$
[/mm]
Passt das soweit?
Irgendwie macht das Ergebnis für mich keinen Sinn, die Gesamtenergie sollte doch von einem Wert x ausgehend abnehmen gegen null und nicht schwingen...aber bei mir tut sie das ja. Wo ist denn der Denkfehler. :-|
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 28.11.2009 | | Autor: | chrisno |
Das ist mir viel zu aufwendig. Du kannst die Einhüllende von x(t) nhemen, indem Du den cos Term weglässt.
Dieses x(t) dann quadrieren, mit D/2 multiplizieren, fertig.
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> Das ist mir viel zu aufwendig. Du kannst die Einhüllende
> von x(t) nhemen, indem Du den cos Term weglässt.
Jetzt mal für blöde Erstsemester: Was ist eine Einhüllende?
Wikipedia hab ich da gerade nicht eindeutig nachvollziehen können.
> Dieses x(t) dann quadrieren, mit D/2 multiplizieren,
> fertig.
Wäre dann aber im Zweifel ja "nur" der Potentiell Anteil wenn ich das richtig verstehe oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 28.11.2009 | | Autor: | chrisno |
Die Einhüllende ist hier nicht als mathematischer Begriff gemeint. Nimm die Maxima und verbinde sie mit einer schönen Kurve. Besser: Plotte beide Funktionen, die mit und die ohne cos übereinander.
Bei der maximalen Auslenkung hast Du keine kinetische Energie. Also brauchst Du dafür nur die potentielle Energie.
Nun geht es noch um die Werte zwischen den Maxiama. Da kannst Du natürlich, wie Du es angegangen bist, die kinetische Energie ausrechnen und beide Anteile addieren.
Dafür benötigst Du kein Intgegral. Du hast $x(t)$ und [mm] $\dot{x}(t)$ [/mm] und kannst damit [mm] $E_{pot}$ [/mm] und [mm] $E_{kin}$ [/mm] ausrechnen.
Mach das.
Ich bin zu bequem. Ich behaupte einfach, dass der relative Energieverlust pro Zeiteinheit konstant ist. Deshalb habe ich den cos Term weggelassen.
Ob meine Behauptung stimmt, kannst Du nun nachrechnen.
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> Die Einhüllende ist hier nicht als mathematischer Begriff
> gemeint. Nimm die Maxima und verbinde sie mit einer
> schönen Kurve. Besser: Plotte beide Funktionen, die mit
> und die ohne cos übereinander.
>
> Bei der maximalen Auslenkung hast Du keine kinetische
> Energie. Also brauchst Du dafür nur die potentielle
> Energie.
> Nun geht es noch um die Werte zwischen den Maxiama. Da
> kannst Du natürlich, wie Du es angegangen bist, die
> kinetische Energie ausrechnen und beide Anteile addieren.
> Dafür benötigst Du kein Intgegral. Du hast [mm]x(t)[/mm] und
> [mm]\dot{x}(t)[/mm] und kannst damit [mm]E_{pot}[/mm] und [mm]E_{kin}[/mm]
> ausrechnen.
Genau das hab ich ja gemacht/versucht. Für das Potential das Integral, also [mm] $V(x)=\bruch{D}{2}*(x(t))^2$ [/mm] und dann halt die Kinetische Energie [mm] $\bruch{m}{2}*x'^2$. [/mm] Aber der Knackpunkt für mich ist, dass ich anschließend eine Schwingung für meine Gesamtenergie erhalte - was physikalisch gesehen für mich keinen Sinn ergibt. Schließlich haben wir eine maximale Energie beim Start. Diese maximale Energie nimmt ja nun im Verlauf der Zeit aber ab und sollte dahingehend nicht schwingen sondern gegen Null gehen.
Falls jemand die Muße hat den Fehler oder falschen Denkansatz oben in meiner Rechnung zu finden würde ich mich freuen.
> Mach das.
> Ich bin zu bequem. Ich behaupte einfach, dass der relative
> Energieverlust pro Zeiteinheit konstant ist. Deshalb habe
> ich den cos Term weggelassen.
> Ob meine Behauptung stimmt, kannst Du nun nachrechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du solltest [mm] \delta [/mm] als klein annehmem, deshalb kannst du wie chrisno vorschlug nur die abnahme der Maxima nehmen.
b) du hast in deinen Gleichungen noch D und [mm] \omega [/mm] stehen, eines von denen solltest du durch das andere ersetzen, dann sollte es einfacher werden mit asin^2x+Acos^2x=1
c) die energie sollte zwar immer abnehmen, aber nicht zeitlich monoton, da die Reibung ja von v abhängt, also wackelt die energieannahme, sie ist am grössten bei v_max und am kleinsten bei x_max
Auch deine energie nimmt ja im Mittel ab. plot das mal für konkrete einfache Werte.
Deshalb a) oder du kriegst nen festen Bestandteil + einen schwankenden.
Gruss leduart
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Ersteinmal Danke für die Geduld euch beiden. :)
Ich beginne dahinter zu steigen - die Gesamtenergie nimmt aber wenn ich euch richtig verstehe Exponentiell ab, das ist doch das was chrisno damit aussagt oder?
[Dateianhang nicht öffentlich]
mal geplottet wie vorgeschlagen :)
Also reduziere ich die Rechnung gedanklich auf den konstanten Abfall des Potentials?! Kann ich mir soweit sogar vorstellen.
> c) die energie sollte zwar immer abnehmen, aber nicht
> zeitlich monoton, da die Reibung ja von v abhängt, also
> wackelt die energieannahme, sie ist am grössten bei v_max
> und am kleinsten bei x_max
> Auch deine energie nimmt ja im Mittel ab. plot das mal
> für konkrete einfache Werte.
Das ist der einzige Part wo ich grade gedanklich aussteige. Reicht es nun, wenn ich den idealisierten Fall der Abnahme der potentiellen Energie anschaue? Also:
[mm] $E_{gesamt}(t)=\bruch{a^2*e^{-2*\gamma* t}*D}{2}$
[/mm]
Oder muss ich die Schwankungen der Energieabnahme beachten?
Liebe Grüße und vielen Dank.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht E sondern x oder v geplottet.
wenn du wie ich vorgeschlagen habe [mm] \omega [/mm] durch [mm] D,m,\gamma [/mm] ersetzt, bekommst du eine Efkt + einen schwankenden teil
E sieht nicht aus, wie du geplottet hast, sonern ist immer positiv.
Gruss leduart
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> Hallo
> Du hast nicht E sondern x oder v geplottet.
Da haben wir ein wenig aneinander vorbei geredet - ich habe wie von chrisno vorgeschlagen den Teil vom Potential mit Cosinus und ohne Cosinus geplottet.
> wenn du wie ich vorgeschlagen habe [mm]\omega[/mm] durch [mm]D,m,\gamma[/mm]
> ersetzt, bekommst du eine Efkt + einen schwankenden teil
ausgehend von:
[mm] $E_{gesamt}=\bruch{1}{2} x_0^2*e^{-2 t \gamma } \left(\left(D+m \gamma ^2\right) \cos^2[t \omega ]+m \omega \left(\omega \sin^2[t \omega ]+\gamma \sin[2 t \omega ]\right)\right)$
[/mm]
mit
[mm] $\omega=\sqrt{-\gamma ^2+\omega_0 ^2}$
[/mm]
[mm] $\omega_0=\sqrt{\bruch{D}{m}}$
[/mm]
folgt:
[mm] $\bruch{1}{2} x_0^2*e^{-2 t \gamma } \left(D+m \gamma ^2 * \cos\left[2 t \sqrt{\bruch{D}{m}-\gamma ^2}\right]+m \gamma \sqrt{\bruch{D}{m}-\gamma ^2} * \sin\left[2 t \sqrt{\bruch{D}{m}-\gamma ^2}\right]\right)$
[/mm]
was geplottet ungefähr so aussieht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und zum Vergleich noch der gemittelte Graph für
$E(t) [mm] \sim \bruch{D}{2}*x_0^2*e^{-2*\gamma*t}$:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bitte bitte sagt, dass das so stimmt; mein Elan schwindet. ;)
Danke & schönen Sonntag sonst nocht.
artischocke
> Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
den zweiten plot versteh ich nicht, wie kommst du unter 0 am Ende? das sieht wie lineare Abnahme +Schwankung aus?
Der erste ist richtig und beschreibt ja auch, was physikalisch passiert anschaulich. immer Abnahme von E, aber die Abnahmerate, also Steigung , aendert sich während einer Schwingung.
Gruss leduart
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> Hallo
> den zweiten plot versteh ich nicht, wie kommst du unter 0
> am Ende? das sieht wie lineare Abnahme +Schwankung aus?
> Der erste ist richtig und beschreibt ja auch, was
> physikalisch passiert anschaulich. immer Abnahme von E,
> aber die Abnahmerate, also Steigung , aendert sich während
> einer Schwingung.
> Gruss leduart
Fieses Mathematica sag ich nur. ^^ Die Achse unten ist nicht gleich der x-Achse, sondern parallel zu ihr. Der Wert ist also nicht unter null. Hab nur mal einen Ausschnitt des ersten Graphen zu nehmen um die Schwankung der Energieabnahme besser zu sehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann ist ja alles geklärt.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 So 29.11.2009 | | Autor: | chrisno |
Danke für die Plots. Das ist schön, das so zu sehen. Ich habe bisher immer mit der Näherung gearbeitet und ignoriert, dass die Energie geschwindigkeitsabhängig aus dem System genommen wird.
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