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Forum "Funktionalanalysis" - Energiefunktional Ableitung
Energiefunktional Ableitung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Energiefunktional Ableitung: Funktional ableiten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mi 29.10.2014
Autor: NFL_

Aufgabe
Beweise das für jede Lösung $u$ der Wärmeleitungsgleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen die Abschätzung
[mm] \\ [/mm]
[mm] $\int\limits_{0}^{1} u^{2}(x,t) [/mm] dx [mm] \le \int\limits_{0}^{1} u_{0}^{2}(x, [/mm] t) dx$
[mm] \\ [/mm]
(Betrachte dazu die Ableitung des Energiefunktionals $E(t) := [mm] \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1} u^{2}(x, [/mm] t) d x$)


Hallo, ich bin mir hier unsicher wie ich hier ansetzen soll, und einen wirklichen Ansatz hab ich auch noch nicht.
Ich habe versucht das integral mit partieller integration um zuschreiben aber das hilft mir hier auch nicht weiter ... wäre dankbar wenn mir jemand einen Tip geben kann wie man hier anfäng, erstmal :) ...

EDIT : kann es sein das da auf beiden seiten 0 rauskommt ?

        
Bezug
Energiefunktional Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Mi 29.10.2014
Autor: andyv

Hallo,

ein paar mehr Infos wären nicht schlecht.

Vorgehen: Leite E ab, verwende die Wärmeleitungsgleichung und eine Greensche Formel. Was bedeutet die erhaltene Ungleichung für E?.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Energiefunktional Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Mi 29.10.2014
Autor: NFL_

Ich hab leider auch nicht mehr informationen ... die Aufgabe steht da genau so ...:( ... was sagt den ein Energiefunktional aus ... also wofür steht das ... sollte mir die Greensche Funktion bekannt sein ?

Bezug
                        
Bezug
Energiefunktional Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Mi 29.10.2014
Autor: andyv


> Ich hab leider auch nicht mehr informationen ...

Das glaube ich nicht. Was ist [mm] $u_0$?, [/mm] wie habt ihr die Wlgl mit homogenen DB definiert?  

> die Aufgabe steht da genau so ...:( ...
> was sagt den ein Energiefunktional aus ... also wofür steht das

Das siehst du dann, wenn du E ableitest.
Allgemein: Der Ursprung des Namens hat phsyikalische Gründe (Ahnlichkeit mit etwa der kin. Energie in der klass. Mechanik ist unverkennbar)
Die Bedeutung solcher Objekte liegt vor allem in der Untersuchung nichtlinearer PDEs mit Variationsmethoden.

> ... sollte mir die Greensche Funktion bekannt sein ?

Schlecht wäre es nicht, aber auch nicht nötig.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Energiefunktional Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Mi 29.10.2014
Autor: NFL_

"mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen" also das verstehe ich so :  $u(0,t) = 0, u(1,t)=0$ und dazu $u(x,0) = [mm] u_{0}(x)$ [/mm]

kann man damit was Anfangen bei dem Problem ?

Bezug
                                        
Bezug
Energiefunktional Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Mi 29.10.2014
Autor: andyv

Ja, aber dafür solltest du E ableiten und eine Folgerung für E ziehen. Mit E(0)=... folgt dann schon die Behauptung.

Liebe Grüße

Bezug
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