Entfernung zweier Punkte;Kugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)durch A(4;-5;3) und B(6;-3;2) geht die gerade g. bestimme die punkte auf g, die von A die Entfernung 9 haben.
2)durch P(-2;5;1) und Q(-1;13;-3) geht die gerade h, F(0;f1;f2) liegt auch auf h und ist mittelpunkt einer kugel mit radius 18.
berechne die schnittpunkte von gerade und kugel.
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zu 1) zuerst hab ich mal eine gleichung der geraden g aufgestellt -->
[mm] g:x=\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
stimmt das so?
und dann mach ich den betrag des verbindungsvektors AP, der 9 ergeben muss...aber dann hab ich eine ewig lange gleichung mit p1, p2, p3 und die jeweisl auch noch ins quadrat und ich hab keine ahnung, wie ich da irgendwas rausbekommen soll...
die lösung müsste sein: P1(10;1;0) und P2(-2;-11;6)
zu 2) ich hab ehrlich gesagt keine ahung, wie ich den schnittpunkt ausrechnen soll...also zuerst würd ich wieder die geradengleichung aufstellen, aber dann...kA!
die lösung müsste sein: S1(2;37;-15) und S2(-2;5;1)
danke:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Di 25.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
[mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3?
[/mm]
Du hast ja A(4|-5|3) und eien Beliebigen Punkt [mm] P(4+2\lambda|-5+2\lambda|3-\lambda)
[/mm]
Damit könntest du den Abstand zwischen den beiden Punkten berechnen, der 9 sein soll.
ABER es gibt noch eine bessere Variante:
Guck dir mal den Betrag des Richtungsvektors an: der ist 3. Wenn du also 3mal den Richtungsvektor (in beide Richtungen) abträgst, kommst du auch zu den 2 Punkten (da du ja dann auch 9 Längeneinheiten "gewandert" bist). Für [mm] \lambda \pm [/mm] 3 einsetzen und du hast deine Punkte!
b) Geradengleichung aufstellen, ok.
Danach musst du erstmal F bestimmen! Dazu must du beachten, dass du ja die x-Koordinate von F kennst. Du kannst auch das dazugehörige [mm] \lambda_2 [/mm] ausrechnen, mit dem du auf diese Koordinate kommst und erhälst dadurch ja auch y- und z-Koordinate.
Lass dich nicht vond er Kugel ablenken, verlangt ist das selbe wie in a).
F ist ja der Mittelpunkt der Kugel, und die Schnittpunkte von gerade und Kugel wären ja die beiden Punkte, die von F den Abstand 18 haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mickeymouse!
Der Weg von Teufel ist schon sehr elegant. Alternativ kannst Du aber auch die Kugelgleichung mit $A_$ als Mittelpunkt und dem Radius $r \ = \ 9$ bestimmen. Anschließend durch Gleichsetzen / Einsetzen mit der Geradengleichung die beiden Schnittpunkte bestimmen.
Gruß
Loddar
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vielen vielen dank für eure hilfe!
lg, erika:)
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