Entwicklung Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Fr 10.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Laurentreihe der Funktion f um den Entwicklungpunkt [mm] Z_{0}=2 [/mm] auf dem Kreisring, der den Punkt z=2i enthält.
Bestimmen Sie die Konvergenzbereiche des Haupt- und des Nebenteils der Laurentreihe.
[mm] f(z)=e^{\bruch{1}{z-2}} [/mm] + [mm] \bruch{e^{z}}{z-2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] |
Also [mm] e^{\bruch{1}{z-2}} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}*(\bruch{1}{z-2})^{n}
[/mm]
nur für [mm] \bruch{e^{z}}{z-2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] finde ich keine Entwicklung um den Punkt 2.
Ich hab folgendes versucht:
[mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{1-2+2-z} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{-1-(z-2)} [/mm]
ich komm auf keine vernünftige Darstellung um den Entwicklungspunkt 2.
Oder soll ich die Reihe garnicht um den Punkt 2 entwickeln..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Laurentreihe der Funktion f um den
> Entwicklungpunkt [mm]Z_{0}=2[/mm] auf dem Kreisring, der den Punkt
> z=2i enthält.
> Bestimmen Sie die Konvergenzbereiche des Haupt- und des
> Nebenteils der Laurentreihe.
>
> [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{z-2}}[/mm] + [mm]\bruch{e^{z}}{z-2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{z-1}[/mm]
> Also [mm]e^{\bruch{1}{z-2}}[/mm] = [mm]\summe_{\red{n}=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}*(\bruch{1}{z-2})^{n}[/mm]
>
> nur für [mm]\bruch{e^{z}}{z-2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{z-1}[/mm] finde ich
> keine Entwicklung um den Punkt 2.
>
> Ich hab folgendes versucht:
> [mm]\bruch{1}{z-1}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{1-2+2-z}[/mm]
> = - [mm]\bruch{1}{-1-(z-2)}[/mm]
> ich komm auf keine vernünftige Darstellung um den
> Entwicklungspunkt 2.
Das ist so falsch ja nicht:
[mm]\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z-2+1}=\frac{1}{z-2}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z-2}}=\frac{1}{z-2}\cdot\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{z-2}\right)^n[/mm]
> Oder soll ich die Reihe garnicht um den Punkt 2
> entwickeln..
Doch, ich denke schon.
Für [mm] $\bruch{e^{z}}{z-2}$:
[/mm]
[mm]\frac{\mathrm{e}^{z}}{z-2}=\frac{\mathrm{e}^2\cdot \mathrm{e}^{z-2}}{z-2}=\ldots[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 10.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
da hab ich gleich noch eine Frage zu:
[mm] \bruch{e^{z}}{z-2}=\bruch{e^{z-2}*e^{2}}{z-2}
[/mm]
zuerst:
[mm] e^{z-2}*e^{2} [/mm] = [mm] e^{2} *\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}(z-2)^{n}
[/mm]
aber für [mm] \bruch{1}{z-2} [/mm] hab ich wieder meine Probleme.
Wie kann ich denn den Bruch umformen?
Danke!
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> da hab ich gleich noch eine Frage zu:
> [mm]\bruch{e^{z}}{z-2}=\bruch{e^{z-2}*e^{2}}{z-2}[/mm]
> zuerst:
> [mm]e^{z-2}*e^{2}[/mm] = [mm]e^{2} *\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}(z-2)^{n}[/mm]
>
> aber für [mm]\bruch{1}{z-2}[/mm] hab ich wieder meine Probleme.
Ach nein: hier hast Du sicher kein Problem, denn Du wolltest doch jeden Summanden der ursprünglich gegebenen Funktion in eine Laurentreihe um [mm] $z_0=2$ [/mm] entwickeln, nicht? Also ist
[mm]\frac{\mathrm{e}^{z}}{z-2}=\frac{\mathrm{e}^2\cdot \mathrm{e}^{z-2}}{z-2}=\mathrm{e}^2\cdot (z-2)^{-1}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(z-2)^{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\mathrm{e}^2}{n!}(z-2)^{n-1}=\sum_{n=-1}^\infty \frac{\mathrm{e}^2}{(n+1)!}(z-2)^n[/mm]
eine solche Laurentreihe des Summanden [mm] $\frac{\mathrm{e}^{z}}{z-2}$. [/mm] Was willst Du mehr?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 15.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
Also hab ich insgesamt raus:
Hauptteil:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} (\bruch{1}{z-2})^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{(z-2)^{n+1}}
[/mm]
Nebenteil:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{e^{2}}{n!} [/mm] * [mm] (z-2)^{n-1}
[/mm]
Jetzt brauch ich noch die Konvergenzradien..
Hauptteil:
kann ich da sagen: [mm] |\bruch{1}{z-2}|<1 [/mm] ?
weil ich ja bei der Umwandlung von [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] die geometrische Reihe benutzt habe..
Nebenteil:
Hmm, da ist ja [mm] a_{n}= \bruch{e^{2}}{n!}, [/mm] kann ich da mit dem Quotientenkriterium argumentieren? oder muss ich erst eine indexverschiebung machen?
Vielen Vielen Dank für die große Mühe!
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> Also hab ich insgesamt raus:
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> Hauptteil:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} (\bruch{1}{z-2})^{n} + \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{(z-2)^{n+1}}[/mm]
Schön und gut, aber in diesem "Hauptteil" findet sich noch ein Glied, das effektiv zum Nebenteil gehört: nämlich das Glied zu $n=0$ in der ersten Summe.
>
> Nebenteil:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{e^{2}}{n!} * (z-2)^{n-1}[/mm]
Hier ist aber eine negative Potenz von $z-2$ dabei: nämlich für den Index $n=0$. Dieses eine Glied Deines "Nebenteils" gehört effektiv auch noch zum Hauptteil.
Merke: In den Haupteil gehören alle Reihenglieder mit negativen Potenzen von $z-2$; in den Nebenteil alle Reihenglieder zu nicht-negativen Potenzen von $z-2$.
Du musst also, nachdem Du alles fein säuberlich in Reihen von Potenzen von $z-2$ entwickelt hast, mit der nötigen Akribie vorgehen, wenn Du Haupteil und Nebenteil bestimmen willst.
> Jetzt brauch ich noch die Konvergenzradien..
Die Laurentreihe konvergiert auf einem "Kreisring". Wie der aussieht kannst Du relativ leicht an der Lage der bekannten Singularitäten von $f(z)$ ablesen: die Singularitäten sind bei $z=2$ und $z=1$. An sich könnte man auch eine Laurentreihe finden, die auf dem Kreisring (oder, besser, der punktierten Kreisscheibe) [mm] $\{z\in \IC \mid 0 < |z-2| < 1\}$ [/mm] konvergiert. Jedoch war in der Aufgabenstellung die Laurentreihe verlangt, deren Konvergenzbereich [mm] $2\mathrm{i}$ [/mm] enthält.
Falls Du die richtige Laurentreihe erwischt hast, müsste sie also auf [mm] $\{z\in \IC\mid 1 < |z-2|\}$ [/mm] konvergieren.
>
> Hauptteil:
> kann ich da sagen: [mm]|\bruch{1}{z-2}|<1[/mm] ?
> weil ich ja bei der Umwandlung von [mm]\bruch{1}{z-1}[/mm] die
> geometrische Reihe benutzt habe..
Dein Hauptteil besteht (noch immer) aus zwei Teilreihen: Erstens aus der Reihe der Exponentialfunktion [mm] $\mathrm{e}^{\frac{1}{(z-2)}}$: [/mm] die konvergiert für alle $|z-2|>0$.
Und zweitens aus einer Reihe, die bis auf einen konstanten Faktor [mm] $\frac{1}{z-2}$ [/mm] noch immer eine geometrische Reihe ist und somit, wie Du richtig schreibst, für [mm] $\left|\frac{1}{z-2}\right|<1$ [/mm] d.h. $1< |z-2|$ konvergiert. Insgesamt konvergiert also der Hauptteil wie aufgrund der Lage der Singularitäten von $f(z)$ erwartet auf [mm] $\{z\in \IC\mid 1 < |z-2|\}$.
[/mm]
>
> Nebenteil:
> Hmm, da ist ja [mm]a_{n}= \bruch{e^{2}}{n!},[/mm] kann ich da mit
> dem Quotientenkriterium argumentieren?
Kannst Du schon, wenn Du dies unbedingt möchtest.
> oder muss ich erst eine indexverschiebung machen?
Kaum, denn für die Konvergenz einer Reihe ist nicht die absolute Indexposition der Reihenglieder wichtig, sondern nur die Geschwindigkeit ihres Kleinerwerdens. Bei einer Anwendung des Quotientenkriteriums kommt es aber auf die absolute Position der Glieder, deren Quotient Du betrachtest, überhaupt nicht an.
Wie oben erwähnt hast Du in Deinem Nebenteil noch ein Glied belassen, das effektiv zum Haupteil gehört. Davon eimal abgesehen gibt es aus meiner Sicht zwei primäre Methoden, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen. Erstens, und am offensichtlichsten: es handelt sich hier im wesentlichen (bis auf einen konstanten Faktor) um die Reihe der Exponentialfunktion, die (bekanntlich) für alle $z-2$ (und damit für alle $z$) konvergiert.
Zweitens, den Konvergenzradius $R$ einer Potenzreihe erhält man aus [mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{\mathrm{e}^2}{n!}\right|}}=\frac{1}{0}= +\infty$.
[/mm]
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