Entwicklung einer Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 So 06.05.2007 | | Autor: | svensen |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie f(z) = [mm] \bruch{1}{z + 2i} [/mm] in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt [mm] z_{0} [/mm] = 0. Was ist der Konvergenzradius? |
Um diese Aufgabe zu lösen war es meine Idee die Funktion auf die Form f(z) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{n}(z-z_{0})^n z\in \IC [/mm] zu bringen. Nur komm ich hierbei einfach nicht voran. Wie muss ich genau vorgehen und ist meine Idee überhaupt richtig? Für den Konvergenzradius würde ich dann die Formel R = [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}}} [/mm] verwenden.
Vielen Dank für Eure Hilfe
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Hallo svensen,
ich würde es mit der Berechnung der Taylorreihe um [mm] z_0=0 [/mm] versuchen.
Berechne [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^k(z_0)}{k!}(z-z_0)^k$
[/mm]
also hier [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^k(0)}{k!}z^k$
[/mm]
Den Kgzradius kannste nachher dann mit der Formel, die du oben angegeben hast, bestimmen.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 06.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
in diesem Beispiel, kannst du das auch mit der geometrischen Reihe so machen:
[mm] \bruch{1}{z+2i}=\bruch{1}{2i}\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{2i}z)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2i}\summe_{k=0}^{infty}(-\bruch{1}{2i}z)^{k}
[/mm]
Jetzt musst du nur noch den Rest machen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 So 06.05.2007 | | Autor: | svensen |
besten Dank. Glaube so bekomm ich es hin
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