Envelope Kurvenschar < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Schar von Lösungen und deren Enveloppen.
y²(x)y'²(x)+y²(x)=1 |
Hallo an alle!!
Kann mir hier jemand einen Ansatz zeigen, wie ich anfangen könnte. Und dann wie ich die Enveloppe berechne. Es hängt da irgendwie. Ich kann mir darunter nur schwer etwas vorstellen. Ich hatte mir schon überlegt. Das Problem ganz normal anzugehen, aber ich komm dann nicht wirklich auf ein brauchbares Verfahren um die GDGL zu lösen. Trennung der Variabeln haut bei mir einfach nicht so richtig hin.
Ganz lieben Dank schon mal. ^__^
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 So 04.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze [mm] y^2=z [/mm] dann kannst du einfach Trennung der variablen machen.
Wenn du die Lösungen hast, siehst du die einhüllenden. sie müssen auch Lösung der Dgl sein!
z.Bsp ist eine Lösung ja y=1 das ist die eine einhüllende!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
ok das leuchtet mir ja schon ein. Aber wahrscheinlich sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
Ich habe wie empfohlen y²=z gesetzt und komme nun an diesen Punkt:
[mm] z'=\bruch{1-z}{z}
[/mm]
Mein Problem ist jetzt wie genau ich jetzt trennen soll. Ich hätte mir folgendes überlegt aber da komm ich nicht weiter.
[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1-z}{z}
[/mm]
Aber wenn ich das umstelle kommt was ganz kurioses raus, was absoltut nicht sein kann. Hab ich schon ein Grundlegenden Fehler in meiner Überlegung??
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. ^___^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 04.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein z' ist falsch. Kannst du sagen, wie du da drauf gekommen bist? [mm] z=y^2 [/mm] damit z'=2yy'!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
naja ich hab mir eben gedacht, wenn y²=z dann wird aus der gegeben DGL nun das:
zz'+z=1
und daraus ergibt sich dann meine ja nun anscheinend falsche Lösung. v.v
[mm] z'=\bruch{1-z}{z}
[/mm]
anscheind hab ich einen grundlegenden denkfehler...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 So 04.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] z=y^2 [/mm] z'=2yy' [mm] (yy')^2=z'^2/4
[/mm]
was wird dann aus deiner Dgl?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
also ich hab jetzt nun die DGL wie folgt nach dem gegebenen Ansatz aufgestellt und bin zu dem folgenden Punkt gekommen.
[mm] (1/4z')^2+z=1
[/mm]
[mm] (z')^2=4-4z
[/mm]
[mm] z'=(4-4z)^{1/2}
[/mm]
Aber hier weiß ich nicht weiter. Wie soll ich denn Trennung der Variabeln durchführen, wenn ich gar keine 2. Variable hab?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 So 11.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ganz einfach: $ [mm] z'=(4-4z)^{1/2} [/mm] $
[mm] dz/(4-4z)^{1/2}=dx
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ok ich hab jetzt als Endlösung folgendes raus. Nun also die Frage nach der Richtigkeit. ^_______^
[mm] y(x)=\wurzel{x+1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 11.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider falsch!
eigentlich solltest du haben [mm] z=1-(x-c)^2
[/mm]
aber dann ist doch noch [mm] z=y^2?
[/mm]
Wenn du ne Lösung denkst zu haben setz sie in die Dgl ein, und sieh nach ob sie erfüllt ist. Wie auf der Schule, wenn man ne Gleichung gelöst hat setzt man zur Probe ein!
Ausserdem hast du durch die division durch 1-z die Lösung z=1 verloren! (das gibt die enveloppe!
Gruss leduart
|
|
|
|
