Epsilon-Delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Do 12.03.2009 | | Autor: | DarkCell |
| Aufgabe | Man zeichne die folgenden reellen Funktionen und untersuche sie mit Hilfe der
[mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Charakterisierung auf Stetigkeit im Punkt [mm] x_{0}:
[/mm]
[mm] a)f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\ge 1 \\ 0 , & \mbox{für } x<1 \end{cases}
[/mm]
[mm] x_{0}=1
[/mm]
[mm] b)g(x)=\begin{cases} x^{2}*sin(\bruch{1}{x^{2}}), & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
[mm] x_{0}=0 [/mm] |
Ich verstehe warum die Funktion 1 nicht stetig und die Funktion 2 stetig ist, und wie ich das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Kriterium "zeichnerisch" anwende.
Aber ich wüsste auch gerne ob und wie man das rechnerisch lösen kann für diese Funktionen. Mein Prof meinte dazu nur: " Du hast doch die Zeichnung da siehst du das doch!"
Leider fand ich das ein bisschen unbefriedigend.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Es ist f(1) =1, also ist für jedes x<1: $|f(x)-f(1)| = 1$
Ist also z.B. [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2, so gibt es kein [mm] \delta [/mm] > 0 mit
$|f(x)-f(1)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes x mit $|x-1| < [mm] \delta$
[/mm]
f ist also in [mm] x_0 [/mm] = 1 nicht stetig
FRED
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Hallo,
Teil b.) lässt sich wohl am einfachsten mit dem Folgenkriterium lösen. Sei [mm] x_N [/mm] eine Nullfolge....
und schätze [mm] |\sin| [/mm] durch 1 ab.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Do 12.03.2009 | | Autor: | Azarazul |
Da steht aber Epsilon-Delta in der Aufgabe.
@ Fragesteller: Willst du es selbst machen ?
Dann dazu Tipp:
Schätze $ | [mm] x^2 [/mm] * sin ( [mm] \bruch {1}{1x^2} [/mm] ) | $ wie folgt ab:
$$ | [mm] x^2 [/mm] * sin ( [mm] \bruch {1}{x^2} [/mm] ) - [mm] \underbrace{f(0)}_{=0}| \le |x^2| \underbrace{=}_{x\in \IR} [/mm] |x|*|x| < [mm] \delta^2 [/mm] $$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
$|g(x) -g(0)| =|g(x)| [mm] \le x^2 [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] |x| < [mm] \wurzel{\varepsilon}$
[/mm]
Wie ist nun wohl [mm] \delta [/mm] zu wählen ?
FRED
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