Epsilon-Delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Seien [mm] n \in \IN \cup \{0\} [/mm] beliebig, [mm] D^{ } \subset \IR [/mm] beliebig, [mm]x_0 \in D^{ }[/mm] beliebig und [mm] f: D^{ } \to \IR [/mm] mit [mm]f(x)=x^n [/mm].
Dann ist [mm]f^{ } [/mm] in [mm]x_0[/mm] stetig. |
Beweis mittels [mm] \epsilon - \delta-[/mm]Kriterium (welches ich nicht so wirklich beherrsche und ich hab kein exemplarisches Beispiel gefunden)
[mm]|f(x)-f(x_o )|[/mm] = [mm] |x^n -x_{o} ^n|[/mm] = [mm]|(x-x_o )* \summe_{i=0}^{n-1} x^i *x_o ^{n-1-i}|[/mm] = [mm]|x-x_o |*|\summe_{i=0}^{n-1} x^i *x_o ^{n-1-i}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
[mm]\Rightarrow |x-x_o |[/mm] < [mm]\bruch{\epsilon}{|\summe_{i=0}^{n-1} x^i *x_o ^{n-1-i}|}[/mm] = [mm] \delta[/mm]
damit hab ich doch die Stetigkeit gezeigt, oder? Weil ich für jedes [mm]\epsilon[/mm] ein [mm]\delta [/mm] finden kann, sodass für [mm] |f(x)-f(x_o)|<\epsilon[/mm] auch [mm]|x-x_o|<\delta[/mm] ist.
Ist das Formal so richtig?
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Hallo
> Beweisen Sie: Seien [mm]n \in \IN \cup \{0\}[/mm] beliebig, [mm]D^{ } \subset \IR[/mm]
> beliebig, [mm]x_0 \in D^{ }[/mm] beliebig und [mm]f: D^{ } \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=x^n [/mm].
> Dann ist [mm]f^{ }[/mm] in [mm]x_0[/mm] stetig.
> Beweis mittels [mm]\epsilon - \delta-[/mm]Kriterium (welches ich
> nicht so wirklich beherrsche und ich hab kein
> exemplarisches Beispiel gefunden)
>
> [mm]|f(x)-f(x_o )|[/mm] = [mm]|x^n -x_{o} ^n|[/mm] = [mm]|(x-x_o )* \summe_{i=0}^{n-1} x^i *x_o ^{n-1-i}|[/mm]
> = [mm]|x-x_o |*|\summe_{i=0}^{n-1} x^i *x_o ^{n-1-i}|[/mm] <
> [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |x-x_o |[/mm] < [mm]\bruch{\epsilon}{|\summe_{i=0}^{n-1} x^i *x_o ^{n-1-i}|}[/mm]
> = [mm]\delta[/mm]
>
> damit hab ich doch die Stetigkeit gezeigt, oder? Weil ich
> für jedes [mm]\epsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] finden kann, sodass für
> [mm]|f(x)-f(x_o)|<\epsilon[/mm] auch [mm]|x-x_o|<\delta[/mm] ist.
> Ist das Formal so richtig?
Nein, denn dein [mm] \delta [/mm] darf nicht von x abhängen!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
okay, das macht Sinn.
stimmt denn der Ansatz
[mm]|x-x_0| < \bruch{\epsilon}{|\summe_{i=0}^{n-1} x^i*x^{n-1-i}|}[/mm] ??
muss man das dann nur abschätzen? Aber wie. Ich weiß nur, dass die Summe [mm] \not= 0 [/mm] ist...
hast du nen Tipp?
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Huhu,
du musst deine Abschätzungen nach oben nur konsequent weiterführen:
$ [mm] |x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o [/mm] ^{n-1-i}| $
Verwende nun erstmal die Dreiecksungleichung.
Und dann weißt du ja schon, dass du diese Abschätzung eh nur für die x machen willst, für die [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt, daraus kannst du dir eine Abschätzung nach oben für |x| basteln, die nur [mm] x_0 [/mm] und [mm] \delta [/mm] enthält und damit noch weiter abschätzen, so dass deine Summe nachher nur noch von [mm] \delta [/mm] und [mm] x_0 [/mm] abhängt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
> Huhu,
>
> du musst deine Abschätzungen nach oben nur konsequent
> weiterführen:
>
> [mm]|x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}|[/mm]
>
> Verwende nun erstmal die Dreiecksungleichung.
1. Frage: wie? 
man hat |a+b|[mm]\le[/mm]|a|+|b|
und in dem Ausdruck oben habe ich ja ein Produkt. Die Summe ist ja "nur" in dem Summenzeichen...
hab ich dann
[mm]|x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}| \le |x-x_o |\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1} |x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}|[/mm]
2.Frage: ich suche hier nach der Abschätzung für [mm]\delta[/mm] oder?
oder war die Abschätzung für [mm]\epsilon{[/mm] auch schon murx?
>
> Und dann weißt du ja schon, dass du diese Abschätzung eh
> nur für die x machen willst, für die [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]
> gilt, daraus kannst du dir eine Abschätzung nach oben für
> |x| basteln, die nur [mm]x_0[/mm] und [mm]\delta[/mm] enthält
meinst du hier
[mm]|x-x_o | = |x+(-x_o )| \le |x|+|x_o | < \delta[/mm]
[mm] \gdw |x| < \delta -|x_o | [/mm]
>und damit noch
> weiter abschätzen, so dass deine Summe nachher nur noch
> von [mm]\delta[/mm] und [mm]x_0[/mm] abhängt.
und hier brauch ich glaub ich nochmal Hilfe!
>
> MFG,
> Gono.
>
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> 1. Frage: wie?
> man hat |a+b|[mm]\le[/mm]|a|+|b|
> und in dem Ausdruck oben habe ich ja ein Produkt. Die
> Summe ist ja "nur" in dem Summenzeichen...
> hab ich dann
> [mm]|x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}| \le |x-x_o |\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1} |x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}|[/mm]
Genau so
> 2.Frage: ich suche hier nach der Abschätzung für [mm]\delta[/mm]
> oder?
> oder war die Abschätzung für [mm]\epsilon{[/mm] auch schon murx?
Jein. Die Aufgabe ist ja: Finde zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta
[/mm]
D.h. du wählst dir nachher dein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] x_0 [/mm]
Gut ist dann natürlich, wenn man den Ausdruck:
$|f(x) - [mm] f(x_0)|$ [/mm]
durch etwas nach oben Abschätzen kann, was nur delta und [mm] x_0 [/mm] enthält, denn dann kann man sich sein [mm] \delta [/mm] ja gerade so wählen, dass sich alles schön rauskürzt und [mm] \varepsilon [/mm] stehen bleibt.
Am Beispiel:
Angenommen man kann schön abschätzen und erhält:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \bruch{\delta}{|x_0|}$
[/mm]
Hier sieht man jetzt schön, wie man sich [mm] \delta [/mm] wählen kann, nämlich
[mm] $\delta [/mm] := [mm] \varepsilon*|x_0|$
[/mm]
denn dann erhält man:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \bruch{\delta}{|x_0|} [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon*|x_0|}{|x_0|} [/mm] = [mm] \varepsilon$
[/mm]
also das gewünschte, was ja gelten soll fürs gewählte [mm] \delta
[/mm]
Genau darum sollte das Ziel meistens sein den Ausdruck $|f(x) - [mm] f(x_0)|$ [/mm] durch [mm] \delta [/mm] und [mm] x_0 [/mm] abzuschätzen.
Und DANN kann man sich sein [mm] \delta [/mm] geeignet wählen.
Machen wir mal mit deiner Aufgabe weiter
> meinst du hier
> [mm]|x-x_o | = |x+(-x_o )| \le |x|+|x_o | < \delta[/mm]
Ohoh, aufpassen!
Es muss nur gelten [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und es gilt ja [mm] $|x-x_0| \le [/mm] |x| + [mm] |x_0|$
[/mm]
Es muss aber NICHT zwingerndermaßen auch
$|x| + [mm] |x_0| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
gelten, also aufpassen!
Aber nein, mach dir mal klar, dass für alle x mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt:
$|x| [mm] \le |x_0| [/mm] + [mm] \delta$
[/mm]
Das kann man auf mehreren Wegen zeigen bzw. begründen.
Und damit kannst du deine Summe weiter abschätzen
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
erstmal danke für die Geduld!!!!! ich glaube den Verlauf wie der Beweis laufen soll ist in etwa klar.
aber das mit dem Abschätzen fällt mir unglaublich schwer und ich bleib da immer wieder stecken!
ich habe
[mm]|x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}| \le |x-x_o |\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1} |x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}|[/mm]
und
[mm]|x| \le |x_0| + \delta[/mm] und muss das jetzt zusammen bringen...
aber ich kann das doch nicht einfach da einsetzen. das verursacht doch ein riesen Chaos...
[mm]|x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}| \le |x-x_o |\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1} |x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}|[/mm]
[mm] \le |x_o +\delta -x_o|*\summe_{i=0}^{n-1}|(x_o +\delta)^i * x_o ^{n-1-i}|[/mm] = [mm] \delta*\summe_{i=0}^{n-1}|(x_o +\delta)^i * x_o ^{n-1-i}|[/mm]
Wenn ich dann nochmal an den Anfang schaue habe ich jetzt:
[mm] |f(x)-f(x_o )| \le \delta*\summe_{i=0}^{n-1}|(x_o +\delta)^i * x_o ^{n-1-i}|[/mm]
ich brauche aber ein "<" oder?
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Huhu,
> erstmal danke für die Geduld!!!!! ich glaube den Verlauf
> wie der Beweis laufen soll ist in etwa klar.
> aber das mit dem Abschätzen fällt mir unglaublich schwer
> und ich bleib da immer wieder stecken!
das ist nur Übung und Geduld 
> ich habe
> [mm]|x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}| \le |x-x_o |\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1} |x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}|[/mm]
>
> und
> [mm]|x| \le |x_0| + \delta[/mm] und muss das jetzt zusammen
> bringen...
>
> aber ich kann das doch nicht einfach da einsetzen. das
> verursacht doch ein riesen Chaos...
Ach wirklich? Das tolle am Abschätzen ist ja, dass man (wenns hilfreich ist) so oft abschätzen kann, wie man will
> [mm]|x-x_o |\cdot{}|\summe_{i=0}^{n-1} x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}| \le |x-x_o |\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1} |x^i \cdot{}x_o ^{n-1-i}|[/mm]
>
> [mm]\le |x_o +\delta -x_o|*\summe_{i=0}^{n-1}|(x_o +\delta)^i * x_o ^{n-1-i}|[/mm]
> = [mm]\delta*\summe_{i=0}^{n-1}|(x_o +\delta)^i * x_o ^{n-1-i}|[/mm]
Ich helf dir mal, anstatt nur den Tip zu geben
Ich machs klein klein, damit du auch siehst, wie man am Ende auf ein "schönes" Ergebnis kommt
Betrachten wir mal den Summanden der Summe:
[mm] $|(x_0 +\delta)^i [/mm] * [mm] x_0 [/mm] ^{n-1-i}| = [mm] |(x_0 +\delta)|^i [/mm] * [mm] |x_0| [/mm] ^{n-1-i}$
Offensichtlich gilt: [mm] $|(x_0 +\delta)| \le (|x_0| [/mm] + [mm] \delta) [/mm] $ (Dreiecksungleichung und [mm] \delta [/mm] > 0)
Dann steht da schonmal:
[mm] $|(x_0 +\delta)^i [/mm] * [mm] x_0 [/mm] ^{n-1-i}| = [mm] |(x_0 +\delta)|^i [/mm] * [mm] |x_0| [/mm] ^{n-1-i} [mm] \le (|x_0| +\delta)^i [/mm] * [mm] |x_0| [/mm] ^{n-1-i}$
Offensichtlich gilt nun auch [mm] $|x_0| \le |x_0| [/mm] + [mm] \delta$, [/mm] da [mm] $\delta [/mm] > 0$
Dann steht da:
[mm] $|(x_0 +\delta)^i [/mm] * [mm] x_0 [/mm] ^{n-1-i}| = [mm] |(x_0 +\delta)|^i [/mm] * [mm] |x_0| [/mm] ^{n-1-i} [mm] \le (|x_0| +\delta)^i [/mm] * [mm] |x_0| [/mm] ^{n-1-i} [mm] \le (|x_0| +\delta)^i [/mm] * [mm] (|x_0|+\delta) [/mm] ^{n-1-i}$
Das kann man jetzt mit Potenzgesetzen schön zusammenfassen zu:
$ [mm] (|x_0| +\delta)^{i+n-1-i} [/mm] = [mm] (|x_0| +\delta)^{n-1} [/mm] $
Und siehe da, schon lässt sich unser Ausdruck vereinfachen:
$ [mm] \delta\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1}|(x_o +\delta)^i \cdot{} x_o [/mm] ^{n-1-i}| [mm] \le \delta*\summe_{i=0}^{n-1} (|x_0| +\delta)^{n-1} [/mm] = [mm] \delta* (|x_0| +\delta)^{n-1}*\summe_{i=0}^{n-1}1 [/mm] = [mm] \delta* (|x_0| +\delta)^{n-1}*(n-1)$
[/mm]
> ich brauche aber ein "<" oder?
Das ist letztendlich egal. Dass deine Ungleichung aber echt ist, ergibt sich daraus, dass du den Faktor [mm] $|x-x_0|$ [/mm] vor der Summe durch [mm] \delta [/mm] abgeschätzt hast und diese Ungleichung ist echt "<" und damit auch deine Gesamtabschätzung.
Daraus jetzt natürlich konstruktiv ein [mm] \delta [/mm] zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] anzugeben, ist schwer, aber auch nicht notwendig.
Du musst ja nur begründen, warum es jetzt immer so ein [mm] \delta [/mm] gibt, so dass [mm] $\delta* (|x_0| +\delta)^{n-1}*(n-1) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt.
Warum gibt es so ein [mm] \delta?
[/mm]
Tip: Betrachte den Ausdruck mal für [mm] $\delta \to [/mm] 0$. Beachte: n und [mm] x_0 [/mm] sind fest!
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
1000DANK!!!
nachvollziehen kann ich das ja alles, aber selber basteln....dafür fehlt mir echt noch routine im Abschätzen.....
ich dank dir echt!
Mod. Marcel:
> oh, das sollte eine Mitteilung werden!
Hab's angepasst!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 16.12.2010 | | Autor: | ella87 |
eine Frage habe ich noch:
[mm] \delta* (|x_0| +\delta)^{n-1}*\summe_{i=0}^{n-1}1 = \delta* (|x_0| +\delta)^{n-1}*(n-1)[/mm]
DERIVE sagt mir, dass [mm] \summe_{i=0}^{n-1}1 = n [/mm] ist und nicht n-1
was stimmt denn jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Do 16.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> eine Frage habe ich noch:
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> [mm]\delta* (|x_0| +\delta)^{n-1}*\summe_{i=0}^{n-1}1 = \delta* (|x_0| +\delta)^{n-1}*(n-1)[/mm]
>
> DERIVE sagt mir, dass [mm]\summe_{i=0}^{n-1}1 = n[/mm] ist und nicht
> n-1
>
> was stimmt denn jetzt?
DERIVE hat Recht. Aber das hättest Du auch alleine rausfinden können:
[mm] $$\summe_{i=0}^{n-1}1$$
[/mm]
hat folgende Bedeutung:
Du durchläufst die Zahlen [mm] $0,\ldots,n-1\,,$ [/mm] und jedes Mal wird 1 addiert. Anders notiert:
Setze [mm] $a_0:=a_1:=\ldots:=a_{n-1}:=1\,.$ [/mm] Dann
[mm] $$\summe_{i=0}^{n-1} a_i=a_0+a_1+\ldots+a_{n-1}=1+1+\ldots+1=n\,.$$
[/mm]
(Man könnte auch direkt [mm] $\summe_{i=0}^{n-1}1=\summe_{i=1}^{n}1$ [/mm] schreiben!)
Wenn's immer noch unklar ist:
Für $n=0$ steht da [mm] $a_0=1\,.$
[/mm]
Für $n=1$ steht da [mm] $a_0+a_1=1+1=2\,.$
[/mm]
Für $n=2$ steht da [mm] $a_0+a_1+a_2=1+1+1=3\,.$
[/mm]
Für $n=3$ steht da [mm] $a_0+a_1+a_2+a_3=1+1+1+1=4\,.$
[/mm]
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P.S.:
Es ist aber für den Beweis nicht wirklich von Bedeutung (da entsteht zwar ein wirklicher Fehler, aber der ändert nichts wirklich an dem Beweisaufbau und der Beweislogik und zerstört auch nicht die Beweisstruktur - man muss nur eine Kleinigkeit korrigieren, und alles klappt dann so wie gehabt. Es ist vergleichbar wie, wenn DU zeigen solltest, dass eine Menge nach oben beschränkt ist, und Du Dich verrechnest und dann eine zu kleine Zahl als obere Schranke "postulierst", es aber klar ist, dass Du Deine Schranke nur ein wenig vergrößern müßtest, um eine richtige obere Schranke zu erhalten... in diesem Sinne steht da ein "unwesentlicher" Fehler, da eine einfache Korrektur eben dieses Fehlers den Beweis dann komplett richtig macht.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]|f(x)-f(x_o )| \le \delta*\summe_{i=0}^{n-1}|(x_o +\delta)^i * x_o ^{n-1-i}|[/mm]
>
> ich brauche aber ein "<" oder?
es ist, wie Gono schon sagte, egal. Aber eigentlich sollte man dann auch begründen, wieso es egal ist (bei Erstsemestlern bzw. "nichtroutinierten Mathematikern"):
Ich will das nachholen, werde es aber nicht vollständig hinschreiben, sondern mich nur auf's wesentliche beschränken. (Den eigentliche Gedanken findet man auch bei gewissen topologischen Räumen wieder - wenn irgendwo jede offene Kugel stets eine abgeschlossene und umgekehrt enthält...)
Du kannst bei der [mm] $\epsilon-\delta-x_0$-Definition [/mm] der Stetigkeit anstatt [mm] $|x-x_0|< \delta$ [/mm] auch ein [mm] $\le$ [/mm] schreiben, und analog auch bei [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] ein [mm] $\le$. [/mm] Eigentlich sind alle Kombinationen
[mm] $<,\;<$
[/mm]
[mm] $\le, \;<$
[/mm]
$<, [mm] \;\le$
[/mm]
[mm] $\le, \le$
[/mm]
brauchbar, denn alle diese Formulierungen sind dann zueinander äquivalent (daher findet man auch manchmal eine andere Definition als die, die man gelernt hatte).
Wir machen mal folgendes: Wir zeigen die Äquivalenz zwischen der Paarung $<, <$ und [mm] $\le,\;<\;.$
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es dann ein (i.a. von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängiges) [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass aus [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] stets [mm] $|fx)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt.
Definieren wir nun [mm] $\delta'$ [/mm] so, dass $0 < [mm] \delta' [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] (konkret wäre z.B. [mm] $\delta':=\delta/2$ [/mm] möglich - und wegen der Einschränkung $0 < [mm] \delta' [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] ist [mm] $\delta'$ [/mm] natürlich in gleicher Abhängigkeit zu [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\epsilon\,,$ [/mm] wie es [mm] $\delta$ [/mm] ist), so folgt aus [mm] $|x-x_0| \le \delta'$ [/mm] natürlich (weil dann [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt) sofort [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
[mm] $\Leftarrow:$
[/mm]
Das ist trivial: Denn hier setzt man ja die Existenz eines [mm] $\delta [/mm] > 0$ voraus, so dass aus [mm] $|x-x_0| \le \delta$ [/mm] stets [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt. Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt aber insbesondere [mm] $|x-x_0| \le \delta\,,$ [/mm] so dass [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |x-x_0| \le \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
P.S.:
Den Teil "Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$..." darfst Du allerdings NICHT durch "Für alle [mm] $\epsilon \ge [/mm] 0$..." ersetzen. Denn dann müsste es auch für [mm] $\epsilon=0$ [/mm] ein entsprechendes [mm] $\delta [/mm] > 0$ geben, so dass aus [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] dann [mm] $|f(x)-f(x_0)| \le [/mm] 0$ (oder $< [mm] 0\,$) [/mm] gelten sollte. Bei der letzten [mm] $\le$-Abschätzung [/mm] hieße das, dass dann [mm] $f\,$ [/mm] stückweise konstant wäre, bei der [mm] $<\,$ [/mm] Abschätzung wäre eine unmögliche Bedingung gefordert, da Beträge stets [mm] $\le\,0$ [/mm] sind...
Gruß,
Marcel
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