Epsilon-Delta Limes < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Sa 12.01.2008 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | Geg : [mm] f(x)=x^3 [/mm] , [mm] \varepsilon=0,1 [/mm] , [mm] x_{0}=2
[/mm]
Ges : [mm] \delta [/mm] = [mm] \delta (\varepsilon)>0 [/mm] so dass [mm] |f(x)-8|<\varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in U_{\delta}(2) [/mm] |
Nach vielen Stunden verstehe ich nun den epsilon-delta limes oder wie es heissen mag. Trotzdem habe ich eine grosse Schwierigkeit, um den [mm] \delta [/mm] zu finden. Ich habe alle meine Bücher sowie sämtliche Internetseiten nach einem [mm] \delta [/mm] - Bestimmungsverfahren durchsucht, doch war es vergeblich. Also möchte ich gern wissen, wie ich mich diesem Problem nähern soll. Mir ist klar,
dass [mm] |x^3-8|<\varepsilon [/mm] und [mm] |x-2|<\delta [/mm] ist aber ich habe keine Ahnung, wie man beide Teile des Puzzles verbinden kann.
Vielen Dank und liebe Grüsse
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> Geg : [mm]f(x)=x^3[/mm] , [mm]\varepsilon=0,1[/mm] , [mm]x_{0}=2[/mm]
> Ges : [mm]\delta[/mm] = [mm]\delta (\varepsilon)>0[/mm] so dass
> [mm]|f(x)-8|<\varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in U_{\delta}(2)[/mm]
> Nach
> vielen Stunden verstehe ich nun den epsilon-delta limes
> oder wie es heissen mag. Trotzdem habe ich eine grosse
> Schwierigkeit, um den [mm]\delta[/mm] zu finden. Ich habe alle meine
> Bücher sowie sämtliche Internetseiten nach einem [mm]\delta[/mm] -
> Bestimmungsverfahren durchsucht, doch war es vergeblich.
> Also möchte ich gern wissen, wie ich mich diesem Problem
> nähern soll. Mir ist klar,
> dass [mm]|x^3-8|<\varepsilon[/mm] und [mm]|x-2|<\delta[/mm] ist aber ich habe
> keine Ahnung, wie man beide Teile des Puzzles verbinden
> kann.
Du wirst versuchen müssen, den Faktor $|x-2|$ aus der Differenz $|f(x)-f(2)|$ abzuspalten. Dazu kannst Du verwenden, dass allgemein gilt:
[mm]x^n -x_0^n=(x-x_0)\big(x^{n-1}+x^{n-2}\cdot x_0+x^{n-3}\cdot x_0^2+\cdots +x^2\cdot x_0^{n-3}+x\cdot x_0^{n-2}+x_0^{n-1}\big)[/mm]
In Deinem Spezialfall, mit [mm] $x_0=2$ [/mm] und $n=3$ also [mm] $x^3-2^3=(x-2)(x^2+x\cdot [/mm] 2+4)$
Damit erhältst Du, für die nach oben durch ein vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] zu begrenzende Differenz
[mm]|f(x)-f(2)|=|x^3-2^3|=|(x-2)(x^2+2x+4)|=|x^2+2x+4|\cdot |x-2][/mm]
Nun wählst Du [mm] $\delta>0$ [/mm] so klein, dass [mm] $|x^2+2x+4|$ [/mm] für [mm] $|x-2|<\delta$ [/mm] jedenfalls nicht grösser als eine gewisse Konstante $M$ werden kann und zugleich [mm] $M\cdot \delta \leq \varepsilon$ [/mm] ist. Für diese Wahl von [mm] $\delta [/mm] >0$ kannst Du dann effektiv zeigen, dass aus [mm] $|x-2|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(2)|<\varepsilon$ [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 So 13.01.2008 | | Autor: | belf |
Hallo
Also, wenn ich es korrekt verstanden habe, dann ist [mm] \delta [/mm] nicht eine "feste" Zahl, ich meine, es ist eine beliebige Zahl, die die
erforderlichen Bedingungen erfüllt, richtig ? In meinem Skript wurde es so gelöst :
[mm] |x^3-8| [/mm] < 0,1
[mm] |((x-2)+2)^3 [/mm] - 8 |< 0,1
[mm] ||x-2|^3+6|x-2|^2+12|x-2||<0,1
[/mm]
|x-2| { [mm] |x-2|^2+6|x-2|+12 [/mm] } [mm] <\delta(\delta^2+6\delta+12)<\delta(1+6+12)=19\delta=\varepsilon
[/mm]
[mm] \delta(\varepsilon)=\bruch{\varepsilon}{19} [/mm] > 0
Meine Frage ist : könnte in diesem Fall [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] anders als [mm] \bruch{\varepsilon}{19} [/mm] sein ?
Vielen Dank !
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> Hallo
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> Also, wenn ich es korrekt verstanden habe, dann ist [mm]\delta[/mm]
> nicht eine "feste" Zahl, ich meine, es ist eine beliebige
> Zahl, die die
> erforderlichen Bedingungen erfüllt, richtig ?
Ja, sofern es nur darum geht zu zeigen, dass die gegebene Funktion, hier [mm] $f(x)=x^3$ [/mm] an der fraglichen Stelle, hier $x=2$, stetig ist. In einem solchen Falle wird man sogar in Kauf nehmen, dass das, aufgrund des vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gewählte [mm] $\delta [/mm] >0$ unnötig klein ist: Hauptsache man hat die Stetigkeit von $f$ an der Stelle $x=2$ gezeigt.
>In meinem
> Skript wurde es so gelöst :
>
> [mm]|x^3-8| < 0,1[/mm]
> [mm]|((x-2)+2)^3 - 8 |< 0,1[/mm]
> [mm]||x-2|^3+6|x-2|^2+12|x-2||<0,1[/mm]
Ich verstehe nicht unmittelbar, weshalb diese Vorüberlegung gemacht wird.
> [mm]|x-2| \{ |x-2|^2+6|x-2|+12 \} [/mm]
> [mm]<\delta(\delta^2+6\delta+12)<\delta(1+6+12)=19\delta=\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\delta(\varepsilon)=\bruch{\varepsilon}{19}[/mm] > 0
Ich glaube, dass diese Wahl von [mm] $\delta>0$ [/mm] genau genommen nicht richtig ist: auch die (merkwürdige) Vorüberlegung mit $0.1$ legt die Vermutung nahe, dass [mm] $\delta [/mm] := [mm] \min\big(\frac{\varepsilon}{19},0.1\big)$ [/mm] hätte gewählt werden müssen.
>
> Meine Frage ist : könnte in diesem Fall [mm]\delta(\varepsilon)[/mm]
> anders als [mm]\bruch{\varepsilon}{19}[/mm] sein ?
Durchaus, insbesondere wäre jeder kleinere Wert für [mm] $\delta$ [/mm] ebenfalls ok, sofern er nur $>0$ ist: weil in diesem Falle $|f(x)-f(2)|$ erst recht kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist.
Auf dem von mir vorgeschlagenen Weg hätte man also noch die Schranke $M$ für [mm] $|x^2+2x+4|$ [/mm] finden müssen. Falls wir von vornherein erzwingen, dass unser [mm] $\delta>0$ [/mm] jedenfalls [mm] $\leq [/mm] 1$ ist, dann folgt aus [mm] $|x-2|<\delta$, [/mm] dass $1< x<3$ und daher
[mm]|x^2+2x+4|\leq |x^2|+2|x|+4 < 3^2+2\cdot 3+4=19[/mm]
ist. Also haben wir für $M:= 19$, dass wir unser [mm] $\delta$ [/mm] so wählen können: [mm] $\delta [/mm] := [mm] \min\big(\tfrac{\varepsilon}{19},1\big)$.
[/mm]
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