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Epsilon-Delta Mehrdimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Mo 02.08.2010
Autor: ufuk

Aufgabe
Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:

f(x,y) = [mm] xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm]

Frage: Wie wende ich hierbei im Mehrdimensionalen das Epsilon-Delta-Kriterium an? Ich finde die Definition des selbigen nur für den eindimensionalen Fall...

        
Bezug
Epsilon-Delta Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 02.08.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

für allgemeine metrische Räume lautet das Epsilon-Delta-Kriterium:

Sei f: V [mm] \to [/mm] W, dann heist f stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn gilt:

[mm] $\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0: d_V(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow d_W\left(f(x),f(x_0)\right) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

Allerdings würde ich hier wohl eher das Folgenkriterium bevorzugen.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Epsilon-Delta Mehrdimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mo 02.08.2010
Autor: ufuk

Wofür steht [mm] d_W [/mm] und [mm] d_V? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Epsilon-Delta Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mo 02.08.2010
Autor: Gonozal_IX

[mm] d_V [/mm] ist die Metrik auf V und [mm] d_W [/mm] die Metrik auf W.

Insbesondere ist das schöne, dass wenn man durch Normen induzierte Metriken auf endlich-dimensionalen Vektorräumen verwendet (wie bspw. [mm] \IR^n) [/mm] verwendet wie bspw. $d(x,y) = ||x-y||$ sich die Metriken aussuchen kann, da dort alle Normen bekanntlich Äquivalent sind.

Die bekanntesten sind wohl die Betragsnormen.

MFG,
Gono

Bezug
        
Bezug
Epsilon-Delta Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Di 03.08.2010
Autor: fred97


> Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
>  
> f(x,y) = [mm]xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>  Frage: Wie wende ich hierbei im Mehrdimensionalen das
> Epsilon-Delta-Kriterium an? Ich finde die Definition des
> selbigen nur für den eindimensionalen Fall...


Ich denke die stetigkeit von f in Punkten (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) ist klar.

Vielleicht verrätst Du noch, wie f in (0,0) def. ist.. Wahrscheinlich f(0,0):=0. Wenn ja, so kannst Du vielleicht den Tipp

                  $|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |x*y|$

gebrauchen.

FRED


Bezug
        
Bezug
Epsilon-Delta Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Di 03.08.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
>  
> f(x,y) = [mm]xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>  Frage: Wie wende ich hierbei im Mehrdimensionalen das
> Epsilon-Delta-Kriterium an? Ich finde die Definition des
> selbigen nur für den eindimensionalen Fall...

das bisher gesagte findest Du []hier in Kapitel 10, Definition 10.2, Satz 10.7 und Bemerkung 8.17. Gerne kannst Du entsprechendes dort natürlich auch weiter durcharbeiten und ggf. nachfragen.

Beste Grüße,
Marcel

Bezug
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