Epsilon-Umgebung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm] $(b_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] betrachtet werden mit:
[mm] $\underset{n \in \IN }{\forall} b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{n-1}{n+1}.$
[/mm]
Für jedes positive [mm] $\varepsilon \in \IR (\varepsilon [/mm] > 0)$ soll eine natürliche Zahl [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] angegeben werden, sodass:
[mm] $\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| b_{n}-1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.$ [/mm] |
Hallo,
ich habe in meinen Unterlagen aus der Analysis-Vorlesung vom letzten Jahr nachgesehen, leider aber keine entsprechende Aufgabe gefunden.
Einzig dieser Aufgabentypus scheint eine gewisse Ähnlichkeit zu besitzen, wird mir bei der Lösung der aktuellen Aufgabe aber vermutlich nichts bringen:
Berechnen Sie die Grenzwerte [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}$ [/mm] für die Folgen [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{4n^{2}-n^{4}}{3(n^{2}+1)^{2}}$
[/mm]
Mein Problem bei der eigentlichen Aufgabe:
Ich habe zunächst versucht, mich mit der Definition der Epsilon-Umgebung vertraut zu machen und bin auf diesen sehr nützlichen Link ![[]](/images/popup.gif) UniWiki gestoßen.
Dort findet sich die Definition [mm] $K_\varepsilon(x_0) [/mm] := [mm] \{y \in E : |y - x_0| < \varepsilon\}$
[/mm]
Frage: Wofür steht die Variable y ?
Es wäre auch sehr nett, wenn jemand in einfachen Worten beschreiben könnte, was in dieser Aufgabe eigentlich gesucht ist?
Trotz der obigen Unklarheiten würde ich die Aufgabe so angehen und hoffe, auf dem richtigen Weg zu sein:
[mm] $\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \left| \bruch{n(1-\bruch{1}{n})}{n(1+\bruch{1}{n})}-1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \left| \underbrace{\underbrace{\bruch{(1-\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n})}}_{<1}-1}_{<0} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw -(\bruch{(1-\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n})}-1) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw -\bruch{(1-\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n})}+1 [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw -\bruch{(1-\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n})} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] - 1$
[mm] $\underset{*(-1)}{\gdw} \bruch{(1-\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n})} [/mm] > 1 - [mm] \varepsilon$
[/mm]
Nach dieser Runde gehe ich "technisch K.O.", denn ohne Ziel (siehe angesprochene Unklarheiten oben) weiß ich nicht, wo ich hin will und ich würde mich in einer Endlosschleife von Umformungen verfangen.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
Mit einfachen Worten ausgedrück. Das Epsilon ist beliebig also irgendeine Zahl und deine Aufgabe ist es ein n (wird naher mit N(epsilon) genannt) zu bestimmen für das die Ungleichung [mm] $b_n<\varpesilon$ [/mm] gilt. Das heißt ich gebe dir [mm] $\varepsilon=5$ [/mm] vor und du suchst mir (das kleinste) n für das die Ungleichung erfüllt ist.
Probier das doch einfach mal aus:
Gebe dir [mm]\varepsilon:= 5[/mm] vor und finde heraus, ab welchem n die Ungleichung [mm]b_n<\varepsilon[/mm] erfüllt wird. Beachte, dass die Betragsstriche hier überflüssig sind, da sich n im Lebensraum der natürlichen Zahlen aufhält.
Also konkret für welches n ist [mm]\frac{n-1}{n+1}<5[/mm]
Dann hast du auch eigentlich den Dreh heraus, wie du auch mit dem Epsilon umformen musst.
Nun zu
> Frage: Wofür steht die Variable y ?
> $ [mm] K_\varepsilon(x_0) [/mm] := [mm] \{y \in E : |y - x_0| < \varepsilon\} [/mm] $
Das K ist eine Umgebung zum Punkt [mm] $x_0$. [/mm] In K liegen alle Punkte (Zahlen) die einen Abstand zu [mm] $x_0$ [/mm] haben der kleiner als Epsilon ist.
Also [mm] $K_3(5)=]2,8[$.
[/mm]
Ganz einfach gesagt ist löse die Ungleichung
[mm]\frac{n-1}{n+1}<\varepsilon[/mm]
nach n auf.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm] $(b_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] betrachtet werden mit:
[mm] $\underset{n \in \IN }{\forall} b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{n-1}{n+1}.$
[/mm]
Für jedes positive [mm] $\varepsilon \in \IR (\varepsilon [/mm] > 0)$ soll eine natürliche Zahl [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] angegeben werden, sodass:
[mm] $\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| b_{n}-1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.$ [/mm] |
Danke wieschoo, danke Fred,
ich habe zunächst hierzu noch eine Frage:
> Nun zu
> > Frage: Wofür steht die Variable y ?
> > [mm]K_\varepsilon(x_0) := \{y \in E : |y - x_0| < \varepsilon\}[/mm]
>
> Das K ist eine Umgebung zum Punkt [mm]x_0[/mm]. In K liegen alle
> Punkte (Zahlen) die einen Abstand zu [mm]x_0[/mm] haben der kleiner
> als Epsilon ist.
> Also [mm]K_3(5)=]2,8[[/mm].
Auf die aktuelle Aufgabe übertragen, bedeutet das doch, mein y ist das [mm] $b_{n}$ [/mm] und mein [mm] $x_{0}$ [/mm] ist die 1 ?
Dann greife ich den Hinweis von Fred auf:
[mm] $\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{n-1-(n+1)}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \left| -\bruch{2}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Trotz der Gefahr von Fred gesteinigt zu werden:
Darf ich jetzt einfach [mm] $\bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{2}{n}$ [/mm] schreiben?
Kann das stimmen...?
[mm] $\bruch{2(n+1)}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{2(n+1)}{n}$
[/mm]
[mm] $2<\bruch{2n+2}{n}$
[/mm]
[mm] $2<\bruch{n(2+\bruch{2}{n})}{n}$
[/mm]
[mm] $2<2+\bruch{2}{n}$
[/mm]
[mm] $0<\bruch{2}{n}$
[/mm]
$0<2$
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> betrachtet werden mit:
>
> [mm]\underset{n \in \IN }{\forall} b_{n} := \bruch{n-1}{n+1}.[/mm]
>
> Für jedes positive [mm]\varepsilon \in \IR (\varepsilon > 0)[/mm]
> soll eine natürliche Zahl [mm]N(\varepsilon)[/mm] angegeben werden,
> sodass:
>
> [mm]\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| b_{n}-1 \right| < \varepsilon.[/mm]
>
> Danke wieschoo, danke Fred,
>
> ich habe zunächst hierzu noch eine Frage:
>
> > Nun zu
> > > Frage: Wofür steht die Variable y ?
> > > [mm]K_\varepsilon(x_0) := \{y \in E : |y - x_0| < \varepsilon\}[/mm]
>
> >
> > Das K ist eine Umgebung zum Punkt [mm]x_0[/mm]. In K liegen alle
> > Punkte (Zahlen) die einen Abstand zu [mm]x_0[/mm] haben der kleiner
> > als Epsilon ist.
> > Also [mm]K_3(5)=]2,8[[/mm].
>
> Auf die aktuelle Aufgabe übertragen, bedeutet das doch,
> mein y ist das [mm]b_{n}[/mm] und mein [mm]x_{0}[/mm] ist die 1 ?
>
>
> Dann greife ich den Hinweis von Fred auf:
>
> [mm]\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| = \left| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1} \right| = \left| \bruch{n-1-(n+1)}{n+1} \right| = \left| -\bruch{2}{n+1} \right| = \bruch{2}{n+1} < \varepsilon[/mm]
>
> Trotz der Gefahr von Fred gesteinigt zu werden:
> Darf ich jetzt einfach [mm]\bruch{2}{n+1} < \bruch{2}{n}[/mm]
> schreiben?
Du darfst
FRED
>
>
> Kann das stimmen...?
>
> [mm]\bruch{2(n+1)}{n+1} < \bruch{2(n+1)}{n}[/mm]
>
> [mm]2<\bruch{2n+2}{n}[/mm]
>
> [mm]2<\bruch{n(2+\bruch{2}{n})}{n}[/mm]
>
> [mm]2<2+\bruch{2}{n}[/mm]
>
> [mm]0<\bruch{2}{n}[/mm]
>
> [mm]0<2[/mm]
>
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Mi 01.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Fred, da Du keinen Einspruch eingelegt hast, denke ich, dass das 0<2 am Ende richtig ist.
Wie kann ich dieses Ergebnis interpretieren und ist damit die Aufgabe schon erledigt?
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass 0<2 richtig ist kann ich gern bestätigen. Was du aber mit der langen Rechnung, die da hinführte wolltest hast du nicht gesagt.scheint auch ziemlich sinnlos.
dass 2/(n+1)<2/n ist sollte dir klar sein. wenn man den nenner eines Bruchs verkleinert wird er größer. damit kannst du ein [mm] N(\epsilon)angeben [/mm] wie es in der Def. von Konvergenz gebraucht wird.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm] $(b_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] betrachtet werden mit:
[mm] $\underset{n \in \IN }{\forall} b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{n-1}{n+1}.$
[/mm]
Für jedes positive [mm] $\varepsilon \in \IR (\varepsilon [/mm] > 0)$ soll eine natürliche Zahl [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] angegeben werden, sodass:
[mm] $\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| b_{n}-1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.$ [/mm] |
Hallo leduart,
> Dass 0<2 richtig ist kann ich gern bestätigen. Was du
> aber mit der langen Rechnung, die da hinführte wolltest
> hast du nicht gesagt.scheint auch ziemlich sinnlos.
Davon ausgehend
$ [mm] \left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{n-1-(n+1)}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \left| -\bruch{2}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$ [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{2}{n} [/mm] $
wollte ich nach n auflösen, so wie wenn ich eine Gleichung nach x auflöse, um einen bestimmten Wert zu ermitteln.
Ehrlich gesagt tappe ich bei dieser Aufgabe noch immer im Dunkeln. Ist die Aufgabe mit der letzten Zeile [mm] $\bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{2}{n}$ [/mm] dann abgeschlossen oder muss weiter umgeformt oder gar noch ein anderer Schritt unternommen werden?
Hoffe ich konnte meine Verständnisschwierigkeiten verständlich darstellen... Es fehlt mir noch das nötige Gefühl für solche Aufgaben, deshalb die Bitte um ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]") .
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Davon ausgehend
>
> [mm]\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| = \left| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1} \right| = \left| \bruch{n-1-(n+1)}{n+1} \right| = \left| -\bruch{2}{n+1} \right| = \bruch{2}{n+1} < \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{n+1} < \bruch{2}{n}[/mm]
füg das letzte oben ein, dann hast du
[mm] $\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{n-1-(n+1)}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \left| -\bruch{2}{n+1} \right| [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1} <$\bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{2}{n}$ \le \varepsilon$
[/mm]
und damit hast du mit [mm] 2/n<\varepsilon
[/mm]
[mm] n>2/\varepsilon [/mm] und damit für jedes beliebige [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] N=2/\varepsilon [/mm] so dass für alle n>N gilt [mm] \left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right|<\varepsilon
[/mm]
du musst unbedingt nochmal genau durchlesen und für dich aufschreiben, wann eine folge [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert. nur dann kannst du zielstrebig arbeiten.
Schreib dir das zu jedem folgenden Beweis erst mal wirklich auf, bis du es im Schlaf aufsagen kannst, dann präg dir das Ziel ein: ICH MUSS ZU JEDEM [mm] \varepsilon [/mm] EIN N FINDEN SO DASS....
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm] $(b_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] betrachtet werden mit:
[mm] $\underset{n \in \IN }{\forall} b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{n-1}{n+1}.$
[/mm]
Für jedes positive [mm] $\varepsilon \in \IR (\varepsilon [/mm] > 0)$ soll eine natürliche Zahl [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] angegeben werden, sodass:
[mm] $\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| b_{n}-1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.$ [/mm] |
Vielen Dank, leduart.
> füg das letzte oben ein,
> dann hast du
> [mm]\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| = \left| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1} \right| = \left| \bruch{n-1-(n+1)}{n+1} \right| = \left| -\bruch{2}{n+1} \right| = \bruch{2}{n+1} <[/mm][mm] \bruch{2}{n+1}[/mm]
> < [mm]\bruch{2}{n}[/mm] [mm]\le \varepsilon[/mm]
> und damit hast du mit
> [mm]2/n<\varepsilon[/mm]
> [mm]n>2/\varepsilon[/mm] und damit für jedes beliebige [mm]\varepsilon[/mm]
> ein [mm]N=2/\varepsilon[/mm] so dass für alle n>N gilt [mm]\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right|<\varepsilon[/mm]
>
Kurz eine Frage noch zum Ende. Muss es [mm] $\bruch{2}{n}<\varepsilon$ [/mm] oder [mm] $\bruch{2}{n} \le \varepsilon$ [/mm] heißen?
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Korrekt ist das "echt-kleiner" $<_$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo el_grecco!
>
>
> Korrekt ist das "echt-kleiner" [mm]<_[/mm] .
Hallo Loddar,
" [mm] \le [/mm] " ist nicht weniger korrekt
Gruß FRED
>
>
> Gruß
> Loddar
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> betrachtet werden mit:
>
> [mm]\underset{n \in \IN }{\forall} b_{n} := \bruch{n-1}{n+1}.[/mm]
>
> Für jedes positive [mm]\varepsilon \in \IR (\varepsilon > 0)[/mm]
> soll eine natürliche Zahl [mm]N(\varepsilon)[/mm] angegeben werden,
> sodass:
>
> [mm]\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| b_{n}-1 \right| < \varepsilon.[/mm]
>
> Vielen Dank, leduart.
>
> > füg das letzte oben ein,
> > dann hast du
> > [mm]\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| = \left| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1} \right| = \left| \bruch{n-1-(n+1)}{n+1} \right| = \left| -\bruch{2}{n+1} \right| = \bruch{2}{n+1} <[/mm][mm] \bruch{2}{n+1}[/mm]
> > < [mm]\bruch{2}{n}[/mm] [mm]\le \varepsilon[/mm]
> > und damit hast du mit
> > [mm]2/n<\varepsilon[/mm]
> > [mm]n>2/\varepsilon[/mm] und damit für jedes beliebige
> [mm]\varepsilon[/mm]
> > ein [mm]N=2/\varepsilon[/mm] so dass für alle n>N gilt [mm]\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right|<\varepsilon[/mm]
>
> >
>
> Kurz eine Frage noch zum Ende. Muss es
> [mm]\bruch{2}{n}<\varepsilon[/mm] oder [mm]\bruch{2}{n} \le \varepsilon[/mm]
> heißen?
Das ist egal.
FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fred!
ISt es denn wirklich egal? Ich selber bin da nicht so pingelig, hatte meine Antwort aber auf die Definition der Konvergenz mit $... \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \varepsilon$ [/mm] gestützt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Loddar,
betrachten wir mal
(I) zu jedem [mm] \varepsilon> [/mm] 0 gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $|a_n-a|< \varepsilon$ [/mm] für n>N.
und
(II) zu jedem [mm] \varepsilon> [/mm] 0 gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $|a_n-a| \le \varepsilon$ [/mm] für n>N.
Die Implikation (I) [mm] \Rightarrow [/mm] (II) ist klar.
Nun gelte (II). Sei [mm] \varepsilon> [/mm] 0 gegeben. Aus (II) folgt:
es gibt ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $|a_n-a| \le \varepsilon/2$ [/mm] für n>N.
Also gilt auch: [mm] $|a_n-a| \le \varepsilon/2 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für n>N.
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fred!
Danke für diese Ausführung. Für den "allgemeinen Konvergenznachweis" kann ich das sehr gut nachvollziehen.
Bei einer Aufgabenstellung "Bestimme ein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] für ein konkretes [mm] $\varepsilon [/mm] \ = \ ...$ " könnte es aber dennoch zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
>
> Danke für diese Ausführung. Für den "allgemeinen
> Konvergenznachweis" kann ich das sehr gut nachvollziehen.
>
>
> Bei einer Aufgabenstellung "Bestimme ein [mm]N(\varepsilon)[/mm]
> für ein konkretes [mm]\varepsilon \ = \ ...[/mm] " könnte es aber
> dennoch zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Hallo Loddar,
wenn nicht gerade das "optimale" $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $ gesucht ist, ist das nicht relevant
Gruß FREd
>
>
> Gruß
> Loddar
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Do 02.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Loddar/Hallo Fred,
wenn ich es richtig verstanden habe (vor allem im Hinblick auf die Klausur im Februar), dann bin ich auf jeden Fall auf der richtigen Seite, wenn ich generell immer $<$ schreibe?
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Ja, mit den strengeren " < " bist Du auf der sicheren Seite.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Auch wenn ich jetzt vielleicht nerve:
mit den " [mm] \le [/mm] " bist Du auch auf der sicheren Seite.
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Was machst Du nur für Sachen ......
[mm] $\left| \bruch{n-1}{n+1}-1 \right| [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1}<2/n$
[/mm]
Damit gehts einfacher.
FRED
|
|
|
|
