Epsilon Delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:26 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie die Umgebungsstetigkeit von f: [mm] R^{+} \to R^{+} f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] mit dem epsilon delta Kriterium. |
Guten Abend,
Ich habe leider so meine Probleme mit dem Epsilon Delta kriterium.
Speziell ein paar Schritte aus der obigen Aufgabe:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
1. [mm] |x-x_0|<\sigma \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
[/mm]
Der Sinn ist jetzt also ein [mm] \epsilon [/mm] vorzugeben und ein Sigma zu finden, für das die Bedingung erfüllt ist?
[mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|<\epsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|=|\bruch{x_0-x}{|x| \cdot x_0}|
[/mm]
Jetzt der Teil den ich nicht verstehe:
$|x|>| [mm] |x-x_0| -|x_0| [/mm] | [mm] \ge x_0 [/mm] - [mm] \sigma \ge \bruch{x_0}{2}$ [/mm] für [mm] $\sigma [/mm] < [mm] \bruch{x_0}{2}$
[/mm]
Was ist das für eine Abschätzung? Die umgekehrte Dreiecksungleichung wohl nicht.
Diese lautet: [mm] |x|>||x+x_0|-|x_0||
[/mm]
Ich verstehe auch nicht für was diese Abschätzung gut sein soll?
Und wie zum Teufel kommt man denn auf die [mm] \bruch{x_0}{2}???
[/mm]
Es wäre toll, wenn mir das jemand genau erklären könnte...(Am besten so einfach wie möglich  )
Danke wieder mal für eure Hilfe im vorraus.
Gruß Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
momentan nur mal kurz hierzu:
> Jetzt der Teil den ich nicht verstehe:
>
> [mm]|x|>| |x-x_0| -|x_0| | \ge x_0 - \sigma \ge \bruch{x_0}{2}[/mm]
> für [mm]\sigma < \bruch{x_0}{2}[/mm]
>
> Was ist das für eine Abschätzung?
das erste [mm] $>\,$ [/mm] soll sicher ein [mm] $\ge$ [/mm] sein [mm] ($\;>\,$ [/mm] wäre dort i.a. falsch!), und das letzte [mm] $\ge$ [/mm] (vor dem [mm] $x_0/2$) [/mm] soll sicher ein [mm] $>\,$ [/mm] sein [mm] ($\ge$ [/mm] könnte man dort auch stehen lassen).
> Die umgekehrte
> Dreiecksungleichung wohl nicht.
> Diese lautet: [mm]|x|>||x+x_0|-|x_0||[/mm]
Mit dem [mm] $\ge$ [/mm] anstatt des [mm] $>\,$:
[/mm]
Es ist die umgekehrte Dreiecksungleichung. Für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
$$|x| [mm] \red{\;\ge\;}|\;|x+y|-|y|\;|\,.$$
[/mm]
Damit folgt insbesondere für [mm] $y:=-x_0$
[/mm]
$$|x| [mm] \ge |\;|x+(-x_0)|-|-x_0|\;|$$
[/mm]
bzw. äquivalent dazu
$$|x| [mm] \ge |\;|x-x_0|-|x_0|\;|\,.$$
[/mm]
Und weil für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass sowohl $r [mm] \le [/mm] |r|$ als auch $-r [mm] \le [/mm] |r|$ gilt, folgt danach
[mm] $$|\;|x-x_0|-|x_0|\;| \ge -(|x-x_0|-|x_0|)=|x_0|-|x-x_0|=x_0-|x-x_0|\,.$$
[/mm]
unter Beachtung von [mm] $x_0 \in \IR^+\,.$
[/mm]
Du kannst Dir ja mal überlegen, wie der Rest zustandekommt... Vielleicht auch später (von mir oder jmd. anderen) noch etwas dazu. Es ist eigentlich nicht wirklich schwer - manchmal hilft's auch, sich mal das ganze am Graphen zu veranschaulichen, damit man wenigstens "erahnt", was da gemacht wird... oder wenigstens eine Intuition/Idee bekommt, was man da eigentlich "vorgerechnet" bekommt!
P.S.:
Natürlich sollte nicht nur [mm] $\sigma [/mm] < [mm] x_0/2\,,$ [/mm] sondern auch [mm] $\sigma [/mm] > 0$ sein (üblicherweise bezeichnet man "dieses Ding" aber mit dem Buchstaben [mm] $\delta$). [/mm] Genauer ist zu zeigen:
Ist [mm] $x_0 \in \IR^+$ [/mm] beliebig (aber fest), so gilt:
Ist dann [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, so gibt es zu dem [mm] $\epsilon$ [/mm] und zu dem [mm] $x_0$ [/mm] (mindestens) ein passendes [mm] $\delta=\delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0$ so, dass für alle $x [mm] \in \IR^+$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] schon [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt.
(Denn: Wegen der "Beliebigkeit" von [mm] $x_0 \in D_f$ [/mm] und wegen der "Beliebigkeit" von [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ zeigt man so: Für alle [mm] $x_0 \in D_f$ [/mm] gilt: Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0$ so, dass ... .)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Do 08.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Marcel,
Danke für deine Mühe. Deine Antworten sind echt der Hammer! Die Antwort hilft mir auf jeden Fall erst mal weiter. Jetzt verstehe ich endlich diese Abschätzung.
> momentan nur mal kurz hierzu:
>
> > Jetzt der Teil den ich nicht verstehe:
> >
> > [mm]|x|>| |x-x_0| -|x_0| | \ge x_0 - \sigma \ge \bruch{x_0}{2}[/mm]
> > für [mm]\sigma < \bruch{x_0}{2}[/mm]
> >
> > Was ist das für eine Abschätzung?
>
> das erste [mm]>\,[/mm] soll sicher ein [mm]\ge[/mm] sein ([mm]\;>\,[/mm] wäre dort
> i.a. falsch!), und das letzte [mm]\ge[/mm] (vor dem [mm]x_0/2[/mm]) soll
> sicher ein [mm]>\,[/mm] sein ([mm]\ge[/mm] könnte man dort auch stehen
> lassen).
>
Ja, beim ersten sollte es "größer gleich" sein. Beim zweiten steht bei mir auch "größer gleich"
>
> Mit dem [mm]\ge[/mm] anstatt des [mm]>\,[/mm]:
> Es ist die umgekehrte Dreiecksungleichung. Für alle [mm]x,y \in \IR[/mm]
> gilt
> [mm]|x| \red{\;\ge\;}|\;|x+y|-|y|\;|\,.[/mm]
>
> Damit folgt insbesondere für [mm]y:=-x_0[/mm]
> [mm]|x| \ge |\;|x+(-x_0)|-|-x_0|\;|[/mm]
> bzw. äquivalent dazu
> [mm]|x| \ge |\;|x-x_0|-|x_0|\;|\,.[/mm]
>
> Und weil für jedes [mm]r \in \IR[/mm] gilt, dass sowohl [mm]r \le |r|[/mm]
> als auch [mm]-r \le |r|[/mm] gilt, folgt danach
> [mm]|\;|x-x_0|-|x_0|\;| \ge -(|x-x_0|-|x_0|)=|x_0|-|x-x_0|=x_0-|x-x_0|\,.[/mm]
>
> unter Beachtung von [mm]x_0 \in \IR^+\,.[/mm]
Echt ne tolle Erklärung. Warum steht das denn nicht so in meinem Skript?
> Du kannst Dir ja mal überlegen, wie der Rest
> zustandekommt... Vielleicht auch später (von mir oder jmd.
> anderen) noch etwas dazu. Es ist eigentlich nicht wirklich
> schwer - manchmal hilft's auch, sich mal das ganze am
> Graphen zu veranschaulichen, damit man wenigstens "erahnt",
> was da gemacht wird... oder wenigstens eine Intuition/Idee
> bekommt, was man da eigentlich "vorgerechnet" bekommt!
Ich werde auf jeden Fall versuchen das mal zu zeichen.
> P.S.:
> Natürlich sollte nicht nur [mm]\sigma < x_0/2\,,[/mm] sondern auch
> [mm]\sigma > 0[/mm] sein (üblicherweise bezeichnet man "dieses
> Ding" aber mit dem Buchstaben [mm]\delta[/mm]). Genauer ist zu
> zeigen:
> Ist [mm]x_0 \in \IR^+[/mm] beliebig (aber fest), so gilt:
> Ist dann [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig, aber fest, so gibt es zu
> dem [mm]\epsilon[/mm] und zu dem [mm]x_0[/mm] (mindestens) ein passendes
> [mm]\delta=\delta(x_0,\epsilon) > 0[/mm] so, dass für alle [mm]x \in \IR^+[/mm]
> mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm] schon [mm]|f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/mm] folgt.
>
> (Denn: Wegen der "Beliebigkeit" von [mm]x_0 \in D_f[/mm] und wegen
> der "Beliebigkeit" von [mm]\epsilon > 0[/mm] zeigt man so: Für alle
> [mm]x_0 \in D_f[/mm] gilt: Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert ein
> [mm]\delta=\delta(x_0,\epsilon) > 0[/mm] so, dass ... .)
Warum man gerade [mm] \bruch{x_0}{2} [/mm] wählt habe ich noch nicht so ganz begriffen.
Ich werde mich aber erst morgen weiter damit beschäftigen.
Gruß Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:35 Do 08.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Warum man gerade [mm]\bruch{x_0}{2}[/mm] wählt habe ich noch nicht
> so ganz begriffen.
> Ich werde mich aber erst morgen weiter damit
> beschäftigen.
schreib' Dir mal auf, wie die Abschätzung aussieht bzw. was rauskommt, wenn man $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] x_0/2$ [/mm] wählt. Du wirst dann sehen, dass diese Wahl hinreichend für das ist, was man haben will - und vielleicht wird das dann etwas klarer...
(Edit: Alleine $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] x_0/2$ [/mm] kann nicht sein, weil das NICHT hinreichend für das ist, was man haben will: [mm] $\delta$ [/mm] wird auch von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängen. Siehe auch meine andere Mitteilung!
$$ [mm] \delta [/mm] = [mm] \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right) [/mm] $$
tut's)
(Man kann halt hier 'rein algebraisch' argumentieren, oder auch mal das ganze ein wenig veranschaulichen - indem man das, was man algebraisch etwa 'nachrechnet' mit in eine Skizze reinschreibt, wo man den Graphen zeichnet. Wenn ich einen Scanner hätte, würde ich das ganze mal machen und einscannen... Vielleicht komme ich am WE mal dazu...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Do 08.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hi!
So, hab das jetzt mal gezeichnet. Leider bin ich dadurch irgendwie noch mehr verwirrt.
Um noch mal auf den Sinn dieses [mm] \epsilon \delta [/mm] - Kriteriums zurück zu kommen:
Ich wähle mir doch ein festes [mm] \epsilon [/mm] im vorraus aus. Nach diesem [mm] \epsilon [/mm] richtet sich doch dann die [mm] \delta [/mm] -Umgebung, oder? Ist die Zeichnung dann so überhaupt richtig?
Hätte ich etwa doch zunächst eine [mm] \delta [/mm] Umgebung um mein [mm] x_{stern} [/mm] einrichten müssen und daraus hätte dann die epsilon Umgebung resultiert?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Hans
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> So, hab das jetzt mal gezeichnet. Leider bin ich dadurch
> irgendwie noch mehr verwirrt.
>
> Um noch mal auf den Sinn dieses [mm]\epsilon \delta[/mm] -
> Kriteriums zurück zu kommen:
> Ich wähle mir doch ein festes [mm]\epsilon[/mm] im vorraus aus.
> Nach diesem [mm]\epsilon[/mm] richtet sich doch dann die [mm]\delta[/mm]
> -Umgebung, oder? Ist die Zeichnung dann so überhaupt
> richtig?
> Hätte ich etwa doch zunächst eine [mm]\delta[/mm] Umgebung um
> mein [mm]x_{stern}[/mm] einrichten müssen und daraus hätte dann
> die epsilon Umgebung resultiert?
nein, Deine Vorgehensweise ist schon richtig: Erst wählst Du (irgendein) [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Definitionsbereich, und hältst das dann fest. Dann:
Du gibst Dir (irgend-) ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vor und musst dann ein [mm] $\delta=\delta(x_0,\epsilon) [/mm] > 0$ "passend" finden.
Was bei Deiner Zeichnung nicht stimmen kann: Du hast dort ja [mm] $x_0=1\,.$ [/mm] Bei Dir ist bei [mm] $x_0+\delta$ [/mm] das [mm] $\delta$ [/mm] größer als das bei [mm] $x_0-\delta\,.$ [/mm] Du betrachtest doch quasi das Intervall mit Mittelpunkt [mm] $x_0$ [/mm] und "Radius" (=Halbe Intervalllänge) [mm] $\delta\,.$
[/mm]
Soviel sehe ich gerade an Deiner Skizze jedenfalls, wo etwas nicht stimmen kann...
P.S.:
[mm] $\text{min}\{1/2,\;1/4\}$ [/mm] kann man hinschreiben:
[mm] $\text{min}\{1/2,\;1/4\}=1/4\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
kurz zu Deiner Zeichnung (Erinnerung: [mm] $f(x):=1/x\,$ [/mm] für $x > [mm] 0\,$ [/mm] war die Funktion!):
also was passt, ist irgendwie, dass zu [mm] $x_0=1$ [/mm] (Du hast das [mm] $x_\*$ [/mm] genannt) und [mm] $\epsilon=0.5$ [/mm] Du anhand der "Funktionswerte" [mm] $f(1)+\epsilon$ [/mm] und [mm] $f(1)-\epsilon$ [/mm] unten zwei Stellen bekommst: Die sind aber nicht [mm] $x_0-\delta$ [/mm] und [mm] $x_0+\delta\,:$
[/mm]
Sondern mach' es mal so:
Sei $a > [mm] 0\,$ [/mm] mit [mm] $f(a)=f(x_0)+\epsilon$ [/mm] und $b > [mm] 0\,$ [/mm] mit [mm] $f(b):=f(x_0)-\epsilon\,.$ [/mm]
Nun:
Hier hat [mm] $f\,,$ [/mm] ja eine schöne Eigenschaft: [mm] $f\,$ [/mm] fällt streng monoton - insbesondere ist $a < [mm] x_0 [/mm] < [mm] b\,.$ [/mm]
Du "siehst" hier am Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] zudem, dass [mm] $|f(a)-f(x_0)| \ge |f(b)-f(x_0)|\,.$ [/mm]
Was "sieht" man hier denn noch? (Also nur, indem man sich mal den Graphen anguckt!)
Naja, man "sieht", dass, wenn man alle [mm] $f(x)\,$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ betrachtet, dann sicher $|f(x) [mm] -f(x_0)| \le \epsilon$ [/mm] gilt.
Wie kann man dann [mm] $\delta [/mm] > 0$ "stetigkeitspassend zu [mm] $\epsilon,x_0$" [/mm] wählen? Naja, wir haben [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ mit $a < [mm] b\,,$ [/mm] und wenn das stimmt, was wir sehen, dann sollte doch [mm] $\delta [/mm] > 0$ so sein, dass das Intervall [mm] $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ [/mm] ganz in [mm] $[a,b]\,$ [/mm] liegt.
Wie ihr nun genau [mm] $\delta$ [/mm] gewählt habt, ist mir nicht klar. Nur $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] x_0/2$ [/mm] kann nicht sein, da ja hier sicher stets auch $ [mm] \delta=\delta(\red{\epsilon},x_0)\,,$ [/mm] insbesondere also von [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] abhängen wird!
P.S.:
Rein mit meiner obigen Argumentation kommt man zu folgendem Ergebnis (sicher nicht die schönste Methode, aber eine mögliche Methode, um eines zu erhalten):
Sei [mm] $x_0 \in (0,\infty)$ [/mm] fest. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ohne Einschränkung so klein, dass sowohl [mm] $f(x_0)-\epsilon$ [/mm] als auch [mm] $f(x_0)+\epsilon$ [/mm] zu [mm] $f((0,\infty))$ [/mm] gehören.
Behauptung (und zu eben dieser komme ich durch die obige "Anschauung"):
Setze [mm] $a=a(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}+\epsilon}$ [/mm] und [mm] $b=b(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-\epsilon}\,.$ [/mm] Setze [mm] $\delta:=\frac{1}{2} \text{min}\{x_0-a,b-x_0\} [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann hat [mm] $\delta$ [/mm] die gewünschten Eigenschaften (und das darfst Du nun beweisen!)!
P.P.S.
Ich denke, man kann auch
$$ [mm] \delta [/mm] = [mm] \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right)$$
[/mm]
wählen - das ist sicher die/eine "Standardlösung" hier.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Marcel,
> kurz zu Deiner Zeichnung (Erinnerung: [mm]f(x):=1/x\,[/mm] für [mm]x > 0\,[/mm]
> war die Funktion!):
> also was passt, ist irgendwie, dass zu [mm]x_0=1[/mm] (Du hast das
> [mm]x_\*[/mm] genannt) und [mm]\epsilon=0.5[/mm] Du anhand der
> "Funktionswerte" [mm]f(1)+\epsilon[/mm] und [mm]f(1)-\epsilon[/mm] unten zwei
> Stellen bekommst: Die sind aber nicht [mm]x_0-\delta[/mm] und
> [mm]x_0+\delta\,:[/mm]
Ich habe den Fehler gemacht mir zuerst ein [mm] x_0 [/mm] heraus zu suchen, dieses bis an den Graphen zu zeichen, dann die [mm] \epsilon [/mm] Umgebung um [mm] f(x_0). [/mm] Danach habe ich meine [mm] \delta [/mm] Umgebungen auf Grundlager der [mm] $f_{x_0}+ \epsilon [/mm] und [mm] \f(x_0)- \epsilon$. [/mm] eingezeichnet.
Ich muss aber zuerst die [mm] \delta [/mm] Umgebung um [mm] x_0 [/mm] Zeichnen und daraus resultieren ja dann meine Funktionswerte [mm] $f_{x_0}+ \epsilon [/mm] und [mm] \f(x_0)- \epsilon$.
[/mm]
Habs hier mal verbessert. Denke so ist es nun richtig.
Jetzt sehe ich auch, dass die Abschätzung für [mm]\delta = \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right)[/mm] richtig ist.
In meiner alten Skizze hatte ich die Epsilon bereiche Symmetrisch um [mm] f(x_0).
[/mm]
Das ist aber verkehrt. Der Bereich um das Delta muss symmetrisch sein. Die Epsilon Umgebung ist dann gegebenenfalls unsymmetrisch.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Sondern mach' es mal so:
> Sei [mm]a > 0\,[/mm] mit [mm]f(a)=f(x_0)+\epsilon[/mm] und [mm]b > 0\,[/mm] mit
> [mm]f(b):=f(x_0)-\epsilon\,.[/mm]
> Nun:
> Hier hat [mm]f\,,[/mm] ja eine schöne Eigenschaft: [mm]f\,[/mm] fällt
> streng monoton - insbesondere ist [mm]a < x_0 < b\,.[/mm]
>
> Du "siehst" hier am Graphen von [mm]f\,[/mm] zudem, dass
> [mm]|f(a)-f(x_0)| \ge |f(b)-f(x_0)|\,.[/mm]
> Was "sieht" man hier denn noch? (Also nur, indem man sich
> mal den Graphen anguckt!)
>
> Naja, man "sieht", dass, wenn man alle [mm]f(x)\,[/mm] mit [mm]x \in [a,b][/mm]
> betrachtet, dann sicher [mm]|f(x) -f(x_0)| \le \epsilon[/mm] gilt.
>
> Wie kann man dann [mm]\delta > 0[/mm] "stetigkeitspassend zu
> [mm]\epsilon,x_0[/mm]" wählen? Naja, wir haben [mm]x_0 \in (a,b)[/mm] mit [mm]a < b\,,[/mm]
> und wenn das stimmt, was wir sehen, dann sollte doch [mm]\delta > 0[/mm]
> so sein, dass das Intervall [mm][x_0-\delta,x_0+\delta][/mm] ganz in
> [mm][a,b]\,[/mm] liegt.
>
> Wie ihr nun genau [mm]\delta[/mm] gewählt habt, ist mir nicht klar.
> Nur [mm]0 < \delta < x_0/2[/mm] kann nicht sein, da ja hier sicher
> stets auch [mm]\delta=\delta(\red{\epsilon},x_0)\,,[/mm]
> insbesondere also von [mm]\epsilon > 0\,,[/mm] abhängen wird!
>
> P.S.:
> Rein mit meiner obigen Argumentation kommt man zu
> folgendem Ergebnis (sicher nicht die schönste Methode,
> aber eine mögliche Methode, um eines zu erhalten):
> Sei [mm]x_0 \in (0,\infty)[/mm] fest. Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] ohne
> Einschränkung so klein, dass sowohl [mm]f(x_0)-\epsilon[/mm] als
> auch [mm]f(x_0)+\epsilon[/mm] zu [mm]f((0,\infty))[/mm] gehören.
>
Bis hier hin kann ich folgen. Das folgende muss ich mir noch mal durch den Kopf gehen lassen.
> Behauptung (und zu eben dieser komme ich durch die obige
> "Anschauung"):
> Setze [mm]a=a(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}+\epsilon}[/mm]
> und [mm]b=b(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-\epsilon}\,.[/mm]
> Setze [mm]\delta:=\frac{1}{2} \text{min}\{x_0-a,b-x_0\} > 0\,.[/mm]
> Dann hat [mm]\delta[/mm] die gewünschten Eigenschaften (und das
> darfst Du nun beweisen!)!
>
> P.P.S.
> Ich denke, man kann auch
> [mm]\delta = \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right)[/mm]
>
> wählen - das ist sicher die/eine "Standardlösung" hier.
>
Ja, dies ist auch unsere Lösung.
Mein Problem ist noch, dass ich nun in meiner Skizze sehe dass die Abschätzung mit [mm] \bruch{x_0}{2} [/mm] funktioniert. Ich wüsste aber leider trotzdem nicht wie ich da ohne Skizze hätte draufkommen sollen.
Schätze mal das macht dann auch die Erfahrung mit diesem Beweiskriterium.
Gruß und nochmals danke für deine ausgezeichneten Beiträge
Hans
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
>
> > kurz zu Deiner Zeichnung (Erinnerung: [mm]f(x):=1/x\,[/mm] für [mm]x > 0\,[/mm]
> > war die Funktion!):
> > also was passt, ist irgendwie, dass zu [mm]x_0=1[/mm] (Du hast
> das
> > [mm]x_\*[/mm] genannt) und [mm]\epsilon=0.5[/mm] Du anhand der
> > "Funktionswerte" [mm]f(1)+\epsilon[/mm] und [mm]f(1)-\epsilon[/mm] unten zwei
> > Stellen bekommst: Die sind aber nicht [mm]x_0-\delta[/mm] und
> > [mm]x_0+\delta\,:[/mm]
>
> Ich habe den Fehler gemacht mir zuerst ein [mm]x_0[/mm] heraus zu
> suchen, dieses bis an den Graphen zu zeichen, dann die
> [mm]\epsilon[/mm] Umgebung um [mm]f(x_0).[/mm] Danach habe ich meine [mm]\delta[/mm]
> Umgebungen auf Grundlager der [mm]f_{x_0}+ \epsilon und \f(x_0)- \epsilon[/mm].
> eingezeichnet.
>
> Ich muss aber zuerst die [mm]\delta[/mm] Umgebung um [mm]x_0[/mm] Zeichnen
> und daraus resultieren ja dann meine Funktionswerte
> [mm]f_{x_0}+ \epsilon und \f(x_0)- \epsilon[/mm].
nein, das war vorher schon richtig. Ich schreib's am Ende mal, wieso. Du wirfst da nämlich ein paar Dinge durcheinander, aber das bekommen wir geklärt, denke ich.
> Habs hier mal verbessert. Denke so ist es nun richtig.
> Jetzt sehe ich auch, dass die Abschätzung für [mm]\delta = \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right)[/mm]
> richtig ist.
>
> In meiner alten Skizze hatte ich die Epsilon bereiche
> Symmetrisch um [mm]f(x_0).[/mm]
> Das ist aber verkehrt. Der Bereich um das Delta muss
> symmetrisch sein. Die Epsilon Umgebung ist dann
> gegebenenfalls unsymmetrisch.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> > Sondern mach' es mal so:
> > Sei [mm]a > 0\,[/mm] mit [mm]f(a)=f(x_0)+\epsilon[/mm] und [mm]b > 0\,[/mm] mit
> > [mm]f(b):=f(x_0)-\epsilon\,.[/mm]
> > Nun:
> > Hier hat [mm]f\,,[/mm] ja eine schöne Eigenschaft: [mm]f\,[/mm] fällt
> > streng monoton - insbesondere ist [mm]a < x_0 < b\,.[/mm]
> >
> > Du "siehst" hier am Graphen von [mm]f\,[/mm] zudem, dass
> > [mm]|f(a)-f(x_0)| \ge |f(b)-f(x_0)|\,.[/mm]
> > Was "sieht" man hier denn noch? (Also nur, indem man sich
> > mal den Graphen anguckt!)
> >
> > Naja, man "sieht", dass, wenn man alle [mm]f(x)\,[/mm] mit [mm]x \in [a,b][/mm]
> > betrachtet, dann sicher [mm]|f(x) -f(x_0)| \le \epsilon[/mm] gilt.
> >
> > Wie kann man dann [mm]\delta > 0[/mm] "stetigkeitspassend zu
> > [mm]\epsilon,x_0[/mm]" wählen? Naja, wir haben [mm]x_0 \in (a,b)[/mm] mit [mm]a < b\,,[/mm]
> > und wenn das stimmt, was wir sehen, dann sollte doch [mm]\delta > 0[/mm]
> > so sein, dass das Intervall [mm][x_0-\delta,x_0+\delta][/mm] ganz in
> > [mm][a,b]\,[/mm] liegt.
> >
> > Wie ihr nun genau [mm]\delta[/mm] gewählt habt, ist mir nicht klar.
> > Nur [mm]0 < \delta < x_0/2[/mm] kann nicht sein, da ja hier sicher
> > stets auch [mm]\delta=\delta(\red{\epsilon},x_0)\,,[/mm]
> > insbesondere also von [mm]\epsilon > 0\,,[/mm] abhängen wird!
> >
> > P.S.:
> > Rein mit meiner obigen Argumentation kommt man zu
> > folgendem Ergebnis (sicher nicht die schönste Methode,
> > aber eine mögliche Methode, um eines zu erhalten):
> > Sei [mm]x_0 \in (0,\infty)[/mm] fest. Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] ohne
> > Einschränkung so klein, dass sowohl [mm]f(x_0)-\epsilon[/mm] als
> > auch [mm]f(x_0)+\epsilon[/mm] zu [mm]f((0,\infty))[/mm] gehören.
> >
>
> Bis hier hin kann ich folgen. Das folgende muss ich mir
> noch mal durch den Kopf gehen lassen.
>
> > Behauptung (und zu eben dieser komme ich durch die obige
> > "Anschauung"):
> > Setze
> [mm]a=a(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}+\epsilon}[/mm]
> > und [mm]b=b(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-\epsilon}\,.[/mm]
> > Setze [mm]\delta:=\frac{1}{2} \text{min}\{x_0-a,b-x_0\} > 0\,.[/mm]
> > Dann hat [mm]\delta[/mm] die gewünschten Eigenschaften (und das
> > darfst Du nun beweisen!)!
> >
> > P.P.S.
> > Ich denke, man kann auch
> > [mm]\delta = \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right)[/mm]
>
> >
> > wählen - das ist sicher die/eine "Standardlösung" hier.
> >
>
> Ja, dies ist auch unsere Lösung.
> Mein Problem ist noch, dass ich nun in meiner Skizze sehe
> dass die Abschätzung mit [mm]\bruch{x_0}{2}[/mm] funktioniert. Ich
> wüsste aber leider trotzdem nicht wie ich da ohne Skizze
> hätte draufkommen sollen.
> Schätze mal das macht dann auch die Erfahrung mit diesem
> Beweiskriterium.
Es ist ein wenig Erfahrungs-, Übungssache und oft einfach der Umgang mit Ungleichungen. Man lernt mit der Zeit gewisse kennen (meist schaut man erst mal, ob die Dreiecksungleichung schon reicht, "um etwas zu sehen") und bekommt dann durch Übung auch ein Gespühr dafür, wenn eine Abschätzung "zu schwach" ist, auf welche andere man evtl. zurückgreifen könnte. Manches ist halt wirklich "das, was man kennt, austesten, und gucken, wie weit es einen bringt".
> Gruß und nochmals danke für deine ausgezeichneten
> Beiträge
So, nochmal zu oben:
Es ist absolut korrekt, dass Du Dir hier ein [mm] $x_0 [/mm] > 0$ auswählst und das festhältst, und dann um [mm] $f(x_0)$ [/mm] "symmetrisch" [mm] $f(x_0)+\epsilon$ [/mm] und [mm] $f(x_0)-\epsilon$ [/mm] zeichnest.
Denn: Wenn Du die Geraden [mm] $y=f(x_0)+\epsilon$ [/mm] und [mm] $y=f(x_0)-\epsilon$ [/mm] zeichnest, dann "markieren die Dir doch gerade den Bereich, wo die Funktionswerte nahe bei [mm] $x_0$ [/mm] liegen sollen: eben in diesem [mm] $\epsilon$-Schlauch". [/mm] (Anders gesagt: Alle [mm] $f(x)\,,$ [/mm] wo das [mm] $x\,$ [/mm] nur höchstens [mm] $\delta$-nahe [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] liegt, sollen erfüllen $f(x) [mm] \in [f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon]\,.$)
[/mm]
Nun ist, wenn das [mm] $\delta [/mm] > 0$ gefunden wurde, dann sicher auch [mm] $[x_0-\delta,\;x_0+\delta]$ [/mm] (meinetwegen kannst Du da auch ein offenes Intervall hinschreiben - je nach Eurer "Stetigkeitsdefinition" sollte das halt passen, aber solche Definitionen sind äquivalent zueinander!) ein "symmetrischer Bereich um [mm] $x_0$".
[/mm]
Das, was Du eigentlich sagen willst:
Die Bildmenge [mm] $f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])$ [/mm] nicht zwangsläufig dann symmetrisch um [mm] $f(x_0)\,$ [/mm] liegen wird. Aber:
Der Bereich [mm] $[x_0-\delta,\;x_0+\delta]$ [/mm] ist "symmetrisch um [mm] $x_0$", [/mm] der Bereich [mm] $[f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon]$ [/mm] ist "symmetrisch um [mm] $f(x_0)$", [/mm] und wenn das [mm] $\delta$ [/mm] ein zu [mm] $\epsilon> [/mm] 0$ und [mm] $x_0 \in D_f$ [/mm] "passendes Stetigkeits-Delta ist", dann wird sicher gelten, dass die Bildmenge [mm] $f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])\,,$ [/mm] und die wird halt i.a. alles andere als "symmetrisch sein (bzw. um [mm] $f(x_0)$ [/mm] liegen)", dass eben diese eine Teilmenge von [mm] $[f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon]$ [/mm] ist.
Und das kannst Du Dir auch mal hinschreiben, denn das ist nichts anderes als eine Umformulierung des [mm] $\epsilon$-$\delta$-$x_0$-Stetigkeitskriteriums [/mm] für Funktionen wie folgt:
Seien $I,J [mm] \subseteq \IR\,.$
[/mm]
Genau dann ist $f: I [mm] \to [/mm] J$ stetig an der Stelle [mm] $x_0 \in I\,,$ [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so gibt, dass
[mm] $$f([x_0-\delta,\;x_0+\delta] \cap [/mm] I) [mm] \subseteq ([f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon] \cap J)\,.$$
[/mm]
Damit man bei den ganzen Dingen nun auch wirklich "symmetrische Bereiche" sieht, kann man das ganze auch so umformulieren:
Seien $I,J [mm] \subseteq \IR\,.$
[/mm]
Genau dann ist $f: I [mm] \to [/mm] J$ stetig an der Stelle [mm] $x_0 \in I\,,$ [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit o.E. [mm] $\epsilon$ [/mm] so klein, dass [mm] $[f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon] \subseteq J\,,$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] mit o.E. [mm] $\delta$ [/mm] so klein, dass [mm] $[x_0-\delta,\;x_0+\delta] \subseteq I\,,$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $$\overbrace{f(\underbrace{[x_0-\delta,\;x_0+\delta]}_{\text{symmetrisch um }x_0})}^{\text{i.a. NICHT symm. um }f(x_0)} \subseteq (\underbrace{[f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon]}_{\text{symm. um }f(x_0)})\,.$$
[/mm]
Und zur Erinnerung:
[mm] $$f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])=\{f(x):\;x \in [x_0-\delta,\;x_0+\delta]\}\,.$$
[/mm]
Und bei dem, was Du oben erzählt hast, hast Du sicher nicht gemeint, dass [mm] $[f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon]$ [/mm] nicht symmetrisch um [mm] $f(x_0)$ [/mm] liegen müsse, sondern vielmehr, dass nach dem gefundenen [mm] $\delta$ [/mm] dann [mm] $f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])$ [/mm] i.a. NICHT symmetrisch sein müsse...
Da bist Du einfach nur durcheiander gekommen, denke ich...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
> nein, das war vorher schon richtig. Ich schreib's am Ende
> mal, wieso. Du wirfst da nämlich ein paar Dinge
> durcheinander, aber das bekommen wir geklärt, denke ich.
>
> > Habs hier mal verbessert. Denke so ist es nun richtig.
> > Jetzt sehe ich auch, dass die Abschätzung für [mm]\delta = \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right)[/mm]
> > richtig ist.
> >
> > In meiner alten Skizze hatte ich die Epsilon bereiche
> > Symmetrisch um [mm]f(x_0).[/mm]
> > Das ist aber verkehrt. Der Bereich um das Delta muss
> > symmetrisch sein. Die Epsilon Umgebung ist dann
> > gegebenenfalls unsymmetrisch.
> >
> >
> > > Sondern mach' es mal so:
> > > Sei [mm]a > 0\,[/mm] mit [mm]f(a)=f(x_0)+\epsilon[/mm] und [mm]b > 0\,[/mm] mit
> > > [mm]f(b):=f(x_0)-\epsilon\,.[/mm]
> > > Nun:
> > > Hier hat [mm]f\,,[/mm] ja eine schöne Eigenschaft: [mm]f\,[/mm]
> fällt
> > > streng monoton - insbesondere ist [mm]a < x_0 < b\,.[/mm]
> > >
> > > Du "siehst" hier am Graphen von [mm]f\,[/mm] zudem, dass
> > > [mm]|f(a)-f(x_0)| \ge |f(b)-f(x_0)|\,.[/mm]
> > > Was "sieht" man hier denn noch? (Also nur, indem man sich
> > > mal den Graphen anguckt!)
> > >
> > > Naja, man "sieht", dass, wenn man alle [mm]f(x)\,[/mm] mit [mm]x \in [a,b][/mm]
> > > betrachtet, dann sicher [mm]|f(x) -f(x_0)| \le \epsilon[/mm] gilt.
> > >
> > > Wie kann man dann [mm]\delta > 0[/mm] "stetigkeitspassend zu
> > > [mm]\epsilon,x_0[/mm]" wählen? Naja, wir haben [mm]x_0 \in (a,b)[/mm] mit [mm]a < b\,,[/mm]
> > > und wenn das stimmt, was wir sehen, dann sollte doch [mm]\delta > 0[/mm]
> > > so sein, dass das Intervall [mm][x_0-\delta,x_0+\delta][/mm] ganz in
> > > [mm][a,b]\,[/mm] liegt.
> > >
> > > Wie ihr nun genau [mm]\delta[/mm] gewählt habt, ist mir nicht klar.
> > > Nur [mm]0 < \delta < x_0/2[/mm] kann nicht sein, da ja hier sicher
> > > stets auch [mm]\delta=\delta(\red{\epsilon},x_0)\,,[/mm]
> > > insbesondere also von [mm]\epsilon > 0\,,[/mm] abhängen wird!
> > >
> > > P.S.:
> > > Rein mit meiner obigen Argumentation kommt man zu
> > > folgendem Ergebnis (sicher nicht die schönste Methode,
> > > aber eine mögliche Methode, um eines zu erhalten):
> > > Sei [mm]x_0 \in (0,\infty)[/mm] fest. Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] ohne
> > > Einschränkung so klein, dass sowohl [mm]f(x_0)-\epsilon[/mm] als
> > > auch [mm]f(x_0)+\epsilon[/mm] zu [mm]f((0,\infty))[/mm] gehören.
> > >
> >
> > Bis hier hin kann ich folgen. Das folgende muss ich mir
> > noch mal durch den Kopf gehen lassen.
> >
> > > Behauptung (und zu eben dieser komme ich durch die obige
> > > "Anschauung"):
> > > Setze
> > [mm]a=a(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}+\epsilon}[/mm]
> > > und [mm]b=b(x_0,\epsilon):=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-\epsilon}\,.[/mm]
> > > Setze [mm]\delta:=\frac{1}{2} \text{min}\{x_0-a,b-x_0\} > 0\,.[/mm]
> > > Dann hat [mm]\delta[/mm] die gewünschten Eigenschaften (und das
> > > darfst Du nun beweisen!)!
> > >
> > > P.P.S.
> > > Ich denke, man kann auch
> > > [mm]\delta = \min\left(\bruch{|x_0|}{2}, \bruch{x_0^2}{2} \varepsilon\right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > wählen - das ist sicher die/eine "Standardlösung" hier.
> > >
> >
> > Ja, dies ist auch unsere Lösung.
> > Mein Problem ist noch, dass ich nun in meiner Skizze sehe
> > dass die Abschätzung mit [mm]\bruch{x_0}{2}[/mm] funktioniert. Ich
> > wüsste aber leider trotzdem nicht wie ich da ohne Skizze
> > hätte draufkommen sollen.
> > Schätze mal das macht dann auch die Erfahrung mit diesem
> > Beweiskriterium.
>
> Es ist ein wenig Erfahrungs-, Übungssache und oft einfach
> der Umgang mit Ungleichungen. Man lernt mit der Zeit
> gewisse kennen (meist schaut man erst mal, ob die
> Dreiecksungleichung schon reicht, "um etwas zu sehen") und
> bekommt dann durch Übung auch ein Gespühr dafür, wenn
> eine Abschätzung "zu schwach" ist, auf welche andere man
> evtl. zurückgreifen könnte. Manches ist halt wirklich
> "das, was man kennt, austesten, und gucken, wie weit es
> einen bringt".
>
> > Gruß und nochmals danke für deine ausgezeichneten
> > Beiträge
>
> So, nochmal zu oben:
> Es ist absolut korrekt, dass Du Dir hier ein [mm]x_0 > 0[/mm]
> auswählst und das festhältst, und dann um [mm]f(x_0)[/mm]
> "symmetrisch" [mm]f(x_0)+\epsilon[/mm] und [mm]f(x_0)-\epsilon[/mm]
> zeichnest.
> Denn: Wenn Du die Geraden [mm]y=f(x_0)+\epsilon[/mm] und
> [mm]y=f(x_0)-\epsilon[/mm] zeichnest, dann "markieren die Dir doch
> gerade den Bereich, wo die Funktionswerte nahe bei [mm]x_0[/mm]
> liegen sollen: eben in diesem [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch". (Anders
> gesagt: Alle [mm]f(x)\,,[/mm] wo das [mm]x\,[/mm] nur höchstens [mm]\delta[/mm]-nahe
> an [mm]x_0[/mm] liegt, sollen erfüllen [mm]f(x) \in [f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon]\,.[/mm])
>
> Nun ist, wenn das [mm]\delta > 0[/mm] gefunden wurde, dann sicher
> auch [mm][x_0-\delta,\;x_0+\delta][/mm] (meinetwegen kannst Du da
> auch ein offenes Intervall hinschreiben - je nach Eurer
> "Stetigkeitsdefinition" sollte das halt passen, aber solche
> Definitionen sind äquivalent zueinander!) ein
> "symmetrischer Bereich um [mm]x_0[/mm]".
>
> Das, was Du eigentlich sagen willst:
> Die Bildmenge [mm]f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])[/mm] nicht
> zwangsläufig dann symmetrisch um [mm]f(x_0)\,[/mm] liegen wird.
> Aber:
> Der Bereich [mm][x_0-\delta,\;x_0+\delta][/mm] ist "symmetrisch um
> [mm]x_0[/mm]", der Bereich [mm][f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon][/mm] ist
> "symmetrisch um [mm]f(x_0)[/mm]", und wenn das [mm]\delta[/mm] ein zu
> [mm]\epsilon> 0[/mm] und [mm]x_0 \in D_f[/mm] "passendes Stetigkeits-Delta
> ist", dann wird sicher gelten, dass die Bildmenge
> [mm]f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])\,,[/mm] und die wird halt i.a.
> alles andere als "symmetrisch sein (bzw. um [mm]f(x_0)[/mm]
> liegen)", dass eben diese eine Teilmenge von
> [mm][f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon][/mm] ist.
>
> Und das kannst Du Dir auch mal hinschreiben, denn das ist
> nichts anderes als eine Umformulierung des
> [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-[mm]x_0[/mm]-Stetigkeitskriteriums für Funktionen
> wie folgt:
> Seien [mm]I,J \subseteq \IR\,.[/mm]
> Genau dann ist [mm]f: I \to J[/mm]
> stetig an der Stelle [mm]x_0 \in I\,,[/mm] wenn es zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm]
> ein [mm]\delta > 0[/mm] so gibt, dass
> [mm]f([x_0-\delta,\;x_0+\delta] \cap I) \subseteq ([f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon] \cap J)\,.[/mm]
>
> Damit man bei den ganzen Dingen nun auch wirklich
> "symmetrische Bereiche" sieht, kann man das ganze auch so
> umformulieren:
> Seien [mm]I,J \subseteq \IR\,.[/mm]
> Genau dann ist [mm]f: I \to J[/mm]
> stetig an der Stelle [mm]x_0 \in I\,,[/mm] wenn es zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm]
> mit o.E. [mm]\epsilon[/mm] so klein, dass
> [mm][f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon] \subseteq J\,,[/mm] ein
> [mm]\delta > 0\,,[/mm] mit o.E. [mm]\delta[/mm] so klein, dass
> [mm][x_0-\delta,\;x_0+\delta] \subseteq I\,,[/mm] so gibt, dass
>
> [mm]\overbrace{f(\underbrace{[x_0-\delta,\;x_0+\delta]}_{\text{symmetrisch um }x_0})}^{\text{i.a. NICHT symm. um }f(x_0)} \subseteq (\underbrace{[f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon]}_{\text{symm. um }f(x_0)})\,.[/mm]
>
> Und zur Erinnerung:
> [mm]f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])=\{f(x):\;x \in [x_0-\delta,\;x_0+\delta]\}\,.[/mm]
>
> Und bei dem, was Du oben erzählt hast, hast Du sicher
> nicht gemeint, dass [mm][f(x_0)-\epsilon,\;f(x_0)+\epsilon][/mm]
> nicht symmetrisch um [mm]f(x_0)[/mm] liegen müsse, sondern
> vielmehr, dass nach dem gefundenen [mm]\delta[/mm] dann
> [mm]f([x_0-\delta,\;x_0+\delta])[/mm] i.a. NICHT symmetrisch sein
> müsse...
> Da bist Du einfach nur durcheiander gekommen, denke
> ich...
>
> Gruß,
> Marcel
Das hat mir wirklich sehr geholfen.
Meine Unklarheiten haben sich jetzt geklärt.
Du hast mein Problem genau erfasst 
Nochmals vielen Dank
Gruß Hans
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 09.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 So 11.03.2012 | | Autor: | daniel1988 |
Hi,
[mm]|x-x_0|<\sigma \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/mm]
[mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|<\epsilon[/mm]
[mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|=>|x_0-x|[/mm]
[mm] |x_0-x|=|x-x_0|= \delta [/mm] <= [mm] \delta [/mm] *2
Bin mir nicht ganz sicher aber könntest Du nicht einfach
[mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}| [/mm]
einmal mit x und einmal mit [mm] x_0 [/mm] multiplieren ??
Dann bekommst Du doch [mm] |x_0-x| [/mm] und das ist doch das selbe wie [mm] |x-x_0| [/mm] was gleich [mm] \delta [/mm] entspricht.
Wenn Du dann noch [mm] \delta [/mm] mal 2 nimmst ist der rechte Term mit [mm] \delta [/mm] größer gleich [mm] |x_0-x| [/mm] und damit ist die Stetigkeit bewiesen.
Ich denke das ist leichter frag aber nochmal einen Experten, ob es so auch richtig wäre.
Lg
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 So 11.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
>
> [mm]|x-x_0|<\sigma \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|<\epsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|=>|x_0-x|[/mm]
>
> [mm]|x_0-x|=|x-x_0|= \delta[/mm] <= [mm]\delta[/mm] *2
>
> Bin mir nicht ganz sicher aber könntest Du nicht einfach
> [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0}|[/mm]
>
> einmal mit x und einmal mit [mm]x_0[/mm] multiplieren ??
> Dann bekommst Du doch [mm]|x_0-x|[/mm] und das ist doch das selbe
> wie [mm]|x-x_0|[/mm] was gleich [mm]\delta[/mm] entspricht.
hä? Wenn ich [mm] $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ [/mm] rechne, dann habe ich [mm] $1/6\,.$ [/mm] Wenn ich das mal 2 und dann mal 3 nehme, bekomme ich 1. Oder was meinst Du?
Du denkst vielleicht an Äquivalenzumformungen, aber dazu muss da ja mehr als ein einzelner Term stehen (etwa eine Gleichheit, eine Ungleichheit oder oder oder...).
> Wenn Du dann noch [mm]\delta[/mm] mal 2 nimmst ist der rechte Term
> mit [mm]\delta[/mm] größer gleich [mm]|x_0-x|[/mm] und damit ist die
> Stetigkeit bewiesen.
Ich kapier's nicht, was Du da in Worten beschreiben willst. Schreib's doch mal hin!
Bei [mm] $\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}$ [/mm] kann man halt - Bruchrechnung! - so rechnen:
[mm] $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}=\frac{x_0}{x*x_0}-\frac{x}{x*x_0}=\frac{x_0-x}{x*x_0}\,.$$
[/mm]
Vielleicht meintest Du ja auch sowas: Erweitere jeweils den Bruch...
Aber den Rest Deiner Vorgehensweise musst Du mir mal hinschreiben (vielleicht bin ich auch einfach noch nicht wach genug ^^).
Gruß,
Marcel
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