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Epsilon Ungleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Di 19.11.2013
Autor: Boastii

Aufgabe
Bestimmen Sie bitte zu [mm] \varepsilon := 10^-6 [/mm] ein möglichst kleines [mm] n_0=n_0(\varepsilon) \in \mathbb N [/mm], sodass
[mm] \wurzel[n]{n}-1<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n \in \mathbb N [/mm] mit [mm] n>= n_0[/mm]. Geben Sie bitte auch den allgemeinen Zusammenhang an, in dem [mm] n_0 [/mm]  in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] zu wählen ist.

Hallo Matheraum! :)

Mein Ansatz für die Aufgabe:

[mm] \wurzel[n]{n}-1<\varepsilon [/mm]      
[mm] \wurzel[n]{n} < \varepsilon +1 [/mm]        
[mm] n < (\varepsilon +1)^n [/mm]
[mm] n < \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon ^k [/mm]

Nun komme ich nicht weiter, also der Professor hat uns gesagt, dass so der Ansatz in etwa sein soll, aber ich weiß nicht weiter. Bringt es mir etwas wenn ich ein Glied aus der Summe ziehe?
Habt ihr einen Tipp für mich sodass ich hier weiter komme?

MfG Boastii

        
Bezug
Epsilon Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Di 19.11.2013
Autor: abakus


> Bestimmen Sie bitte zu [mm]\varepsilon := 10^-6[/mm] ein möglichst
> kleines [mm]n_0=n_0(\varepsilon) \in \mathbb N [/mm], sodass
> [mm]\wurzel[n]{n}-1<\varepsilon [/mm] für alle [mm]n \in \mathbb N[/mm] mit
> [mm]n>= n_0[/mm]. Geben Sie bitte auch den allgemeinen Zusammenhang
> an, in dem [mm]n_0[/mm] in Abhängigkeit von [mm]\varepsilon[/mm] zu wählen
> ist.
> Hallo Matheraum! :)

>

> Mein Ansatz für die Aufgabe:

>

> [mm]\wurzel[n]{n}-1<\varepsilon[/mm]
> [mm]\wurzel[n]{n} < \varepsilon +1[/mm]
> [mm]n < (\varepsilon +1)^n[/mm]
> [mm]n < \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon ^k[/mm]

Hallo,
das Ausmultiplizieren von [mm](\varepsilon +1)^n[/mm] liefert viiiiiele Summanden, von denen die letzten beiden [mm]n*\epsilon+1^[/mm] sind.
Gruß Abakus
>

> Nun komme ich nicht weiter, also der Professor hat uns
> gesagt, dass so der Ansatz in etwa sein soll, aber ich
> weiß nicht weiter. Bringt es mir etwas wenn ich ein Glied
> aus der Summe ziehe?
> Habt ihr einen Tipp für mich sodass ich hier weiter
> komme?

>

> MfG Boastii

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Epsilon Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Di 19.11.2013
Autor: Boastii

hey Abakus, danke erst mal für Deine Antwort.

Ich versteh nicht ganz wie du auf die letzten beiden Summanden kommst, also [mm] n* \varepsilon +1 [/mm]

Wenn ich meine Summe ausschreibe:

[mm] (\varepsilon+1)^n = \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon^k = \varepsilon^0 + n*\varepsilon^1+ ... + n*\varepsilon^{n-1} + \varepsilon^n [/mm]

dann bekomme ich das aber heraus..

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Epsilon Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Di 19.11.2013
Autor: abakus


> hey Abakus, danke erst mal für Deine Antwort.

>

> Ich versteh nicht ganz wie du auf die letzten beiden
> Summanden kommst, also [mm]n* \varepsilon +1[/mm]

>

> Wenn ich meine Summe ausschreibe:

>

> [mm](\varepsilon+1)^n = \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon^k = \varepsilon^0 + n*\varepsilon^1+ ... + n*\varepsilon^{n-1} + \varepsilon^n[/mm]

>

> dann bekomme ich das aber heraus..

Sorry,
ich bin von der Reihenfolge [mm] $(1+\epsilon)$ [/mm] ausgegangen. In deiner Reihenfolge sind es nicht die letzten, sondern die ersten beiden Summanden, da [mm] = \varepsilon^0 + n*\varepsilon^1=1+n*\varepsilon[/mm].
Gruß Abakus

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Epsilon Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Di 19.11.2013
Autor: Boastii

Ah jetzt versteh ich.

nun habe ich:

[mm] n< 1+ n* \varepsilon + \summe_{k=2}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon^k [/mm]

Aber was bringt mir das nun? Also wie kann ich hier weitermachen?

Gruß Boastii

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Epsilon Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Di 19.11.2013
Autor: Helbig

Hallo Boastii,

> Ah jetzt versteh ich.
>  
> nun habe ich:
>  
> [mm]n< 1+ n* \varepsilon + \summe_{k=2}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon^k[/mm]
>  
> Aber was bringt mir das nun? Also wie kann ich hier
> weitermachen?

Die obige Gleichung folgt aus $n< 1+ n* [mm] \varepsilon.$ [/mm] Und jetzt dies auf eine gleichwertige Ungleichung der Form $n > $ "Ausdruck von [mm] $\varepsilon$" [/mm] bringen.

Gruß
Wolfgang


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Epsilon Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:40 Mi 20.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Boastii,
>  
> > Ah jetzt versteh ich.
>  >  
> > nun habe ich:
>  >  
> > [mm]n< 1+ n* \varepsilon + \summe_{k=2}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon^k[/mm]
>  
> >  

> > Aber was bringt mir das nun? Also wie kann ich hier
> > weitermachen?
>  
> Die obige Gleichung

da steht eine Un-Gleichung. ;-)

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Epsilon Ungleichung: eins oder null?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Di 19.11.2013
Autor: Helbig


> hey Abakus, danke erst mal für Deine Antwort.
>
> Ich versteh nicht ganz wie du auf die letzten beiden
> Summanden kommst, also [mm]n* \varepsilon +1[/mm]
>  
> Wenn ich meine Summe ausschreibe:
>  
> [mm](\varepsilon+1)^n = \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} \varepsilon^k = \varepsilon^0 + n*\varepsilon^1+ ... + n*\varepsilon^{n-1} + \varepsilon^n[/mm]

Der Index k startet bei 0 und nicht bei 1.

>
> dann bekomme ich das aber heraus..  


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Bezug
Epsilon Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Di 19.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,

so ganz sehe ich das Ziel in abakus' Ansatz noch nicht - bin aber auch gerade etwas verpeilt.

Wie wäre es mit folgender Idee:

Für [mm]\varepsilon>0[/mm] ist [mm]1+\varepsilon>1[/mm], also [mm]0<\frac{1}{1+\varepsilon}<1[/mm] und damit [mm]1+\varepsilon>1[/mm]

Also ist [mm]\left(\frac{n}{(1+\varepsilon)^n}\right)_{n\in\IN}[/mm] Nullfolge - ist dir das klar?

Also ex. [mm]n_0\in\IN[/mm], so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt

[mm]\frac{n}{(1+\varepsilon)^n}<1[/mm]

Also [mm]n<(1+\varepsilon)^n[/mm] und damit [mm]\sqrt[n]{n}-1<\varepsilon[/mm]

Gruß

schachuzipus

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Bezug
Epsilon Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Di 19.11.2013
Autor: Boastii

Hey, danke erst mal.


Ich glaube ich habe es.
Wir hatten in einer Übung eine andere Hausaufgabe besprochen und ich glaube wir sollen das damit lösen:

[mm] (1+2x)^n>=n^2x^2 [/mm]
Nun wählt man ein geeignetes x. Also [mm] x=\frac{1}{\wurzel{n}} [/mm]

Einsetzen:
[mm] (1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n>= n^2(\frac{1}{\wurzel{n}})^2 [/mm]
[mm] (1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= \frac{n^2}{n} [/mm]
[mm] (1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= n [/mm]
[mm] 1+\frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}[/mm]
[mm] \frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}-1[/mm]

Abschätzung:
Da nun [mm] \varepsilon> \wurzel[n]{n} [/mm] ist, muss auch [mm]\varepsilon > \frac{2}{\wurzel{n}} [/mm] gelten.

[mm] \varepsilon > \frac{2}{\wurzel{n}} [/mm]
[mm] \varepsilon * \wurzel{n} >2 [/mm]
[mm] \wurzel{n}> \frac{2}{\varepsilon} [/mm]
[mm] n > (\frac{2}{\varepsilon})^2 [/mm]

Da [mm] \varepsilon:= 10^-6 [/mm] ist, erhalten wir für n :

[mm] n> 4*10^{12} [/mm]

Wäre das richtig?

MfG Boastii

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Bezug
Epsilon Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Di 19.11.2013
Autor: Helbig


> Hey, danke erst mal.
>  
>
> Ich glaube ich habe es.
> Wir hatten in einer Übung eine andere Hausaufgabe
> besprochen und ich glaube wir sollen das damit lösen:
>  
> [mm] (1+2x)^n>=n^2x^2 [/mm]
> Nun wählt man ein geeignetes x. Also
> [mm]x=\frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  
> Einsetzen:
>  [mm] (1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n>= n^2(\frac{1}{\wurzel{n}})^2[/mm]
>  
> [mm](1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= \frac{n^2}{n}[/mm]
>  
> [mm](1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= n[/mm]
>  [mm]1+\frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}[/mm]
>  
> [mm]\frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}-1[/mm]
>  
> Abschätzung:
>  Da nun [mm]\varepsilon> \wurzel[n]{n}[/mm] ist, muss auch
> [mm]\varepsilon > \frac{2}{\wurzel{n}}[/mm] gelten.

Ab hier versteh' ich nichts mehr.

Gruß
Wolfgang

>
> [mm]\varepsilon > \frac{2}{\wurzel{n}} [/mm]
>  [mm]\varepsilon * \wurzel{n} >2 [/mm]
>  
> [mm]\wurzel{n}> \frac{2}{\varepsilon} [/mm]
>  [mm]n > (\frac{2}{\varepsilon})^2[/mm]
>  
> Da [mm]\varepsilon:= 10^-6[/mm] ist, erhalten wir für n :
>  
> [mm]n> 4*10^{12}[/mm]
>  
> Wäre das richtig?
>  
> MfG Boastii


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Epsilon Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Di 19.11.2013
Autor: Boastii


> > Hey, danke erst mal.
>  >  
> >
> > Ich glaube ich habe es.
> > Wir hatten in einer Übung eine andere Hausaufgabe
> > besprochen und ich glaube wir sollen das damit lösen:
>  >  
> > [mm] (1+2x)^n>=n^2x^2[/mm]
> > Nun wählt man ein geeignetes x. Also
> > [mm]x=\frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  >  
> > Einsetzen:
>  >  [mm] (1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n>= n^2(\frac{1}{\wurzel{n}})^2[/mm]
>  >

>  
> > [mm](1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= \frac{n^2}{n}[/mm]
>  >  
> > [mm](1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= n[/mm]
>  >  
> [mm]1+\frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}[/mm]
>  >  
> > [mm]\frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}-1[/mm]
>  >  
> > Abschätzung:
>  >  Da nun [mm]\varepsilon> \wurzel[n]{n}[/mm] ist, muss auch
> > [mm]\varepsilon > \frac{2}{\wurzel{n}}[/mm] gelten.
>
> Ab hier versteh' ich nichts mehr.
>  
> Gruß
>  Wolfgang
>  >

> > [mm]\varepsilon > \frac{2}{\wurzel{n}}[/mm]
>  >  [mm]\varepsilon * \wurzel{n} >2[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\wurzel{n}> \frac{2}{\varepsilon}[/mm]
>  >  [mm]n > (\frac{2}{\varepsilon})^2[/mm]
>  
> >  

> > Da [mm]\varepsilon:= 10^-6[/mm] ist, erhalten wir für n :
>  >  
> > [mm]n> 4*10^{12}[/mm]
>  >  
> > Wäre das richtig?
>  >  
> > MfG Boastii
>  

Ok, habe mich ein wenig undeutlich ausgedrückt. Habe mir das so gedacht, da [mm] \frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n} -1 [/mm] jetzt gilt. Würde ich sagen : Da es hier ein [mm] n_0 [/mm] gibt sodass beide Seiten gleich groß sind, kann ich [mm] \frac{2}{\wurzel{n}} [/mm] auch mit [mm] \varepsilon [/mm] wie oben abschätzen.

Gruß Boastii :)


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Epsilon Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:04 Mi 20.11.2013
Autor: Marcel

Hallo Boasti,

ich habe das jetzt nicht alles nachgeprüft, aber ich würde sagen, dass das
jedenfalls bis zu der Stelle

    [mm] $(\*)$ $\wurzel[n]{n}-1 \;\;\le\;\; \frac{2}{\wurzel{n}}$ [/mm]

doch ganz gut aussah. Bedenke doch nun:

Wenn Du ein [mm] $n_0$ [/mm] findest, so, dass

    [mm] $\frac{2}{\sqrt{n}} \;\;\red{\,<\,}\;\;\epsilon$ [/mm]

für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt (und sowas MUSS es geben, warum?) - so folgt
daraus doch insbesondere (siehe [mm] $(\*)$), [/mm] dass dann auch

    [mm] $\sqrt[n]{n}-1 \;\;\red{\,<\,}\;\; \epsilon$ [/mm]

für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt. (Transitivität von [mm] $<\,$ [/mm] im (vollständigen und)
geordneten Körper [mm] $(\IR,+,*,<)\,.$) [/mm]

P.S. Der Deutlichkeit wegen solltest/könntest Du noch überall

    $0 [mm] \le \sqrt[n]{n}-1$ [/mm]

ergänzen.

Gruß,
  Marcel

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Epsilon Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:42 Mi 20.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hey, danke erst mal.
>  >  
> >
> > Ich glaube ich habe es.
> > Wir hatten in einer Übung eine andere Hausaufgabe
> > besprochen und ich glaube wir sollen das damit lösen:
>  >  
> > [mm] (1+2x)^n>=n^2x^2[/mm]
> > Nun wählt man ein geeignetes x. Also
> > [mm]x=\frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  >  
> > Einsetzen:
>  >  [mm] (1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n>= n^2(\frac{1}{\wurzel{n}})^2[/mm]
>  >

>  
> > [mm](1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= \frac{n^2}{n}[/mm]
>  >  
> > [mm](1+\frac{2}{\wurzel{n}})^n >= n[/mm]
>  >  
> [mm]1+\frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}[/mm]
>  >  
> > [mm]\frac{2}{\wurzel{n}}>= \wurzel[n]{n}-1[/mm]
>  >  
> > Abschätzung:
>  >  Da nun [mm]\varepsilon> \wurzel[n]{n}[/mm] ist, muss auch
> > [mm]\varepsilon > \frac{2}{\wurzel{n}}[/mm] gelten.
>
> Ab hier versteh' ich nichts mehr.

kann man auch nicht: $1 [mm] \le \sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ zeigt schon, dass für $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$
da nichts sinnvolles mehr stehen kann. (Und wenigstens [mm] $\sqrt[n]{n} \ge [/mm] 1$
(für alle $n [mm] \in \IN$) [/mm] kann man sich ganz elementar überlegen!)

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Epsilon Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:54 Mi 20.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Bestimmen Sie bitte zu [mm]\varepsilon := 10^-6[/mm] ein möglichst
> kleines [mm]n_0=n_0(\varepsilon) \in \mathbb N [/mm]
> sodass $ [mm] \wurzel[n]{n}-1<\varepsilon [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \mathbb [/mm] N $ mit $ n>= [mm] n_0 [/mm] $.

kennst Du den Beweis, dass [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ gilt?

1. Wegen [mm] $\sqrt[n]{n} \ge [/mm] 1$ für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 1$ definiere

    [mm] $\epsilon_n:=\sqrt[n]{n}-1\,,$ [/mm]

dann ist jedes [mm] $\epsilon_n \ge 0\,.$ [/mm]

2. Aus

    [mm] $n=(\sqrt[n]{n})^n$ [/mm]

folgt dann

    [mm] $n=(1+\epsilon_n)^n\,.$ [/mm]

3. Mit der binomischen Formel und weil alle Summanden [mm] $\ge \;\;0$ [/mm] sind:

    [mm] $n-1=-1+\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}{\epsilon_n}^k=\sum_{k=1}^n [/mm] {n [mm] \choose k}{\epsilon_n}^k\;\; \ge \;\;n*\epsilon_n+\frac{n*(n-1)}{2}{\epsilon_n}^2 \ge \frac{n*(n-1)}{2}{\epsilon_n}^2$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge 2\,.$ [/mm]

Warum folgt damit dann $0 < [mm] \epsilon_n \to [/mm] 0$?

P.S. Das [mm] $n_0$ [/mm] "möglichst klein" kannst Du bei der Aufgabe, bei der [mm] $\epsilon$ [/mm] konkret
gegeben ist, so finden, indem Du erstmal ein passendes [mm] ${n_0}'$ [/mm] findest und
dann solange nach und nach testest, ob die nächst kleinere natürliche Zahl
die Abschätzung erfüllt, bis das quasi schiefgeht.

Mit obiger, doch "grober", Abschätzung kannst Du zwar "passende [mm] $n_0$" [/mm]
angeben, aber sicher i.a. nicht "das kleinstmögliche". Dafür wird die
Abschätzung i.a. einfach zu grob sein!

Gruß,
  Marcel

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