Ergebnis der z-Transformation < z-transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wenn die z-Transformierte von x(n) mit $H(z) = x(z) = [mm] \frac{1}{1+\frac12 z^{-1}}$, [/mm] $ROC: |z| > 0.5$ gegeben ist, ermitteln Sie die Z-Transformierten einschließlich der Konvergenzbereiche für das folgende Signal:
[mm] $x_1(n) [/mm] = x(3-n) + x(n-3)$ |
Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab zu dieser Lösung eine Musterlösung gegeben und habe zu dieser zu einem bestimmten Teil eine Frage. Hier die Musterlösung:
[mm] $x_1(n) [/mm] = x(3-n)+x(n-3) [mm] \Leftrightarrow x_1(n) [/mm] = x(-(n-3))+x(n-3)$ korrespondiert mit $ x(z) = [mm] \frac{1}{1-\left(-\frac12\right) z^{-1}}$
[/mm]
$x(n) = [mm] \left(-\frac12\right)^n \cdot [/mm] u(n)$
$x(n-3) = [mm] \left(-\frac12\right)^{n-3} \cdot [/mm] u(n-3)$
$x(-(n-3)) = [mm] \left(-\frac12\right)^{-(n-3)} \cdot [/mm] u(-(n-3))$
Definition der z-Transformation angewendet:
$x(n)$ korrespondiert mit $X(z) = [mm] \sum^{\infty}_{n=-\infty} [/mm] x(n) [mm] \cdot z^{-n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\left(-\frac12\right) z^{-1}}$, [/mm] $ROC: |z| > [mm] \frac12$
[/mm]
$x(-n)$ korrespondiert mit $X(z) = [mm] \sum^{\infty}_{n=-\infty }x(-n) \cdot z^{-n}\underbrace{ = }_{m=-n}\sum^{-\infty}_{m=\infty }x(m) \cdot z^{m} [/mm] = [mm] \sum^{\infty}_{m=-\infty }x(m) \cdot z^{m} [/mm] = [mm] \sum^{\infty}_{m=-\infty }x(m) \cdot \left(\frac{1}{z}\right)^{-m}\underbrace{ = }_{\rho = \frac{1}{z}} \sum^{\infty}_{m=-\infty }x(m) \cdot \rho^{-m} [/mm] = [mm] X(\rho) [/mm] = [mm] X\left(\frac{1}{z}\right)$
[/mm]
Soweit ist für mich noch alles klar!
Nun kommt aber ein Folgepfeil, den ich nicht verstehe:
[mm] $\Rightarrow X_1(z) [/mm] = [mm] z^3 \cdot X\left(\frac{1}{z}\right) [/mm] + [mm] z^{-3}\cdot [/mm] X(z)$
Was ist das? Wie kommt man darauf? Wo muss man da was einsetzen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 19.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
