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| Aufgabe 1 | Gegeben sei ein stochastischer Prozess
X(t) = Acos(2 [mm] \pi [/mm] f t);
wobei A eine Zufallsvariable sei mit Erwartungswert EA und Varianz [mm] sigma^2.
[/mm]
a) Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert
X(t) = [mm] \bruch{1}{2T} [/mm] * [mm] \integral_{- /infty}^{\infty}{X(t, n) dt}
[/mm]
finden Sie den Grenzwert für T [mm] \to \infty [/mm] und vergleichen Sie das Ergebnis
mit dem Erwartungswert EX |
| Aufgabe 2 | In Aufgabe 27 haben wir gezeigt, dass der stochastische Prozess X(t)
zyklostationar ist (sogar streng zyklostationar) mit Periode T = 1=f.
Man kann den Prozess X(t) stationarisieren, indem man setzt:
Xs(t) = X(t + Theta);
wobei Theta eine gleichverteilte unabhängige Zufallsvariable ist auf [0; T].
Zeigen Sie, dass Xs(t) schwach stationär ist. |
Ich hab dann einfach integriert, dann mit f = 1/T weiter vereinfacht, und kam dann darauf, dass das Integral [mm] \bruch{1}{2T} [/mm] * [mm] \integral_{- /infty}^{\infty}{X(t, n) dt} [/mm] = 0 ist.
Fragen:
Stimmt meine Integralauswertung, und darf ich den Ansatz f=1/t überhaupt? Ich mein klar, ist das physikalisch so, aber ist das in der Aufageb auch so, oder sind die Variablen einfach nur unglücklich gewählt?
Und zweites, wie berechne ich den Erwartungswert EX?
zu Aufgabe 2: Was soll ich da bitte machen? ich versteh leider weder mathematisch noch physikalisch was das sein soll?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Gegeben sei ein stochastischer Prozess
> X(t) = Acos(2 [mm]\pi[/mm] f t);
> wobei A eine Zufallsvariable sei mit Erwartungswert EA und
> Varianz [mm]sigma^2.[/mm]
>
> a) Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert
>
> X(t) = [mm]\bruch{1}{2T}[/mm] * [mm]\integral_{- /infty}^{\infty}{X(t, n) dt}[/mm]
>
> finden Sie den Grenzwert für T [mm]\to \infty[/mm] und vergleichen
> Sie das Ergebnis
> mit dem Erwartungswert EX
> In Aufgabe 27 haben wir gezeigt, dass der stochastische
> Prozess X(t)
> zyklostationar ist (sogar streng zyklostationar) mit
> Periode T = 1=f.
> Man kann den Prozess X(t) stationarisieren, indem man
> setzt:
> Xs(t) = X(t + Theta);
> wobei Theta eine gleichverteilte unabhängige
> Zufallsvariable ist auf [0; T].
> Zeigen Sie, dass Xs(t) schwach stationär ist.
> Ich hab dann einfach integriert, dann mit f = 1/T weiter
> vereinfacht, und kam dann darauf, dass das Integral
> [mm]\bruch{1}{2T}[/mm] * [mm]\integral_{- /infty}^{\infty}{X(t, n) dt}[/mm] =
> 0 ist.
>
>
>
> Fragen:
> Stimmt meine Integralauswertung, und darf ich den Ansatz
> f=1/t überhaupt? Ich mein klar, ist das physikalisch so,
> aber ist das in der Aufageb auch so, oder sind die
> Variablen einfach nur unglücklich gewählt?
>
> Und zweites, wie berechne ich den Erwartungswert EX?
>
> zu Aufgabe 2: Was soll ich da bitte machen? ich versteh
> leider weder mathematisch noch physikalisch was das sein
> soll?!
Kannst Du bitte die formale und semantische Korrektheit der Aufgabenstellung prüfen und gegebenenfalls korrigieren? So habe ich keine Lust. Und es wäre schön, wenn Du selber mal recherchierst, was zyklostationär bedeutet. Gibt es kein Skript?
LG
gfm
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| Aufgabe | Gegen ist ein stochastischer Prozess
X(t) = A*cos(2/pi f T)
wobei A eine ZUfallsvariable sei mit dem Erwartungswert E A und der Varianz [mm] Sigma^{2}.
[/mm]
a) Berechnen SIe den zeitlichen Mittelwert
[mm] \_{T} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2T}*\integral_{-\infty}^{\infty}{X(t,n) dt},
[/mm]
finden Sie den Grenzwert für T [mm] \to \infty [/mm] und vergleichen Sie das Ergenis mit dem Erwartungswert E X
b) In Aufgabe 27 (Anmerkung Übungsaufgabe) haben wir gezeigt, dass der stochastische Prozess X(t) zyklostationär ist (sogar streng zyklostationär) mit der Periode T = 1/f. Man kann den Prozess X(t) stationärisieren, in dem man setzt:
[mm] X_{s}(t)= [/mm] X(t + [mm] \theta)
[/mm]
wobei [mm] \theta [/mm] eine gleichverteilte unabhängige Zufallsvariable ist auf [0,T].
Zeigen Sie, dass [mm] X_{s}(t) [/mm] schwach stationär ist. |
Also ich habe die Frage nochmal nach bestem Wissen udn Gewissen abgetippt;
Zu dem was ich gemacht habe:
Ich hab das Integral ausgewertet, und komme dann auf darauf das
<X(t)>_{T} = [mm] \bruch{1}{2T}*\integral_{-\infty}^{\infty}{X(t,n) dt} [/mm] = 0 ist, unabhängig davon ob ich den lim T [mm] \to \infty [/mm] bilde oder nicht.
Meine Integral ergab sihc zu:
<X(t)>_{T} = [mm] \bruch{1}{2T}*\integral_{-\infty}^{\infty}{X(t,n) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2T}*[A*sin(2\pi [/mm] f t) [mm] *\bruch{1}{2\pi f}]_{-T} [/mm] ^{+T} = [mm] \bruch{1}{2T}*[A*sin(2\pi [/mm] f t) [mm] *\bruch{T}{2\pi}]_{-T} [/mm] ^{+T} = [mm] \bruch{1}{4\pi}*[A*sin(2\pi [/mm] f [mm] t)]_{-T} [/mm] ^{+T} = [mm] \bruch{1}{4\pi}*[A*sin(2\pi \bruch{1}{T} [/mm] T) - [mm] A*sin(2\pi \bruch{1}{T} [/mm] *(-T))] = 0
Und ob ich da dann T [mm] \to \infty [/mm] laufen lasse oder nicht, wäre ja nach meiner Rechnung wurscht.
Ich hoffe meine Darstellungs zeigt, das ich in da Problem schon Zeit gesteckt habe, und dass auch verstehen will.
Zu meinen Fragen:
zu a)
- Stimmt, das was ich bei der Teilaufgabe von a) gemacht habe?
- für den Erwartungswert hab ich mir dann gedacht, dass ich über die Riemannintegrierbarkeit gehe. Korrekter Ansatz?
zu b)
- Ja ich hab nachgeschaut was diese "zyklostationär" laut eines Skriptes ist, und glaube das aus der Systemtheorie/Regelungstechnik zu kennen; Ihc denke es geht einfahc um die Zeitinvarianz der Funktion? Falls das falsch ist, würde ich mich über eine Verbesserung freunden.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Gegen ist ein stochastischer Prozess
>
> X(t) = A*cos(2/pi f T)
Du meinst [mm] X(t)=A*\cos(2\pi*f*t)=A*\cos(\omega*t), [/mm] oder [mm] (\omega:=2\pi*f [/mm] ist die Kreisfrequenz oder auch Winkelgeschwindigkeit)?
>
> wobei A eine ZUfallsvariable sei mit dem Erwartungswert E A
> und der Varianz [mm]Sigma^{2}.[/mm]
>
> a) Berechnen SIe den zeitlichen Mittelwert
>
> [mm]\_{T}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2T}*\integral_{-\infty}^{\infty}{X(t,n) dt},[/mm]
Was ist denn X(t,n)? Wo kommt denn jetzt das n her? Davon abgesehen machen meines Erachtens die unendlichen Grenzen keinen Sinn. Das Integral hat dann keinen definierten Wert. Es soll ja ein Zeitmittel bestimmt werden. Ein Mittelwert ist die Summe der Einzelergebnisse geteilt durch die Anzahl bzw, das Integral über ein Intervall geteilt durch die Intervalllänge, wenn gleichverteilt gemittelt wird. Es wird durch 2T geteilt. Deswegen macht
[mm]_{T}= \limes_{T\to\infty}\bruch{1}{2T}*\integral_{-T}^{T}X(t)dt[/mm]
aus meiner Sicht mehr Sinn. Kann das sein?
>
> finden Sie den Grenzwert für T [mm]\to \infty[/mm] und vergleichen
> Sie das Ergenis mit dem Erwartungswert E X
>
> b) In Aufgabe 27 (Anmerkung Übungsaufgabe) haben wir
> gezeigt, dass der stochastische Prozess X(t)
> zyklostationär ist (sogar streng zyklostationär) mit der
> Periode T = 1/f. Man kann den Prozess X(t)
> stationärisieren, in dem man setzt:
>
> [mm]X_{s}(t)=[/mm] X(t + [mm]\theta)[/mm]
>
> wobei [mm]\theta[/mm] eine gleichverteilte unabhängige
> Zufallsvariable ist auf [0,T].
> Zeigen Sie, dass [mm]X_{s}(t)[/mm] schwach stationär ist.
> Also ich habe die Frage nochmal nach bestem Wissen udn
> Gewissen abgetippt;
Schau noch einmal nach, bitte. Und guck auch ins Skript, wie dort das Zeitmittel definiert ist.
>
> Zu dem was ich gemacht habe:
> Ich hab das Integral ausgewertet, und komme dann auf
> darauf das
> <X(t)>_{T} =
> [mm]\bruch{1}{2T}*\integral_{-\infty}^{\infty}{X(t,n) dt}[/mm] = 0
> ist, unabhängig davon ob ich den lim T [mm]\to \infty[/mm] bilde
> oder nicht.
>
> Meine Integral ergab sihc zu:
> <X(t)>_{T} =
> [mm]\bruch{1}{2T}*\integral_{-\infty}^{\infty}{X(t,n) dt}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2T}*[A*sin(2\pi[/mm] f t) [mm]*\bruch{1}{2\pi f}]_{-T}[/mm]
> ^{+T} = [mm]\bruch{1}{2T}*[A*sin(2\pi[/mm] f t)
> [mm]*\bruch{T}{2\pi}]_{-T}[/mm] ^{+T} = [mm]\bruch{1}{4\pi}*[A*sin(2\pi[/mm]
> f [mm]t)]_{-T}[/mm] ^{+T} = [mm]\bruch{1}{4\pi}*[A*sin(2\pi \bruch{1}{T}[/mm]
> T) - [mm]A*sin(2\pi \bruch{1}{T}[/mm] *(-T))] = 0
>
> Und ob ich da dann T [mm]\to \infty[/mm] laufen lasse oder nicht,
> wäre ja nach meiner Rechnung wurscht.
>
> Ich hoffe meine Darstellungs zeigt, das ich in da Problem
> schon Zeit gesteckt habe, und dass auch verstehen will.
>
> Zu meinen Fragen:
>
> zu a)
> - Stimmt, das was ich bei der Teilaufgabe von a) gemacht
> habe?
[mm]_{T}= \limes_{T\to\infty}\bruch{1}{2T}*\integral_{-T}^{T}X(t)dt=\limes_{T\to\infty}\bruch{1}{2T}*\integral_{-T}^{T}A*\cos(\omega*t)dt=\limes_{T\to\infty}\bruch{1}{2T}*A/\omega*\sin(\omega*t)\Big|^T_{-T}=\limes_{T\to\infty}\bruch{1}{2T}*2*A/\omega*\sin(\omega*T)=0[/mm]
> - für den Erwartungswert hab ich mir dann gedacht, dass
> ich über die Riemannintegrierbarkeit gehe. Korrekter
> Ansatz?
Verstehe nicht was Du meinst. Es ist doch
[mm] E[X(t)]=E[A*\cos(\omega*t)]=\cos(\omega*t)*E[A]
[/mm]
>
> zu b)
> - Ja ich hab nachgeschaut was diese "zyklostationär" laut
> eines Skriptes ist, und glaube das aus der
Ja, was steht denn nun in dem Skript. Wie ist "zyklostationär" dort definiert?
Wie dem auch sei, wenn nun
[mm] X_s(t)=A*\cos(\omega t-\Theta) [/mm] mit einer gleichverteilten und von A unabhängigen ZV ist, kann man Rechnungen wie z.B.
[mm] E[X_s(t)]=E[A]*(1/T)*\integral_0^T\cos(\omega (t-\Theta))d\Theta=-E[A]/(T*\omega)*\sin(\omega(t-\Theta))\Big|_{\Theta=0}^{\Theta=T}
[/mm]
[mm] =E[A]/(T*\omega)*(\sin(\omega*t)-\sin(\omega*(t-T))=2*E[A]/(T*\omega)*\cos(\omega*t)*\sin(\omega*T)
[/mm]
machen. Ähnliches geht auch für die Varianz und Autokorrlationsfunktionen.
> Systemtheorie/Regelungstechnik zu kennen; Ihc denke es geht
> einfahc um die Zeitinvarianz der Funktion? Falls das falsch
Welcher Funktion?
LG
gfm
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