Erklärimg Aufgabenstellung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Es sein n [mm] \in [/mm] N. Es bezeichne [mm] (a_{k}a_{k-1}....a_{1}a_{0})_{10} [/mm] die Zifferndarstellung von n in der Basis 10.
(Es ist also n = [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} [/mm] * [mm] 10^i [/mm] .)
Beweisen Sie die folgenden Kongruenzen (die auch Teilbarkeitsregeln darstellen):
(a) (i)
[mm] n\equiv a_{o} [/mm] mod d, falls d|10.
(d.h.:n lässt denselben Rest bei Division durch 2,5 bzw. 10 wie die letzte Ziffer von n.)
(ii)... |
Hallo zusammen,
Also ich hab jetzt noch keine Frage dazu wie man das rechnet, sondern ein Grundlegendes Verständnis Problem, denn ich verstehe überhaupt nicht, was mir der erste Satz sagen soll. Könnte mir hier evt. jemand die Aufgabenstellung erläutern?
Gruß,
Andreas
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> Es sein n [mm]\in[/mm] N. Es bezeichne
> [mm](a_{k}a_{k-1}....a_{1}a_{0})_{10}[/mm] die Zifferndarstellung
> von n in der Basis 10.
(Es ist also n = $ [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} [/mm] $ * $ [mm] 10^i [/mm] $ .)
Hallo,
es geht hier um natürliche Zahlen, und Fu sollst sie in der Darstellung bzgl der Basis 10 betrachten.
Die einhundertdreiundzwanzig würde man also als [mm] (123)_{10} [/mm] darstellen,
es wäre hier [mm] a_0=3, a_1=2, a_2=1.
[/mm]
Mit 123 ist gemeint [mm] 123=3*10^0+2*10^1+1*10^2.
[/mm]
Du siehst: der erste Satz ist nichts, worum Du Dir große Sorgen machen mußt. Er sagt das, was uns ganz vertraut ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank für die Erklärung.
Also muss ich bei der ersten Aufgabe dann irgendwie beweisen, dass jede zahl, wenn man die letzte Ziffer abzieht von einen Teiler von 10 geteilt wird?
Dann ist die Aussage ja eigentlich sehr logisch und relativ selbstverständlich. Also 10 teilt 23 wenn man die 3 abzieht und jede andere Zahl wenn man die letzte Ziffer abzieht, weil die letzte Ziffer ja der mögliche Rest ist bei dieser Division. Aber wie drücke ich das dann Mathematisch als allgemein gültigen Beweis aus?
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Das Ganze besagt noch viel mehr:
Für alle Teiler von 10 (also 1,2,5 und 10) gibt es im 10-er-System eine Endziffernregel: Eine Zahl ist durch eine der in der Klammern stehenden Zahlen teilbar genau dann, wenn die Endziffer durch diese Zahl teilbar ist.
Durch 1 also jede Zahl, durch 2 die mit einer geraden Endziffer, durch 5 mit Endziffer 5 und 0 und durch 10 mit Endziffer 0.
Natürlich ist das alles bekannt, du sollst aber daran das Beweisen üben.
Tip: Die Zahl n zerlegst du in [mm] r*10+a_0 [/mm] mit [mm] 0\le a_0<10, [/mm] für den Teiler d gibt es ein k mit k*d=10.
Interessant ist die Verallgemeinerung auf beliebige Zahlensysteme. Im 12-er-System ist eine Zahl genau durch 1,2,3,4,6 oder 12 teilbar, wenn die Endziffer dadurch teilbar ist.Im 9-er-System erkennt man die Teilbarkeit durch 1, 3 und 9 nicht an der Quersumme, sondern an der Endziffer (dafür die Teilbarkeit durch 1, 2, 4 und 8 an der Quersumme).
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