Erklärung Benford-Gesetz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.Hallo,ich möchte im Rahmen des Abiturs 2005 eine Mathepräsentation zum Thema Benford-Gesetz "halten".Allerdings fehlt mir eine griffige Erklärung oder ein Interpretationsversuch zur Gültigkeit des Benford-Gesetzes,d.h.eine mögliche Erklärung über die Dominanz der kleinen Ziffern.Einen Artikel zu diesem Thema habe ich bereits gelesen,in welchem ein Journalist dieses Phänomen mit dem Abbildungsmaßstab der Menschen (in welchem die 1 eben eine dominante Rolle spiele)versucht hat zu erklären bzw. ein andere Erklärungsversuch,dass kleinere Strukturen eben häufiger vorkommen.Auch in Bezug auf die Herleitung dieses bizarren Gesetzes fehlt mir eine mögliche Erklärung.Mir ist bewusst dass sich bis heute Mathematiker darüber den Kopf zerbrechen,aber warum der log von 10.Wegen unserem Dezimalsystem??Den 10 Ziffern (0-9)???Und was sind genau natürliche Prozesse?exponentielles Wachstum?und wenn ja,warum entsprechen dann die Fibonacci-Zahlen der benfordschen Verteilung?,welche doch eigentlich eine multiplikative Reihe sind.oder beschreiben auch diese exponentielles Wachstum??Mir ist bewusst dass dies eine Menge spezieller Fragen sind,aber ich habe bis jetzt nirgendwo eine zufriedenstellende Beantwortung auf meine Fragen bekommen(Internetrecherche).Ich würde mich über eine mögliche Antwort und Ideen sehr freuen.Mit Grüßen Siri-Véronique. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.Hallo,ich möchte im Rahmen des
> Abiturs 2005 eine Mathepräsentation zum Thema
> Benford-Gesetz "halten".Allerdings fehlt mir eine griffige
> Erklärung oder ein Interpretationsversuch zur Gültigkeit
> des Benford-Gesetzes,d.h.eine mögliche Erklärung über die
> Dominanz der kleinen Ziffern.Einen Artikel zu diesem Thema
> habe ich bereits gelesen,in welchem ein Journalist dieses
> Phänomen mit dem Abbildungsmaßstab der Menschen (in welchem
> die 1 eben eine dominante Rolle spiele)versucht hat zu
> erklären bzw. ein andere Erklärungsversuch,dass kleinere
> Strukturen eben häufiger vorkommen.Auch in Bezug auf die
> Herleitung dieses bizarren Gesetzes fehlt mir eine mögliche
> Erklärung.Mir ist bewusst dass sich bis heute Mathematiker
> darüber den Kopf zerbrechen,aber warum der log von 10.Wegen
> unserem Dezimalsystem??Den 10 Ziffern (0-9)???Und was sind
> genau natürliche Prozesse?exponentielles Wachstum?und wenn
> ja,warum entsprechen dann die Fibonacci-Zahlen der
> benfordschen Verteilung?,welche doch eigentlich eine
> multiplikative Reihe sind.oder beschreiben auch diese
> exponentielles Wachstum??Mir ist bewusst dass dies eine
> Menge spezieller Fragen sind,aber ich habe bis jetzt
> nirgendwo eine zufriedenstellende Beantwortung auf meine
> Fragen bekommen(Internetrecherche).Ich würde mich über eine
> mögliche Antwort und Ideen sehr freuen.Mit Grüßen
> Siri-Véronique. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt
Hallo Siri-Véronique,
deine Fragen kann ich leider nicht direkt beantworten, aber ich
würde dir empfehlen ![[]](/images/popup.gif) hier nachzugucken.
Liebe Grüße
Fugre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 So 08.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Siri
> Mir ist bewusst dass sich bis heute Mathematiker
> darüber den Kopf zerbrechen,
Ich glaube nicht, dass das stimmt! Die Mathematiker wissen schon warum und das Gesetz ist auch nicht si bizarr wie du denkst!
>aber warum der log von 10.Wegen
> unserem Dezimalsystem??Den 10 Ziffern (0-9)???Und was sind
> genau natürliche Prozesse?exponentielles Wachstum?und wenn
> ja,warum entsprechen dann die Fibonacci-Zahlen der
> benfordschen Verteilung?,welche doch eigentlich eine
> multiplikative Reihe sind.oder beschreiben auch diese
> exponentielles Wachstum??
Alles "multiplikative" entspricht exp. Wachstum!
>Mir ist bewusst dass dies eine
> Menge spezieller Fragen sind,aber ich habe bis jetzt
> nirgendwo eine zufriedenstellende Beantwortung auf meine
> Fragen bekommen(Internetrecherche).Ich würde mich über eine
> mögliche Antwort und Ideen sehr freuen.
Ich hab auch noch mal ins Netz geguckt, und entweder ist die Erklärung an wichtigen Stellen zu kurz oder zu hochgeschraubt.
1. Es gilt nicht nur im Zehnersystem, auch in jedem anderen (ausser 2) und wird umso ausgeprägter, du würdest sagen "bizarrer" je größer die Grundzahl ist.
Also natürlich treten alle Zahlen beim Würfeln oder aus Zahlenurnen greifen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.d.h. wenn du eine Tabelle aus guten Zufallszahlen erzeugst, sollten die Zahlen gleichverteilt sein.
Natürliche Datensätze werden aber nicht vom Zufall erzeugt. Bevölkerungszahlen, Aktienkurse, Erkrankungszahlen etc. wachsen i. A. mit Faktoren, bzw. um eine bestimmte Prozentzahl:
Beispiel: nimm an die Bevölkerungszahlen der Orte eines Landes seien irgendwann mal gleichverteilt gewesen. Als Beispiel gleichviel 1000,2000,......9000. Jetzt nimm irgendeine Wachstumsrate z,Bsp 10%
Und verfolge die Datensätze dieser 9 Orte, statt +10% rechnet man besser mit *1,1.
die 1000 behalten 9 Jahre ihre 1 am Anfang, die 9000 nur 1Jahr,danach haben sie auch ne 1. Am besten
rechnest du mal so was mit Exel und verschiedenen Faktoren. Beim Faktor 2 etwa mußt du was länger warten bis die kleinen Zahlen raustreten, aber wenn du die 2 er Potenzen ansiehst gibts auch "zu viele" kleine Anfangsziffern. Je größer die Anfangsziffer,desto schneller verliert sie ihren Status!2*9=1.. ,2*1=2
Die kleinen bleiben klein, die großen werden klein (Ihr Anfang).
Die beste Übersicht gewinnst du durch experimentieren mit größeren Zahlenmengen, die du mit irgendwelchen festen, oder nicht zu sehr schwankenden Zahlen multiplizierst. die 1,1 als Faktor hab ich nur gewählt, weil mans da besonders schnell sieht.
Zu kleine Datensätzte zu analysieren ist natürlich sinnlos, Aber für nen Vortrag ein kleines Programm zu erstellen, was schnell aus gleichverteilten, von deinen Mitschülern vorgeschlagenen Zahlen Benford verteilte macht wär sicher überzeugend.
Bericht mal was du mit der Erklärung anfangen kannst, und wie dein Vortrag wird
Gruss leduart
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Hallo leduart und fugre,
ersteinmal vielen dank für eure ideen,anregungen,antworten bzw. für den link.....welcher wirklich sehr gut ist.Ich werde mich jetzt mit diesen auseinandersetzen und euch aber in jedem fall eine rückantwort/mitteilung geben.
warum aber ausgerechnet in der benfordschen Regel der log von 10 auftaucht wisst ihr auch nicht?!?
liebe grüße und wie gesagt dankeschön siri-véronique
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Siri-Veronique!
Das mit dem Logarithmus zur Basis $10$ ist reine Willkür.
Schauen wir uns mal das Ganze zur Basis $3$ an.
Dann gilt:
$[1,10] = [mm] \left[ 3^{\log_3(1)},3^{\log_3(10)} \right]$.
[/mm]
Die Zahlen im Intervall $[0,1)$ werden durch die Exponenten im Intervall [mm] $[\log_3(1),\log_3(2))$ [/mm] erzeugt, und ihr Anteil im Gesamtintervall [mm] $[\log_3(1),\log_3(10))$ [/mm] beträgt:
[mm] $\frac{\log_3(2)-\log_3(1)}{\log_3(10)-\log_3(1)} [/mm] = [mm] \frac{\log_3(2)}{\log_3(10)} [/mm] = [mm] \log_{10}(2) \approx [/mm] 0.301$.
Daran sieht man, dass es egal ist, welche Basis man betrachtet und daher oBdA die Basis $10$ betrachten kann (die am "intuitivsten" erscheint).
Viele Grüße
Stefan
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