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Erklärung der Stetigkeit: Stetigkeit und Def-Lücken
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:11 Do 18.09.2008
Autor: Adamantin

Definition und Erklärung des Begriffes Stetigkeit:

Wenn man über Funktionen spricht, sollte man sich zuvor stets Gedanken über den Definitionsbereich machen. Der Definitionsbereich einer Funktion f ist die Menge aller x-Werte, für die die Funktion definiert ist, also alle x-Werte, die eingesetzt werden können, ohne dass Verbotenes getan wird, wie z.B. durch 0 zu teilen (!), Wurzeln oder Logarithmen von negativen Zahlen zu berechnen.

[]Definitionsbereich

Eine Funktion f heißt stetig in [mm] x_0, [/mm] (aus dem Definitionsbereich) wenn [mm]f(x_0)=\limes_{h\rightarrow 0}f(x_0+h)=\limes_{h\rightarrow 0}f(x_0-h).[/mm]

Anschaulich: wenn einer  von rechts und einer von links den Graphen entlang zur  Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $ (des Definitionsbereiches!) fährt, stoßen die beiden dort zusammen.

[]Stetigkeit

Das bedeutet für uns zweierlei:
1.) Stetigkeit ist ein lokales Kriterium und muss für jeden Punkt des Definitionsbereiches erfüllt sein, wenn f(x) stetig sein soll!
2.) Die Gleichung oben bedeutet, dass der rechtsseitige und linksseite Grenzwert übereinstimmen müssen! Das bedeutet, rechts und links von [mm] x_0 [/mm] muss sich die Funktion einer eindeutigen Zahl annähern (die "Fahrer" stoßen zusammen), damit sie dort stetig ist.

Als Trick kann man erstmal Zahlen, die  sehr dicht rechts und links der zu untersuchenden Stelle liegen, mit dem Taschenrechner eingeben und schauen, ob auf beiden Seiten nahezu gleiche Funktionswerte herauskommen.

Wichtig: dieses Testverfahren bringt einen auf Ideen, reicht aber eben nicht in einer Klausur. Dort muß man die Grenzwerte von rechts und links berechnen. (s.u.)

Generell kann man sich merken, daß Funktionen, die aus "normalen" stetigen  Funktionen zusammengesetzt sind, an ihren definierten (!) Stellen auch wieder stetig sind.  Ärger machen können diesbezüglich nur Funktionen, die stückweise definiert sind, und in die dadurch "Sprünge" eingearbeitet sind. (Gefahr lauert auch, wenn die Betragsfunktion im Spiel ist.)

Ein Beispiel für eine Funktion, die nicht aus einem Guss ist, ist die Funktion

$ [mm] f(x)=\begin{cases} x\cdot{}sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $ (Dank an leduart)

Für $ [mm] x\not=0 [/mm] $ ist sie stetig, weil sie aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist, aber der Punkt x=0 wäre auf Stetigkeit zu untersuchen. Sie ist dort stetig - und man kann die Funktion im Bereich um die Null herum noch nichteinmal zeichnen!

Man kann sich merken: Funktionen, die man man ohne Absetzen zeichnen kann, sind  auf jeden Fall stetig.
Die anderen muß man eben genauer untersuchen.

Beispiel:

Gegeben sei die Funktion f mit [mm]f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2-x-2}[/mm]

Der Nenner $ [mm] x^2-x-2 [/mm] $   wird  Null, wenn man x=-1 oder x=2 einsetzt.
An diesen Stellen ist die Funktion nicht definiert.

Wir stellen fest, dass der Definitionsbereich der Funktion [mm] D=\IR [/mm] \ {-1, 2} ist.

Die oben definierte Funktion ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich, also auf  $ [mm] D=\IR [/mm] $ \  $ [mm] \{-1, 2\} [/mm] $  .

Man kann und soll sich nun die beiden Definitionslücken an den Stellen -1 und 2 genauer anschauen,
denn es gibt verschiedene Arten von Definitionslücken, und man interessiert sich dafür,
- ob vielleicht Polstellen vorliegen,
- oder die Lücken stetig behebbar (hebbar, ergänzbar) sind.

Auch  bei dieser Fragestellung sind wieder die Grenzwerte von rechts und von links an den zu untersuchenden Stellen zu berechnen.

Sind diese Grenzwerte rechts und links  $ [mm] \infty [/mm] $ oder - $ [mm] \infty, [/mm] $ so hat man eine Polstelle vorliegen.

Sind die Grenzwerte rechts und links eine gleiche Zahl, so handelt es sich um eine hebbare Nullstelle.


Wir sehen uns nun die Funktionswerte rechts der Stelle x=2 (also bei 2+h,   h positiv) und links der Stelle 2 (also 2-h,   h positiv) an:

[mm]f(2+h)=\bruch{(2+h)^2-3*(2+h)+2}{(2+h)^2-(2+h)-2}=\bruch{h^2+h}{h^2+3h}=\bruch{h+1}{h+3}[/mm]

analog gilt für [mm]f(2-h)=\bruch{h-1}{h-3}[/mm]

h ist also eine beliebige Zahl, die wir jetzt gegen 0 gehen lassen. (Wenn wir das tun, rücken wir immer näher an die 2 heran, einmal von rechts, einmal von links.)
Wir untersuchen also unsere Funktion an der Stelle [mm] x_0=2. [/mm] Dazu schauen wir uns ihre linksseitige und rechtsseitige Umgebung an. Sollte sie an der Stelle stetig sein, müssen die Grenzwerte für  f(2+h) und f(2-h) zusammenfallen,  h gegen Null geht.

[mm][mm] \limes_{h\rightarrow 0} f(2+h)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+1}{h+3}= \bruch{0+1}{0+3}= \bruch{1}{3} [/mm]

[mm] \limes_{h\rightarrow 0} f(2-h)=\bruch{1}{3} [/mm]    (analog)

Es gibt einen Grenzwert, den die Funktion an der Stelle x=2 annimmt, und der lautet [mm] \bruch{1}{3}. [/mm]
Das bedeutet, dass der Graph an dieser Stelle eine Lücke (ein Löchlein) hat, die wir schließen könnten mit dem Wert [mm] \bruch{1}{3}. [/mm]

Solch eine Definitionslücke, die man schließen könnte,  nennt man stetig behebbar oder ergänzbar.

Man könnte  eine neue Funktion [mm] f^{\*} [/mm] erstellen,  mit

[mm] f^{\*}(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 2} \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } x \mbox{ =2} \end{cases} [/mm].

Diese Funktion wäre stetig, denn die Lücke an der Stelle x=2 wurde geschlossen.


Somit bleibt uns noch die Stelle [mm] x_0=-1 [/mm] zu untersuchen.

Wieder schaut man die Funktionswerte rechts und links der Lücke an:

[mm]f(-1+h)=\bruch{h^2-h5+6}{h^2-3h}[/mm]

[mm]f(-1-h)=\bruch{h^2+5h+6}{h^2+3h}[/mm]

Man erkennt leicht, dass wenn wir jetzt h gegen 0 laufen ließen, es keinen Grenzwert geben kann, da in beiden Fällen der Zähler gegen eine feste Zahl und der Nenner gegen 0 zuläuft. Der Betrag der Funktionswerte steigt rechts und links ins Unermessliche (geht gegen [mm] \infty). [/mm]

Man nennt soche Stellen wie die Stelle [mm] x_0=-1 [/mm] eine Polstelle.

Untersuchen kann man noch, ob die Funktionswerte an der Polstelle gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] laufen.
Je nachdem, ob das auf beieden Seiten gleich oder verschieden ist, nennt man die Polstelle dann gleichnamige oder ungleichnamige Polstelle.

In unserer Beispielfunktion haben wir bei x=-1 eine  ungleichnamige Polstelle ist, da hier ein Vorzeichenwechsel vorliegt.
(Trick: Funktionswert dicht an der Lücke mit dem Taschenrechner ausrechnen, und schauen ob er positiv odr negativ ist. Hat keine Beweiskraft, ist aber wirkungsvoll.)

Mit etwas Anstrengung sieht man es auch an der Rechnung oben:

[mm] f(-1+h)=\bruch{h^2-h5+6}{h^2-3h}=\bruch{h^2-h5+6}{h(h-3)} [/mm]

Für sehr kleines (positives) h ist der Zähler dicht bei 6 , und der Nenner wegen h-3 negativ, also hat man dicht rechts der Stelle x=-1 negative Fuktionswerte.

Die andere Seite analog.

---

Man kann hebbare Lücken und Polstellen praktisch sehr schnell erkennen mit folgendem "Trick"

Ist die Nullstelle des Nenners AUCH Nullstelle des Zählers, so liegt eine hebbare Lücke vor:

[mm] x_0=2 [/mm] ist NST des Nenners, denn [mm] 2^2-2-2=0 [/mm]
Und [mm] x_0=2 [/mm] ist NST des Zählers, denn [mm] 2^2-3*2+2=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Lücke

[mm] x_0=-1 [/mm] ist NST des Nenners, denn [mm] (-1)^2-(-1)-2=0 [/mm]
Aber [mm] x_0=-1 [/mm] ist KEINE NST des Zählers, denn [mm] (-1)^2-3*(-1)+2=6 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Polstelle

Wir haben also jetzt die Stetigkeit behandelt. Es gibt Lücken, Polstellen und ab und zu auch Sprungstellen, bei unüblichen Funktionen wie f(x)=sgn(x) oder bei abschnittsweise definierten Funktionen.

Bei Lücken müssen wir schauen, ob sie stetig behebbar sind und ob wir einen Funktionswert für diese Stelle erhalten!

Bei Polstellen können wir noch, wenn wir wollen, schauen, ob es sich um eine gleichnamige oder ungleichnamige Polstelle handelt, also ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt oder nicht. Klassischer Fall [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] hat eine ungleichnamige Polstelle bei [mm] x_0=0 [/mm] und [mm]f(x)=x^{-2}[/mm] hat eine gleichnamige Polstelle bei [mm] x_0=0, [/mm] da beide Äste nach oben laufen.

Allgemeine Beispiele mit Bild:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Die Signumfunktion ist eine Funktion, die allen Zahlen x<0 eine -1 und allen Zahlen x>0 eine +1 zuordnet. Da sie für x=0 mit 0 definiert ist, gibt es also einen Sprung an der Stelle 0. Wenn wir dies mit unserer obigen Formel nachrechnen, kämen wir auf einen linksseitigen Grenzwert von -1 und auf einen rechtsseitigen Grenzwert von +1 Das bedeutet, die Funktion sgn(x) ist an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] nicht stetig! Für [mm] \IR [/mm] \ {0} ist sie jedoch sehr wohl stetig, denn es ist ein lokales Kriterium, die Funktion ist also bis auf die Stelle [mm] x_0=0 [/mm] stetig.




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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