Erläuterung der Aufgabe < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr Lieben,
ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe, da ich nicht versehe, warum man was dort macht.
Zunächst einmal die Aufgabenstellung:
DieTelefongesellschaften A-tel, B-tel und C-tel haben den Telefonmarkt erobert und schließen Jahresverträge mit ihren Kunden ab. Fig 2 zeigt, wieviele Kunden anteilsmäßig von Jahr zu Jahr die Gesellschaft wechseln.
A.) Übergangsmatrix bestimmen:
(hierbei hatte ich noch kein Problem, weshalb ich jetzt auch die Zeichnung nihct näher beschreibe) meine Übergangsmatrix lautet
y1 0,6 0,3 0,1 x1
y2 = 0,1 0,8 0,1 * x2
y3 0,1 0,2 0,7 x3
Bei B.) soll man nun ermitteln:
Am Anfang hat jede Gesellschaft 1/3 aller Kunden unter Vertrag. Wie sieht die Kundenverteilung nach zwei Jahren aus?
Unsere Lehrerin hat uns zu Aufgabenteil b.) gesagt, dass wir einfach die Übergangsmatrix hoch 2 rechnen müssen und das ganze dann mit 1/3 multiplizieren müssen. Leider verstehe ich nicht warum. Könnt ihr mir das vllt erklären?
Ganz liebe Grüße,
Gabi
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Hi, Gabi,
> DieTelefongesellschaften A-tel, B-tel und C-tel haben den
> Telefonmarkt erobert und schließen Jahresverträge mit
> ihren Kunden ab. Fig 2 zeigt, wieviele Kunden
> anteilsmäßig von Jahr zu Jahr die Gesellschaft wechseln.
>
> A.) Übergangsmatrix bestimmen:
>
> (hierbei hatte ich noch kein Problem, weshalb ich jetzt
> auch die Zeichnung nicht näher beschreibe) meine
> Übergangsmatrix lautet
>
> y1 0,6 0,3 0,1 x1
> y2 = 0,1 0,8 0,1 * x2
> y3 0,1 0,2 0,7 x3
>
> Bei B.) soll man nun ermitteln:
> Am Anfang hat jede Gesellschaft 1/3 aller Kunden unter
> Vertrag. Wie sieht die Kundenverteilung nach zwei Jahren
> aus?
>
> Unsere Lehrerin hat uns zu Aufgabenteil b.) gesagt, dass
> wir einfach die Übergangsmatrix hoch 2 rechnen müssen und
> das ganze dann mit 1/3 multiplizieren müssen. Leider
> verstehe ich nicht warum. Könnt ihr mir das vllt
> erklären?
Das Folgende ist Dir aber klar, oder:
Wenn Du die Übergangsmatrix M mit dem (gegebenen) Anlaufvektor [mm] v_{o}= \vektor{1/3 \\1/3 \\1/3} [/mm] multiplizierst, erhältst Du die Verteilung nach 1 Jahr - natürlich in Form eines Vektors [mm] v_{1}.
[/mm]
Wenn Du die Übergangsmatrix M mit diesem Vektor multiplizierst, erhältst Du analog die Verteilung nach 2 Jahren: [mm] v_{2}
[/mm]
Zusammenfassend:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] M*v_{o}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] M*v_{1}
[/mm]
oder:
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] M*M*v_{o}
[/mm]
Wie Du daraus erkennst, erhältst Du dasselbe Ergebnis, wenn Du erst M*M rechnest und anschließend mit [mm] v_{o} [/mm] multiplizierst!
mfG!
Zwerglein
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