Error < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Sa 16.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo cormega,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo diese Aufgabe richtet sich an PDGL Experten,
>
> ich muss folgende homogene Wärmeleitungsgleichung mit
> folgenden Anfangs bzw. Randbedingungen lösen:
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x,t),[/mm] 0<x<pi, t>0
> u(0,t) = 0, u(pi,t)=0, t>0
> [mm]u(x,0)=sin^{2}(x),[/mm] 0<x<pi
>
> Ist diese Aufgabe überhaupt mit dieser Anfangsbedingung
> lösbar und falls ja, kann mir jemand ein paar Tipps geben
> ?
>
> Ohne diese NB komme ich auf die Gleichung
> u(x,t) = [mm]\summe_{m=1}^{\infty}f_{m}\*sin(mx)e^{-m^2t}[/mm] (*)
>
> Danach habe ich Probleme gescheite Koeffizienten [mm]f_{m}[/mm] zu
> berechnen. Daher habe ich folgende Fragen:
> Ist meine obige Lösung (*) bis dahin richtig und falls
Die Lösung ohne AB ist richtig.
> ja, wie geht es weiter.
>
Es muss doch
[mm]u\left(x,0\right)=\sin^{2}\left(x\right)=\summe_{m=1}^{\infty}f_{m}\*sin(mx)e^{-m^2*0}=\summe_{m=1}^{\infty}f_{m}\*sin(mx)[/mm]
gelten.
Entwickle [mm]\sin^{2}\left(x\right)[/mm] in eine ebensolche Reihe.
>
> Viele Dank,
> cormega
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 16.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo cormega,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Allerdings hänge
> ich etwas auf dem Schlauch, wie ich für die
> [mm]u(x,0)=sin^{2}(x)=\summe_{m=1}^{\infty}f_{m}\*sin(mx)[/mm]
> [mm]sin^{2}(x)[/mm] in eine ebensolche Reihe entwickeln soll ? Die
> Terme [mm]f_{m}[/mm] sind doch Konstanten ?
Ja, das ist richtig.
Der Wert der Konstanten ergibt sich dann, wenn Du die
Anfangsbedingung in eine solche Reihe, wie oben angegeben,
entwickelst.
Die Konstanten ergeben sich doch sukzessive durch
Skalarproduktbildung mit [mm]\sin\left(m*x\right)[/mm].
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Gruß cormega
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Sa 16.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo cormega,
> Hallo Mathepower,
>
> muss ich dafür die Reihendarstellung von sin(x) bzw.
> [mm]sin^{2}(x)[/mm] benutzen, um auf die Antwort zu kommen oder bin
> ich auf einem ganz falschen Wege ?
>
Nein, die Reihendarstelliung ist hier nicht zu benutzen.
> Des Weiteren verwirrt mich das m in [mm]sin(m\*x),[/mm] sodass ich
> da nicht weiterkomme.
Die Koeffizienten ergeben sich aus der Gleichung:
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin^{2}\left(x\right)*\sin\left(m*x\right)\ dx}=f_{m}*\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(m*x\right)*\sin\left(m*x\right)\ dx}[/mm]
>
> Vielen Dank
> Gruß Cormega
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 17.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo cormega,
> Hallo Mathepower,
>
> ich versuche bei der Aufgabe voranzukommen.
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin^{2}\left(x\right)\cdot{}\sin\left(m\cdot{}x\right)\ dx}=f_{m}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(m\cdot{}x\right)\cdot{}\sin\left(m\cdot{}x\right)\ dx}[/mm]
>
> Die rechte Seite kann man mit der Kettenregel relativ
> leicht integrieren, sodass ich zu dem Ergebnis
> [mm]f_{m}\*sin^{3}(m\pi)\*\bruch{1}{cos(\pi\*m)}[/mm] komme.
> 1) Ist dieses soweit richtig ?
Leider nicht.
> 2) Falls [mm]m\in\IN[/mm] ist, ist die rechte Seite doch immer 0
> oder habe ich da einen Denkfehler ?
Wende auf die rechte Seite doch einfach die partielle Integration an.
> 3) Wende ich auf die linke Seite die partiellen
> Integration an ? Sieht sehr umständlich aus
Hier kannst Du zunächst versuchen, den Integranden
mit Hilfe geeigneter Additionstheoreme zu vereinfachen.
Dasselbe kannst Du übrigens auch mit dem Integranden
auf der rechten Seite machen.
> 4) Gelange ich danach durch Vergleich der Ergebnisse aus
> 2) und 3) zu dem Ergebnis für [mm]f_{m}[/mm] ?
Ja.
>
> Vielen Dank
>
> Gruß Cormega
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 17.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo cormega,
> Hallo MathePower,
>
> danke für die schnelle Antwort. Aber bevor ich mit deinen
> Tipps weitermache, wollte ich fragen, warum 1) falsch ist
> ?
Nun, weil im Integranden die Ableitung von [mm]\sin\left(m*x\right)[/mm] fehlt.
Sonst könntest Du die Kettenregel rückwärts anwenden.
>
> Ich habe dabei folgende Unformungen vorgenommen:
>
> [mm]=f_{m}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(m\cdot{}x\right)\cdot{}\sin\left(m\cdot{}x\right)\ dx}[/mm]
>
> = [mm]f_{m}\cdot{}\integral_{0}^{\pi} {\sin^{2}\left(m\cdot{}x\right)}[/mm]
> dx = [mm][\bruch{1}{3}\sin^{3}(m\cdot x)\cdot \bruch{1}{\cos(m\cdot x)}]^{\pi}_{0}[/mm]
>
> = [mm]f_{m}\cdot \sin^{3}(m\cdot \pi)\cdot \bruch{1}{\cos(m\pi)}[/mm]
>
> Sind diese Umformungen falsch oder ungeschickt ?
>
> Gruß Cormega
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 17.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo cormega,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für den hilfreichen Tipp. Habe den Fehler bei
> der Kettenregel gefunden.
> Allerdings habe ich ein "komische" Ergebnis, wenn ich auf
> die rechte Seite die partielle Integration anwende:
>
> [mm]f_{m}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(m\cdot{}x\right)\cdot{}\sin\left(m\cdot{}x\right)\ dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{m}{m-1}\cdot[[\sin(m\cdot x)\cdot\cos(m\cdot x)\cdot(\bruch{-1}{m})]^{\pi}_{0}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{m}[\cos(m\cdot x)\sin(m\cdot x)\cdot (\bruch{-1}{m})]^{\pi}_{0}][/mm]
Poste hierzu mal die Zwischenschritte,
wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
>
> 1. Da [mm]\sin(0)[/mm] bzw. [mm]\sin(\pi))[/mm] 0 ist, kommt für die rechte
> Seite wieder 0 raus, sodass mir dies keine Hilfe ist ?
> Habe ich einen Fehler bei meiner partiellen Integration
> oder mache ich danach eine falsche Schlußfolgerung ?
Es liegt ein Fehler bei der partiellen Integration vor.
>
> 2. Muss ich auf der linken Seite das Additionstheorem
> [mm]\sin(x+y)[/mm] = [mm]\sin x\cdot\cos[/mm] y + [mm]\cos x\cdot\sin[/mm] y
> anwenden ??
Genau genommen sind es zwei:
[mm]\sin(x+y) =\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)[/mm]
[mm]\sin(x-y) =\sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)[/mm]
Daraus ergibt sich dann
[mm]\sin\left(x\right)\cos\left(y\right)= \ ... [/mm]
> Danke und Gruß Cormega
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 17.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo Cormega,
> Hallo MathePower,
> ich habe nochmal beim Abtippen einen Fehler gefunden.
> Laut den unteren Gleichungen würde sich 0 = 0 ergeben,
> was mir allerdings nicht weiterhilft oder ?
>
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(m\cdot{}x\right)\cdot{}\sin\left(m\cdot{}x\right)\ dx}[/mm]
> (1)
> = [mm][\sin(mx)\cdot (-1)\cdot\cos(mx)\cdot \bruch{1}{m}]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}\cos(mx)\cdot[/mm]
> m [mm]\cdot \bruch{1}{m}\cdot (-1)\cdot \cos(mx)[/mm] dx (2)
> = [mm][\sin(mx)\cdot(-1)\cdot\cos(mx)\cdot \bruch{1}{m}]^{\pi}_{0}+\integral^{\pi}_{0}\cos(mx)\cdot \cos(mx)[/mm]
> dx (3)
Schreibe hier:
[mm]\cos(mx)\cdot \cos(mx)=1-\sin(mx)\cdot \sin(mx)[/mm]
Dann steht links wie rechts dasselbe gesuchte Integral,
allerdings mit anderen Vorzeichen.
> = [mm][\sin(mx)\cdot (-1)\cdot \cos(mx)\cdot \bruch{1}{m}]^{\pi}_{0}+([\cos(mx)\cdot \sin(mx)\cdot \bruch{1}{m}]^{\pi}_{0}-\integral_{0}^{\pi}\sin(mx)\cdot(-1)\cdot m\cdot \sin(mx)\cdot\bruch{1}{m})[/mm]
> (4)
> = [mm][\sin(mx)\cdot (-1)\cdot \cos(mx)\cdot \bruch{1}{m}]^{\pi}_{0}+ [\cos(mx)\cdot \sin(mx) \cdot \bruch{1}{m}]^{\pi}_{0}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{\pi}\sin(mx)\cdot \sin(mx)[/mm] (5)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 So 17.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo Cormega,
> Hallo MathePower,
>
> dankeschön für den letzten Tipp, hätte eigentlich auch
> selber drauf kommen können :)
> Für die rechte Seite erhalte ich also nun einen Wert von
> [mm]f_{m}\cdot\bruch{\pi}{2}.[/mm]
>
> Für die linke Seite erhalte ich mittels partieller
> Integration folgendes Zwischenergebnis:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}\sin^{2}(x)\cdot\sin(mx)\dx[/mm] =
> [mm][\sin^{2}(x)\cdot\cos(mx)\cdot(-1)\cdot\bruch{1}{m}]^{\pi}_{0}-\integral^{\pi}_{0}2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot \cos(mx)\cdot(-1)\cdot\bruch{1}{m}\dx[/mm]
> = [mm]-\integral^{\pi}_{0}2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot \cos(mx)\cdot(-1)\cdot\bruch{1}{m}\dx[/mm]
>
> Muss ich diesen Term nun weiter mittels partieller
> Integration weiter bearbeiten oder geht dies eleganter ?
> Nochmals partielle Integration anzuwenden, sieht sehr
> undurchschaubar aus.
Bevor Du mit der Integration auf der llinken Seite startest,
forme [mm]\sin^{2}\left(x\right)[/mm] mittels geeigneter Additionstheoreme so um,
daß das Argument der trigonometrischen Funktion 2x ist.
>
> Gruß Cormega
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 17.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo Cormega,
> Hallo MathePower,
>
> ich habe auf der linken Seite partielle Integration
> (2-3mal) angewendet und das Ergebnis (für die linke
> Seite):
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> [mm]\bruch{2}{m\cdot(m^{2}-4)}[/mm] , falls m ungerade, sonst 0
> erhalten.
>
> Ist das richtig, falls nicht, werde ich wohl die
> Additionstheoreme benutzen müssen. Allerdings weiss ich
> hierbei nicht, wie ich den Anfang mache.
Bis auf die Zahl im Zähler ist das richtig.
Herauskommen muß: [mm]\bruch{\blue{-4}}{m\cdot(m^{2}-4)}[/mm] für m ungerade.
Für m gerade ist die linke Seite 0.
>
> Gruß Cormega
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 22.04.2011 | | Autor: | cormega |
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Hallo cormega,
> Hallo MathePower,
>
> leider konnte ich mich nicht früher melden. Hatte bei der
> letzten Frage den letzten Schritt nicht gepostet, daher die
> unterschiedlichen Ergebnisse bei uns beiden.
>
> Als nächsten Schritt habe ich die beiden Teilergbnisse
> gleichgesetzt und nach [mm]f_{m}[/mm] aufglöst. Die [mm]f_{m}[/mm] habe ich
> dann in die Anfansgleichung (*) aus dem ersten Posting
> eingesetzt.
> Für t = 0 habe ich dann die Probe gemacht, also
> u(x,0) = [mm]\summe_{m=1}^{\infty}f_{m}*sin(mx)[/mm] mit [mm]f_{m}[/mm] =
> [mm]\bruch{-8}{m\cdot(m^2-4)\cdot \pi}[/mm] eingesetzt. Dies
> müsste die Lösungsschar sein oder ?
Das sind zunächst die unbekannten Koeffizienten [mm]f_{m}[/mm]
in der Lösungsformel.
Bedenke, daß die geraden Koeffizienten [mm]f_{2k}[/mm] verschwinden,
und
[mm]f_{2k+1}=\bruch{-8}{\left(2*k+1\right)\cdot(\left(2*k+1\right)^2-4)\cdot \pi}[/mm]
gilt.
> Und dies müsste dann = [mm]\sin^2(x)[/mm] sein oder ?
> Für m=1 habe ich die Probe gemacht, allerdings kommt für
> beide Seiten nicht das Gleiche Eregebnis raus...
Wir haben doch jetzt [mm]\sin^{2}\left(x\right)[/mm] als unendliche Reihe dargestellt,
daher gilt:
[mm]\sin^{2}\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{-8}{\left(2*k+1\right)\cdot(\left(2*k+1\right)^2-4)\cdot \pi}*sin(\left(2*k+1\right)*x)[/mm]
>
> Ich hoffe, du kannst mir da weiterhelfen.
>
> Viele Grüße,
> Cormega
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo cormega!
Wirklich eine sehr klasse Leistung, sämtliche Frageartikel im nachhinein zur Unkenntlichkeit zu editieren. ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Auch eine besondere Form des Egoismus, Glückwunsch!
Loddar
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