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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Wie bilde ich die Ableitung von
f(x)=(a+x)*cosx?
Ist die Ableitung von (a+x) (a+1)?
Bei den Bruchtermen habe ich einige Probleme:
[mm] f(x)=\bruch{\wurzel{x}}{c*x}
[/mm]
[mm] f`(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(c*x)-\wurzel{x}*c}{(c*x)^{2.5}}
[/mm]
=> wie lässt sich das noch vereinfachen? Lässt sich dieser TErm überhaupt noch vereinfachen?
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mo 29.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey Sarah :)
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> Wie bilde ich die Ableitung von
>
> f(x)=(a+x)*cosx?
>
> Ist die Ableitung von (a+x) (a+1)?
Nein :)
setze u=a+x und v=cos(x)
Was ist dann u' und v' also wichtig wäre hier zu wissen was die Ableitung von cos(x) ist. Danach einfach Produktregel anwenden.
richtig wäre [mm]f'(x)=cos(x)-(a+x)*sin(x)[/mm]
>
>
> Bei den Bruchtermen habe ich einige Probleme:
>
> [mm]f(x)=\bruch{\wurzel{x}}{c*x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(c*x)-\wurzel{x}*c}{(c*x)^{2.5}}[/mm]
nicht ganz! Wie kommst auf ^2,5 ?
besser wäre:
[mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(c*x)-\wurzel{x}*c}{(c*x)^2}[/mm]
Jetzt bissel vereinfachen.
[mm]f'(x)=\bruch{\bruch{c*x}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}*c}{(c*x)^2}[/mm]
Dann im Zähler gemeinsamen Hauptnenner bilden und danach den Doppelbruch mit deinen Kenntnissen beseitigen.
Kommst damit klar ?
> Liebe Grüße,
George
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Hey George ,
> setze u=a+x und v=cos(x)
>
> Was ist dann u' und v' also wichtig wäre hier zu wissen was
> die Ableitung von cos(x) ist. Danach einfach Produktregel
> anwenden.
Ja, das ist mir klar 
u=a+x
u`= a+1 ---> das war meine Frage
v=cosx
v`=-sinx
Ich habe da raus
f`(x)=(a+1)*cosx+)a+1)*(-sinx)
=(a+1=*cosx-(a-x)*sinx
> richtig wäre [mm]f'(x)=cos(x)-(a+x)*sin(x)[/mm]
Ja, ich habe da was anderes raus. Kannst du mir sagen, was ich bei mir falsch gemacht habe?
[mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(c*x)-\wurzel{x}*c}{(c*x)^{2.5}}[/mm]
>
> nicht ganz! Wie kommst auf ^2,5 ?
Das war ein "Überseher" von mir - habe den Code reinkopiert und da steht ja immer ^2,5, habe vergessen das zu ändern
> besser wäre:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(c*x)-\wurzel{x}*c}{(c*x)^2}[/mm]
>
>
> Jetzt bissel vereinfachen.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{c*x}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}*c}{(c*x)^2}[/mm]
>
> Dann im Zähler gemeinsamen Hauptnenner bilden und danach
> den Doppelbruch mit deinen Kenntnissen beseitigen.
Nee,ich habe es noch nicht geschafft, das aufzuarbeiten. Ich weiß wirklich nicht, wie ich da vorgehen soll ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mo 29.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
> > was ist die Ableitung einer Zahl(Konstante) ? a ist ja eine
> > beliebige Zahl.
> > Also was ist die Ableitung von a und was ist die
> Ableitung
> > von x ?
>
> Wird eine beliebige Zahl in der Ableitung =0? Eigentlich
> doch nicht, oder?
Wenn du zb [mm]a*x[/mm] hast dann ist die Ableitung davon [mm]f'(x)=a[/mm] a ist halt element R
Du weißt sicher die Ableitungen von 8x,4x,3x,.... usw.
hier ist a=3,4,8,.... usw.
[mm]u=a+x[/mm] wird zu [mm]u'=0+1=1[/mm]
So nun [mm]f'(x)=u*v+u*v'[/mm]
> > [mm]\frac{3}{5}+\frac{1}{3}[/mm]
> >
> > was ist davon der Hauptnenner ?
>
> [mm]\bruch{9}{15}+\bruch{5}{15}[/mm]
richtig.
[mm]\bruch{9}{15}+\bruch{5}{15}=\frac{14}{15}[/mm]
> > so weiter:
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{c*x}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}*c}{(c*x)^2}[/mm]
> >
> > Hauptnenner im ZÄhler ist [mm]2*\sqrt{x}[/mm]
> >
> >
> [mm]f'(x)=\frac{\frac{c*x-[red]2*\sqrt{x}[/red]\sqrt{x}*c}{2*\sqrt{x}}}{(c*x)^2}[/mm]
>
> Das war mir nicht klar, dass man die [mm]2\wurzel{x}[/mm] dann noch
> in den Zähler schreiben muss (rot markiert).
du machst dasselbe wie oben bei dem trivialen Beispiel.
Also machen wir es mal ganz genau:
[mm]f'(x)=\bruch{\bruch{c*x}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}*c}{(c*x)^2}[/mm]
Wir betrachten den Zählen,den ich jetzt mit [mm]Z(x)[/mm] bezeichne.
Also [mm]Z(x)=\frac{c*x}{2*\sqrt{x}}-\sqrt{x}*c[/mm]
das schreiben wir jetzt so:
[mm]Z(x)=\frac{c*x}{2*\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}*c}{1}[/mm]
und nun machst du dasselbe wie oben!
bilde den Hauptnenner [mm]2*\sqrt{x}[/mm] und ergänze :)
Also ersetze meine Punkte ....
[mm]Z(x)=\frac{......}{2*\sqrt{x}}[/mm]
> Aber mir ist immer noch nicht klar, wie es weiter geht.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
sehr gerne
lg George
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Hallo ,
> [mm]Z(x)=\frac{......}{2*\sqrt{x}}[/mm]
Okay, das wäre dann
[mm] Z(x)=\bruch{c*x}{2\wurzel{x}} [/mm] - [mm] \wurzel{x}*c
[/mm]
= [mm] \bruch{c*x*2\wurzel{x}*\wurzel{x}*c}{2\wurzel{x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{c*x*2x*c}{2\wurzel{x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{3x*c^{2}*}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Ich wage es kaum zu sagen, aber das wäre meine Lösung.
LG
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 29.10.2007 | | Autor: | crashby |
> Hallo ,
>
> > [mm]Z(x)=\frac{......}{2*\sqrt{x}}[/mm]
>
> Okay, das wäre dann
>
> [mm]Z(x)=\bruch{c*x}{2\wurzel{x}}[/mm] - [mm]\wurzel{x}*c[/mm]
>
> = [mm]\bruch{c*x*2\wurzel{x}*\wurzel{x}*c}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{c*x*2x*c}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3x*c^{2}*}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> Ich wage es kaum zu sagen, aber das wäre meine Lösung.
>
fast :)
= [mm]\bruch{2x^2*c^{2}*}{2\wurzel{x}}[/mm]
aber du hast das Prinzip verstanden. Es ist wie schon erwähnt nix anderes wie damals bei leichten Aufgaben. Nur hier hat man halt ein wenig mehr was man mitziehen muss.
Okay jetzt haben wir Z(x)
Insgesamt haben wir jetzt:
[mm]f'(x)=\frac{\bruch{2x^2*c^{2}*}{2\wurzel{x}}}{(c*x)^2}[/mm]
Okay kennst du sowas noch [mm]\frac{\frac{1}{2}}{4}=\frac{1}{2*4} =\frac{1}{8}[/mm]?
Na was möchte ich damit sagen?
lg George
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Hey George,
An dieser Stelle nochmal ein RIESEN Dankeschön - ohne deine Hilfe würde ich alt aussehen.
Bevor ich zu deiner Antwort komme, muss ich noch eine Frage stellen:
Wenn wir
[mm] \bruch{8ax*\wurzel{x}-4ax^{2}*\bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(\wurzel{x})^{2}}
[/mm]
haben, ist das dann
[mm] \bruch{8ax*\wurzel{x}-4ax^{2}}{2\wurzel{x}} [/mm] durch [mm] (\wurzel{x})^{2} [/mm] ?
Wenn da aber
[mm] \bruch{8ax*\wurzel{x}-4ax^{2}-\bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(\wurzel{x})^{2}}
[/mm]
dann müsste ich doch den Nenner erweitern, oder?
-----------------------------------
> fast :)
>
> = [mm]\bruch{2x^2*c^{2}*}{2\wurzel{x}}[/mm]
Oh ja, da habe ich nicht aufgepasst
> aber du hast das Prinzip verstanden. Es ist wie schon
> erwähnt nix anderes wie damals bei leichten Aufgaben. Nur
> hier hat man halt ein wenig mehr was man mitziehen muss.
>
> Okay jetzt haben wir Z(x)
>
> Insgesamt haben wir jetzt:
>
> [mm]f'(x)=\frac{\bruch{2x^2*c^{2}*}{2\wurzel{x}}}{(c*x)^2}[/mm]
>
>
> Okay kennst du sowas noch
> [mm]\frac{\frac{1}{2}}{4}=\frac{1}{2*4} =\frac{1}{8}[/mm]?
>
> Na was möchte ich damit sagen?
Ich probiere es mal
[mm] \bruch{2x^{2}*c^{2}}{2\wurzel{x}*(c*x)^{2}}
[/mm]
Kann ich jetzt noch die 2 kürzen --->
[mm] \bruch{x^{2}*c^{2}}{\wurzel{x}*(c*x)^{2}} [/mm] und kann man jetzt noch weiter zusammenfassen?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Di 30.10.2007 | | Autor: | Alex_Study |
Ihr habt auf dem Weg das Minus verloren. Überprüft die Regeln zum Ableiten von Funktionen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Di 30.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey Alex_Study,
da hast du natürlich Recht. Wir waren wohl zu viel mit dem Hauptnenner beschäftigt. Zudem sehe ich grad auch, dass es auch ohne Qoutientenregel geht. Nun ja ich schreibe das gleich mal ordentlich auf
lg George
Hier die erste Lösung mit Qoutientenregel:
[mm]f(x)=\frac{\sqrt{x}}{c*x}[/mm]
[mm]f'(x)=\frac{u'*v-u*v'}{v^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}\cdot{}(c\cdot{}x)-\wurzel{x}\cdot{}c}{(c\cdot{}x)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\bruch{\bruch{c\cdot x}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}\cdot{}c}{(c\cdot{}x)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\frac{\frac{c\cdot x-(2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}\cdot c)}{2\cdot \sqrt{x}}}{(c\cdot x)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\frac{\frac{c\cdot x-(2x\cdot c)}{2\cdot \sqrt{x}}}{(c\cdot x)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\frac{\frac{c\cdot x-2x\cdot c}{2\cdot \sqrt{x}}}{(c\cdot x)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\frac{-c\cdot x}{2\sqrt{x}\cdot (c\cdot x)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=-\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}\cdot c\cdot x}[/mm]
[mm]f'(x)=-\frac{1}{2\cdot c\cdot x^\frac{3}{2}}[/mm]
So das war der schwere Weg :)
2. Andere Lösung(viel kürzer)
[mm]f(x)=\frac{\sqrt{x}}{c\cdot x}[/mm]
DAnn kann umformen zu:
[mm]f(x)=\frac{1}{c\cdot\sqrt{x}}=\frac{1}{c}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}[/mm]
und wenn man das ableitet kommt man auf:
[mm]f'(x)=-\frac{1}{2\cdot c\cdot x^\frac{3}{2}}[/mm]
Wie man sieht doch schon ein großer Unterschied.
Da haben wir eben gleich zwei Sachen gelernt. Einmal wie man die Qoutientenregel bei Wurzelfunktion anwendet und das man am Anfang doch mal schauen sollte, ob man nicht die Funktion vereinfachen kann.
lg George
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Di 30.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey Sarah,
wie sieht es mit deiner ersten Aufgabe aus?
[mm]f(x)=(a+x)\cdot cos{(x)}[/mm]
vlg
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