Erste Ableitung berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die erste Ableitung, falls diese existiert.
[mm] f\left(x\right) [/mm] = [mm] \frac{1-cos\left(x^{2}\right) }{\sin x} [/mm] |
Ich weiß überhaupt nicht wie man so eine Aufgabe rechnet und wie man anfagen soll.
Kann mir einer vllt. helfen und mir sagen wie man so eine Aufgabe rechent?
Vielen vielen Dank im Voraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Berechnen Sie die erste Ableitung, falls diese existiert.
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> [mm]f\left(x\right)[/mm] = [mm]\frac{1-cos\left(x^{2}\right) }{\sin x}[/mm]
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> Ich weiß überhaupt nicht wie man so eine Aufgabe rechnet
> und wie man anfagen soll.
> Kann mir einer vllt. helfen und mir sagen wie man so eine
> Aufgabe rechent?
Nun, da du einen Quotienten [mm]f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}[/mm] hast, bietet sich die Quotientenregel an:
[mm]f'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x)\cdot{}v'(x)}{(v(x))^2}[/mm]
Bei der Ableitung des Zählers, also für [mm]u'(x)[/mm] benötigst du wegen des [mm]\cos(x^2)[/mm]-Termes noch die Kettenregel ...
Probier's mal, mehr als schiefgehen kann es ja nicht 
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> Vielen vielen Dank im Voraus...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Ich habe verstanden was du meinst. Nur die Kettenregel habe ich nicht verstanden. Was muss ich denn da rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo Matthias
Naja, "innere mal äussere Ableitung".
Da du für die Quotientenregel die Ableitung von [mm] $cos(x^2)$ [/mm] benötigst ($v'(x)$), berechnest du dort $(g(h(x)))'=h'(x)*g'(h(x))$. Wobei also $g(x)=cos(x)$ und [mm] h(x)=x^2 [/mm] ...
Viele Grüsse
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Ich habe nun folgendes gerechnet:
[mm] f\left(x\right) [/mm] = [mm] \frac{1-cos\left(x^{2}\right) }{sin x}
[/mm]
[mm] f'\left(x\right) [/mm] = [mm] \frac{u'*v-u*v'}{v_{2}} [/mm]
u = [mm] 1-cos(x^2) [/mm] v=sin x
u' = [mm] sin(x^2)*2x [/mm] v'=cosx
f'(x)= [mm] \frac{2x*sin(x^2)*sin(x)-(1-cos(x^2))*cos(x)}{[sin (x)]^2} [/mm]
Ist das nun das Endergebnis und habe ich Fehler drin? Bin ich mit der Ableitung fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe nun folgendes gerechnet:
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> [mm]f\left(x\right)[/mm] = [mm]\frac{1-cos\left(x^{2}\right) }{sin x}[/mm]
>
> [mm]f'\left(x\right)[/mm] = [mm]\frac{u'*v-u*v'}{v_{2}}[/mm]
>
> u = [mm]1-cos(x^2)[/mm] v=sin x
> u' = [mm]sin(x^2)*2x[/mm] v'=cosx
>
> f'(x)= [mm]\frac{2x*sin(x^2)*sin(x)-(1-cos(x^2))*cos(x)}{[sin (x)]^2}[/mm]
>
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> Ist das nun das Endergebnis
Ja
> und habe ich Fehler drin?
Nein
> Bin
> ich mit der Ableitung fertig?
Ja
FRED
>
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Ist das wirklich 100%ig in Ordnung?
Wenn ja, habe ich es geschafft diese Aufgabe zu rechnen.
Kann man das denn nicht vereinfachen oder so?
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Hallo,
> Ist das wirklich 100%ig in Ordnung?
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> Wenn ja, habe ich es geschafft diese Aufgabe zu rechnen.
> Kann man das denn nicht vereinfachen oder so?
Ja, Du kannst noch vereinfachen. Verwende die Identität
[mm] 1=\cos^2(x)+\sin^2(x).
[/mm]
LG
>
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Was ist denn eine Identität? Das habe ich noch nie gehört. Gehört schon aber nicht in Bezug mit Mathematik. Wie muss ich denn jetzt weiterrechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Di 20.12.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Was ist denn eine Identität?
Anders gesagt: eine Gleichung.
> Das habe ich noch nie gehört. Gehört schon aber nicht in Bezug mit Mathematik.
> Wie muss ich denn jetzt weiterrechnen?
Du hast
f'(x)=$ [mm] \frac{2x\cdot{}sin(x^2)\cdot{}sin(x)-(1-cos(x^2))\cdot{}cos(x)}{[sin (x)]^2} [/mm] $ .
Im Zähler ersetze [mm] $(1-\cos^2x)$ [/mm] durch [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] und kürze [mm] (x\notin \{k\pi,k\in\IZ\}).
[/mm]
EDIT: Das ist natürlich Schwachsinn, wenn dort [mm] 1-\cos(x^{\red{2}}) [/mm] steht. Danke für den Hinweis, schachuzipus.
LG
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f'(x)= [mm] \frac{2x\cdot{}sin(x^2)\cdot{}sin(x)-(1-cos(x^2))\cdot{}cos(x)}{[sin (x)]^2} [/mm]
f'(x)= [mm] \frac{2x\cdot{}sin(x^2)\cdot{}sin(x)-sin^2(x)\cdot{}cos(x)}{[sin (x)]^2} [/mm]
f'(x)= [mm] \frac{2x\cdot{}sin(x^2)\cdot{}sin(x)-sin(x)\cdot{}cos(x)}{sin (x)} [/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Di 20.12.2011 | | Autor: | DM08 |
f'(x)= [mm] \frac{2x\cdot{}sin(x^2)\cdot{}sin(x)-(1-cos(x^2))\cdot{}cos(x)}{[sin (x)]^2} [/mm]
f'(x) [mm] \not= \frac{2x\cdot{}sin(x^2)\cdot{}sin(x)-sin^2(x)\cdot{}cos(x)}{[sin (x)]^2} [/mm]
f'(x) [mm] \not=\frac{2x\cdot{}sin(x^2)\cdot{}sin(x)-sin(x)\cdot{}cos(x)}{sin (x)} [/mm]
Richtig?
Habs verbessert..
[mm] \sin^2(x^2)+\cos^2(x^2)=1
[/mm]
[mm] \gdw \sin^2(x^2)=1-\cos^2(x^2)
[/mm]
.. und das bringt die so glaube ich nichts..
Gruß
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| Aufgabe | Nun eine andere Aufgabe, als Verständnisprobe.
Berechnen Sie die erste Ableitung, falls diese existiert.
[mm] f(x)=x^{\frac{1}{3}} \cdot (1-x)^\frac{2}{3} \cdot (1+x)^\frac{1}{2} [/mm] |
Hallo,
ich habe folgendes gerechnet:
[mm] f(x)=x^{\frac{1}{3}} \cdot (1-x)^\frac{2}{3} \cdot (1+x)^\frac{1}{2}
[/mm]
u = [mm] x^\frac{1}{3} [/mm] v = [mm] (1-x)^\frac{2}{3} [/mm] w = [mm] (1+x)^\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] u'=\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}
[/mm]
[mm] v'=-\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}
[/mm]
[mm] w'=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}
[/mm]
f'(x)=u'vw + uv'w + uvw'
f'(x) = [mm] \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \cdot (1-x)^\frac{2}{3} \cdot (1+x)^\frac{1}{2} [/mm] + [mm] x^\frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}) \cdot (1+x)^\frac{1}{2} [/mm] + [mm] x^\frac{1}{3} \cdot (1-x)^\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}
[/mm]
Habe ich das richtig gerechnet?
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Hallo kamaleonti,
ich weiß gerade gar nicht genau, ob es dir oder mir durchgegangen ist, aber im Zähler stand (steht) doch nicht [mm] $1-\cos^2(x)$, [/mm] sondern [mm] $1-\cos(x^2)$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Sicher? Versuch es ncohmals mit der Kettenregel ...
