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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Di 24.01.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Ist h eine parametrisierte Fläche und bezeichnet [mm] T_{(u,v)}h [/mm] die Tangentialebene von h im Punkt h(u,v), so nennt man die Bilinearform
$ I(x,y):=<x,y>, \ \ \ [mm] (x,y\in T_{(u,v)}h) [/mm] $
die erste Fundamentalform von h. Berechnen Sie für a,b,c [mm] \in \IR [/mm] die Darstellungsmatrix der ersten Fundamentalform bezüglich der basis [mm] \{\partial_{u}h,\partial_vh\} [/mm] der folgenden parametrisierten Flächen in den Punkten, in denen sie regulär sind:
(a) h(u,v)=(a*sin(u)*cos(v), b*sin(u)*sin(v), c*cos(u)) |
Hallo! Sind eig. mehrere Aufgabenteile, aber denk mal wenn ich die (a) löse, dann ist der Rest auch kein Problem mehr.
Hab mich zunächst mal bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki informiert. (Im Skript steht nichts weiter.. ) Demnach hab ich erstmal die Koeffizienten der ersten Fundamentalform berechnet: ($*$ bezeichnet das Skalarprodukt)
$ [mm] E(u,v)=\partial_uh*\partial_uh, [/mm] \ \ \ \ [mm] F(u,v)=\partial_uh*\partial_vh, [/mm] \ \ \ \ [mm] G(u,v)=\partial_vh*\partial_vh [/mm] $
Die Darstellungsmatrix ist dann [mm] M=\pmat{E & F \\ F & G}
[/mm]
Bis hierhin kein Problem. Was mich jetzt verwirrt sind die Formulierungen in der Aufgabe: "in den Punkten, in denen diese regulär sind" und "bezüglich der Basis...".
Bin ich schon fertig wenn ich die Matrix aufgestellt habe oder muss ich sonst noch irgendetwas beachten?
Als Ergebnis von (a) hätte ich dann die Darstellungsmatrix:
[mm] M=\pmat{a^2cos^2(u)cos^2(v)+b^2cos^2(u)sin^2(v)+c^2sin^2(u) & -a^2cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)+b^2sin(u)cos(u)sin(v)cos(v) \\ -a^2cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)+b^2sin(u)cos(u)sin(v)cos(v) & a^2sin^2(u)sin^2(v)+b^2sin^2(u)cos^2(v)}
[/mm]
Was mir von der Größe der Matrix etwas seltsam vorkommt..
Danke fürs Drüberschauen!
Lieben Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 24.01.2012 | | Autor: | chesn |
Sorry, bei "Darstellungsmatrix bzgl. Basis" hats jetzt erst klick gemacht, also ist das soweit erledigt..
aber wie wirkt sich das "in den punkten in denen sie regulär sind" aus?
Gruß
chesn
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Hallo,
> Ist h eine parametrisierte Fläche und bezeichnet
> [mm]T_{(u,v)}h[/mm] die Tangentialebene von h im Punkt h(u,v), so
> nennt man die Bilinearform
>
> [mm]I(x,y):=, \ \ \ (x,y\in T_{(u,v)}h)[/mm]
>
> die erste Fundamentalform von h. Berechnen Sie für a,b,c
> [mm]\in \IR[/mm] die Darstellungsmatrix der ersten Fundamentalform
> bezüglich der basis [mm]\{\partial_{u}h,\partial_vh\}[/mm] der
> folgenden parametrisierten Flächen in den Punkten, in
> denen sie regulär sind:
>
> (a) h(u,v)=(a*sin(u)*cos(v), b*sin(u)*sin(v), c*cos(u))
> Hallo! Sind eig. mehrere Aufgabenteile, aber denk mal wenn
> ich die (a) löse, dann ist der Rest auch kein Problem
> mehr.
> Hab mich zunächst mal bei
> Wiki
> informiert. (Im Skript steht nichts weiter.. ) Demnach hab
> ich erstmal die Koeffizienten der ersten Fundamentalform
> berechnet: ([mm]*[/mm] bezeichnet das Skalarprodukt)
>
> [mm]E(u,v)=\partial_uh*\partial_uh, \ \ \ \ F(u,v)=\partial_uh*\partial_vh, \ \ \ \ G(u,v)=\partial_vh*\partial_vh[/mm]
>
> Die Darstellungsmatrix ist dann [mm]M=\pmat{E & F \\ F & G}[/mm]
>
> Bis hierhin kein Problem. Was mich jetzt verwirrt sind die
> Formulierungen in der Aufgabe: "in den Punkten, in denen
> diese regulär sind" und "bezüglich der Basis...".
>
ich vermute regularität in einem punkt der fläche bedeutet, dass das Differenzial (die Jakobi-Matrix) der Parametrisierung in diesem punkt vollen Rang hat, also injektiv ist. das wäre analog zur definition von regulären flächen.
gruss
matthias
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