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| Aufgabe | <br>
Geben Sie jeweils den Term einer in R definierten Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften hat:
- der Graph der Funktion hat den Hochpunkt in H(0/5)
- der Graph ist an der Stelle x=5 nicht differenzierbar |
<br>Leider fehlt die Angabe, welche Art von Funktion hier vorliegt. Ich denke aber, dass wegen der 2. Eigenschaft eine gebrochen-rationale Funktion vorliegt.
Nun überlege ich die ganze Zeit, wie eine gerochen-rationale Funktion beschaffen sein muss, damit überhaupt ein Extremum (hier: Hochpunkt) entsteht.
Auch mit dem Modelling (Steckbriefaufgabe)komme ich nicht weiter, denn ich weiß ja nicht, von welcher allgemeinen Funktion ich ausgehen muss.
Diese (Teil-) Aufgabe stammt aus einer Abiturklausur des Jahres 2012.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Fr 14.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstens erfüllt f(x)= [mm] -ax^2+5 [/mm] a)>0 2. erfüllt etwas mit Knick bei x=5, also etwa Betrag f und f(5)=0
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn du aber (was komplizierter ist als Leduarts Vorschlag) gerne eine gebrochen rationale Funktion hättest, dann kannst du folgendermaßen vorgehen :
Der Nenner sollte n(x) = x-5 sein, das garantiert die Nicht-Differenzierbarkeit, weil der Bruch dann für x=5 ja noch nicht einmal definiert ist.
Als Zähler musst du eine Funktion von mindesens Grad 2 nehmen, damit sich ein Extremum ergibt : [mm] z(x)=ax^2+bx+c. [/mm] a kann willkürlich a=1 gesetzt werden. c muss -25 sein, damit f(0)=5 wird. b ergibt sich aus der Bedingung, dass f'(0)=0 sein muss (zu b=5). Dass dann an der Stelle x=0 tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt, muss noch nachgerechnet werden. Damit die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, ist noch eine beliebige Definition für x=5 hinzuzufügen.
Anmerkung : Vielleicht bedeutet das "jeweils" in der Aufgabenstellung, dass zwei verschiedene Funktionen (je eine für jede Bedingung) angegeben werden dürfen ? Das würde die Sache natürlich erheblich vereinfachen.
Gruß Sax.
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