matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenErstes Integral
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Erstes Integral
Erstes Integral < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Erstes Integral: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:23 Di 24.04.2018
Autor: Son

Aufgabe
[mm] u'(t)=2*v(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2), [/mm] t>0
[mm] v'(t)=-u(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2) [/mm] t>0
[mm] u(0)=u_0; v(0)=v_0 [/mm]

Zu zeigen: a) [mm] H(x,y)=(x^2/2)+y^2 [/mm] ist ein erstes Integral des Systems.
b) Bestimme alle stationären Lösungen

Meine Ansätze:
--> f(x,y)= [mm] \pmat{ 2*v(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) \\ -u(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) } [/mm]
a) [mm] H'(x,y)=\bruch{ \partial H}{\partial x} *f_1(x,y) [/mm] + [mm] \bruch{ \partial H}{\partial y} *f_2(x,y) [/mm]
= [mm] x*(2*v(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2)) [/mm] + [mm] 2*y*(-u(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2)) [/mm]
= [mm] (1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2)*(2*x*v(t)-2*y*u(t)) [/mm] =
Man müsste zeigen, dass dies null ergibt, aber ich komme hier nicht weiter...

b) Hier habe ich f(x,y)=0 gesetzt und hab folgendes GLS:
I   [mm] 2v*(1-u^2-v^2)=0 [/mm]
II  [mm] -u(1-u^2-v^2)=0 [/mm]
--> ich habe v=0 gesetzt und habe u ermittelt. und u=0 gesetzt und habe v ermittelt.
Ist hier die vorgehensweise richtig?

        
Bezug
Erstes Integral: Bezeichnungen erläutern !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Di 24.04.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend,

ich fände es nett, wenn bei einer solchen Aufgabe die
Rollen der verschiedenen Variablen (t,u,v,x,y) und ihre
gegenseitigen Abhängigkeiten wenigstens kurz erläutert
würden oder ein Link zu einer Seite angegeben würde,
wo man sich über diesbezügliche "Standardbezeichnungen"
orientieren könnte.

LG ,  Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Erstes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:33 Mi 25.04.2018
Autor: fred97


> [mm]u'(t)=2*v(t)*(1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2),[/mm] t>0
>  [mm]v'(t)=-u(t)*(1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2)[/mm] t>0
>  [mm]u(0)=u_0; v(0)=v_0[/mm]
>  
> Zu zeigen: a) [mm]H(x,y)=(x^2/2)+y^2[/mm] ist ein erstes Integral
> des Systems.
>  b) Bestimme alle stationären Lösungen
>  Meine Ansätze:
>  --> f(x,y)= [mm]\pmat{ 2*v(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) \\ -u(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) }[/mm]


Meine Güte !  Kein Wunder, dass Du nicht klar kommst. Deine selbstgewählte Bezeichnungsweise ist, mit Verlaub, total bekloppt ! Damit kann man nur scheitern.


Räumen wir auf:

wir setzen [mm]f(x,y):=\pmat{ 2y(1-x^2-y^2) \\ -x(1-x^2-y^2)}[/mm]

Für differenzierbare Funktionen  $w=(u,v): [0, [mm] \infty) \to \IR^2$ [/mm] wird das Anfangswertproblem

   $w'(t)=f(w(t))$,  [mm] $w(0)=(u_0,v_0)$ [/mm]

betrachtet.

>  
> a) [mm]H'(x,y)=\bruch{ \partial H}{\partial x} *f_1(x,y)[/mm] +
> [mm]\bruch{ \partial H}{\partial y} *f_2(x,y)[/mm]



Das ist doch Quatsch ! Rechts steht doch das Skalarprodukt von H'(x,y) und f(x,y), links aber nur H'(x,y).


> = [mm]x*(2*v(t)*(1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2))[/mm] + [mm]2*y*(-u(t)*(1-u(t)^2[/mm] -
> [mm]v(t)^2))[/mm]
>  = [mm](1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2)*(2*x*v(t)-2*y*u(t))[/mm] =
> Man müsste zeigen, dass dies null ergibt, aber ich komme
> hier nicht weiter...

Hab ich es nicht gesagt ? Fällt Dir denn nicht auf, dass Du u,v,x,y durcheinander wirfst ??

Zu zeigen ist: $H'(x,y) [mm] \cdot [/mm] f(x,y)=0$ (wobei links das Skalarprodukt von H'(x,y) und f(x,y) gemeint ist).

Wählt man die Bezeichnungsweise richtig, so ist das eine Trivialität !..


>  
> b) Hier habe ich f(x,y)=0 gesetzt und hab folgendes GLS:
>  I   [mm]2v*(1-u^2-v^2)=0[/mm]
>  II  [mm]-u(1-u^2-v^2)=0[/mm]


Wieder ein Chaos mit x,y,u, und v, warum bringst Du nicht noch das komplette Alphabet ins Spiel, dann wäre mein geschätzter Kollege Al völlig verwirrt !


>  --> ich habe v=0 gesetzt und habe u ermittelt. und u=0

> gesetzt und habe v ermittelt.
>  Ist hier die vorgehensweise richtig?

Aus f(x,y)=0 bekommen wir zwei Fälle:

Fall 1: [mm] x^2+y^2=1. [/mm]  Ist also [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein Punkt auf der Einheitskreislinie und [mm] $w(t):=(x_0,y_0)$, [/mm] so ist diese konstante Funktion zwar Lösung der DGL, erfüllt aber nicht die Anfangsbedingung $w(0)=(0,0)$.

Fall 2: [mm] x^2+y^2 \ne [/mm] 1. Dann ist x=y=0. Setzt man $w(t):=(0,0)$, so ist diese Funktion eine stationäre Lösung (und zwar die einzige) des Anfangswertproblems.




Bezug
                
Bezug
Erstes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mi 25.04.2018
Autor: Son

Stimmt ich hab einen kompletten Unsinn geschrieben:O

Ich hab nur noch kurz eine Frage zur a):
Alsso man muss H'(x,y)|f(x,y) rechnen (Skalarprodukt):
Und da hab ich dann das:
H°(x,y)=H'(x,y)|f(x,y) [mm] =x*2y*(1-x^2-y^2)-x(1-x^2-y^2) [/mm] = .. das kann aber nicht null werden.. Ich weiß dass ich einen Denkfehler habe aber weiß grad nicht welchen

Vielen Dank für die Hilfe:)

Bezug
                        
Bezug
Erstes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Mi 25.04.2018
Autor: fred97


> Stimmt ich hab einen kompletten Unsinn geschrieben:O
>  
> Ich hab nur noch kurz eine Frage zur a):
>  Alsso man muss H'(x,y)|f(x,y) rechnen (Skalarprodukt):
>  Und da hab ich dann das:
>   H°(x,y)=H'(x,y)|f(x,y) [mm]=x*2y*(1-x^2-y^2)-x(1-x^2-y^2)[/mm] =


IWas machst du denn?  Rechne nochmal,  aber richtig


> .. das kann aber nicht null werden.. Ich weiß dass ich
> einen Denkfehler habe aber weiß grad nicht welchen
>  
> Vielen Dank für die Hilfe:)


Bezug
                                
Bezug
Erstes Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:18 Mi 25.04.2018
Autor: Son

Danke hab es jetzt:)
Bezug
                
Bezug
Erstes Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:54 Do 26.04.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Wieder ein Chaos mit x,y,u, und v, warum bringst Du nicht
> noch das komplette Alphabet ins Spiel, dann wäre mein
> geschätzter Kollege Al völlig verwirrt !

Ja, ich wusste ja eben auch nicht, von welchem Planeten uns
diese Anfrage erreicht hat ...
Und im Prinzip hätte ich nicht viel dagegen einzuwenden, dass
die Buchstaben des Alphabets etwas gleichberechtigter eingesetzt
würden. So hätte ich eigentlich nichts gegen Unbekannte namens
k oder c und gegen Konstante mit den Bezeichnungen x oder y
einzuwenden ...   (sofern jeweils genügend dafür gesorgt wäre,
dass klar ist, welche Rolle ein bestimmtes Zeichen in seiner
konkreten Position haben soll).

LG ,  Al-Chw.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 5h 21m 11. Takota
DiffGlGew/Globaler Existenzsatz
Status vor 6h 41m 1. homerq
SVektoren/Raumwinkel errechnen
Status vor 10h 25m 6. leduart
DiffGlGew/Loesung DGL
Status vor 17h 42m 3. fred97
S8-10/Rationalisieren des Nenners
Status vor 1d 13h 41m 6. HJKweseleit
UNum/Skizzieren einer Menge
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]