Erstes Integral bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 02.06.2011 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | $g(x) = [mm] \vektor{\frac{1}{2}(x_1^2 - 3x_2) \\ x_1(x_1^2 - 3x_2)}$
[/mm]
Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems $x' = g(x), [mm] \quad [/mm] x(0) = [mm] \vektor{0 \\ 6}.$
[/mm]
(Hinweis: $g(x) = [mm] (x_1^2-3x_2)\vektor{\frac{1}{2} \\ x_1}$) [/mm] |
[mm] $D\varphi(x)g(x) [/mm] &= [mm] (x_1, -\frac{1}{2})(x_1^2-3x_2)\vektor{\frac{1}{2}\\x_1}$
[/mm]
$= [mm] (x_1^2-3x_2)(x_1, -\frac{1}{2})\vektor{\frac{1}{2}\\x_1}$
[/mm]
$= [mm] (x_1^2-3x_2)\cdot [/mm] 0$
$= 0$
sollte [mm] $\varphi(x)$ [/mm] eigentlich ein erstes Integral sein, oder darf ich die Terme so nicht vertauschen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo GeMir,
> [mm]g(x) = \vektor{\frac{1}{2}(x_1^2 - 3x_2) \\ x_1(x_1^2 - 3x_2)}[/mm]
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> Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems $x' =
> g(x)$, [mm]\quad[/mm] x(0) = [mm]\vektor{0 \\ 6}.$[/mm]
>
> (Hinweis: [mm]g(x) = (x_1^2-3x_2)\vektor{\frac{1}{2} \\ x_1}[/mm])
>
> [mm]D\varphi(x)g(x) &= (x_1, -\frac{1}{2})(x_1^2-3x_2)\vektor{\frac{1}{2}\\x_1}[/mm]
>
> [mm]= (x_1^2-3x_2)(x_1, -\frac{1}{2})\vektor{\frac{1}{2}\\x_1}[/mm]
>
> [mm]= (x_1^2-3x_2)\cdot 0[/mm]
>
> [mm]= 0[/mm]
>
> sollte [mm]\vaphi(x)[/mm] eigentlich ein erstes Integral sein, oder
> darf ich die Terme so nicht vertauschen?
Das gegebene DGL-System lautet doch:
[mm]\pmat{x'_{1} \\ x'_{2}}=(x_1^2-3x_2)\vektor{\frac{1}{2} \\ x_1}[/mm]
Hier findest Du eine Lösung, wenn [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] als konstant angenommen wird.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Fr 03.06.2011 | | Autor: | GeMir |
Ähm, mag sein, dass ich es vollkommen falsch sehe,
aber die [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind ja eigentlich Variablen...
Ich wollte das gegebene AWP auf die Bestimmung
des ersten Integrals zurückführen, wie es auch
in meinem Skript gemacht wurde...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Fr 03.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ähm, mag sein, dass ich es vollkommen falsch sehe,
> aber die [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] sind ja eigentlich Variablen...
Nein es sind Funktionen !
Gesucht sind Funktionen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit:
[mm] x_1'= 1/2(x_1^2-3x_2)
[/mm]
[mm] x_2'=x_1(x_1^2-3x_2)
[/mm]
und [mm] x_1(0)=0 [/mm] , [mm] x_2(0)=6
[/mm]
FRED
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> Ich wollte das gegebene AWP auf die Bestimmung
> des ersten Integrals zurückführen, wie es auch
> in meinem Skript gemacht wurde...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 03.06.2011 | | Autor: | GeMir |
Laut einem Tipp des Betreuers sollen wir folgendes Lemma benutzen (das mit dem ersten Integral sollte zwar auch funktionieren, ist aber nicht so einfach, laut ihm):
Gegeben sei $x' = f(x)$ auf $U$, weiter [mm] $U^{\star} \subset [/mm] U$ nicht leer und offen sowie [mm] $\mju: U^\star \rightarrow \IR$ [/mm] eine [mm] $\IC^1$ [/mm] -Funktion.
Ist $z(t)$ die Lösung von $x'=f(x), x(0)=y$, und ist [mm] $\tau(t)$ [/mm] die Lösung des Anfangswertproblems [mm] $\tau'(t) [/mm] = [mm] \mju(z(\tau(t))), \quad \tau [/mm] = 0,$ so ist [mm] $v(t):=z(\tau(t))$ [/mm] die Lösung von [mm] $x'=f^\star(x):=\mju(x)f(x), \quad [/mm] x(0) = y$
Die Aufgabe sollte somit super-einfach sein, ich weiß aber immer noch nicht, wie ich anfangen soll :/
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> Laut einem Tipp des Betreuers sollen wir folgendes Lemma
> benutzen (das mit dem ersten Integral sollte zwar auch
> funktionieren, ist aber nicht so einfach, laut ihm):
>
> Gegeben sei [mm]x' = f(x)[/mm] auf [mm]U[/mm], weiter [mm]U^{\star} \subset U[/mm]
> nicht leer und offen sowie [mm]\mju: U^\star \rightarrow \IR[/mm]
> eine [mm]\IC^1[/mm] -Funktion.
>
> Ist [mm]z(t)[/mm] die Lösung von [mm]x'=f(x), x(0)=y[/mm], und ist [mm]\tau(t)[/mm]
> die Lösung des Anfangswertproblems [mm]\tau'(t) = \mju(z(\tau(t))), \quad \tau = 0,[/mm]
> so ist [mm]v(t):=z(\tau(t))[/mm] die Lösung von
> [mm]x'=f^\star(x):=\mju(x)f(x), \quad x(0) = y[/mm]
>
> Die Aufgabe sollte somit super-einfach sein, ich weiß aber
> immer noch nicht, wie ich anfangen soll :/
Möglicherweise steckt in diesem Text irgendwie (aber
wieder in einem ungenießbaren Jargon) das drin,
was ich auf deutlich einfachere Weise dargestellt habe.
Immerhin taucht hier doch eine Variable t auf ...
LG
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> [mm]g(x) = \vektor{\frac{1}{2}(x_1^2 - 3x_2) \\ x_1(x_1^2 - 3x_2)}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems [mm]x' = g(x), \quad x(0) = \vektor{0 \\ 6}.[/mm]
>
> (Hinweis: [mm]g(x) = (x_1^2-3x_2)\vektor{\frac{1}{2} \\ x_1}[/mm])
>
> [mm]D\varphi(x)g(x) &= (x_1, -\frac{1}{2})(x_1^2-3x_2)\vektor{\frac{1}{2}\\x_1}[/mm]
>
> [mm]= (x_1^2-3x_2)(x_1, -\frac{1}{2})\vektor{\frac{1}{2}\\x_1}[/mm]
>
> [mm]= (x_1^2-3x_2)\cdot 0[/mm]
>
> [mm]= 0[/mm]
>
> sollte [mm]\varphi(x)[/mm] eigentlich ein erstes Integral sein, oder
> darf ich die Terme so nicht vertauschen?
Hallo,
ich frage mich, ob diese Aufgabe nicht einfach schon
durch die verwendeten Bezeichnungen x, [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
schwer verständlich rüberkommt.
x steht hier offenbar für den Zweiervektor [mm] \pmat{x_1\\x_2} [/mm] .
Aber für welche Ableitung steht der Ableitungsstrich in der
Gleichung $\ x'\ =\ g(x)$ ??
Offenbar soll der Vektor x Funktion einer Variablen sein,
die überhaupt nicht erwähnt wird - oder sehe ich dies falsch ?
Wenn wir das in diesem Sinne klären wollen und die
Hilfsvariable t nennen und außerdem die für die Rechnung
lästigen Indices vermeiden, indem wir [mm] $\vec{x}(t)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x(t)\\y(t)}$
[/mm]
schreiben, so kommen wir auf das DGL-System:
[mm] \begin{cases} \dot{x}(t)\ =\ \frac{1}{2}*(x^2-3\,y) \\ \dot{y}(t)\ =\ x*(x^2-3\,y) \end{cases}$
[/mm]
Dieses löst man am einfachsten, wenn man zuerst aus
den beiden Differentialgleichungen eine für die Funktion
[mm] x\mapsto{\ y(x)} [/mm] macht.
LG Al-Chw.
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