Erwarteter Gewinn < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Do 02.05.2013 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Eine Spielbank bietet folgendes Spiel an: Für einen Einsatz x darf der Spieler einmal mit zwei Würfeln würfeln. Wirft er die Augensumme 2, 3, 4, 10, 11 oder 12, dann erhält er den Einsatz zurück und zusätzlich die gewürfelte Augenzahl in Euro. In den übrigen Fällen verfällt der Einsatz (d.h. der Einsatz geht an die Bank).
Welchen erwarteten Gewinn macht die Bank pro Spiel, wenn der Einsatz 5 Euro ist? Welchen Einsatz x muss die Bank verlangen, damit sie im Mittel 5% Gewinn macht? |
Meine erste Frage lautet? Mit dem erwarteten Gewinn ist der Erwartungswert gemeint? Oder ist damit was anderes gemeint?
Also ich hab mir jetzt folgendes gedacht: Ich berechne P(X = i), wobei i = 2, 3, 4 ... 12 ist und berechne dann den Erwartungswert. Ist dieses Vorgehen richtig?
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Hallo starki,
> Eine Spielbank bietet folgendes Spiel an: Für einen
> Einsatz x darf der Spieler einmal mit zwei Würfeln
> würfeln. Wirft er die Augensumme 2, 3, 4, 10, 11 oder 12,
> dann erhält er den Einsatz zurück und zusätzlich die
> gewürfelte Augenzahl in Euro. In den übrigen Fällen
> verfällt der Einsatz (d.h. der Einsatz geht an die Bank).
>
> Welchen erwarteten Gewinn macht die Bank pro Spiel, wenn
> der Einsatz 5 Euro ist? Welchen Einsatz x muss die Bank
> verlangen, damit sie im Mittel 5% Gewinn macht?
> Meine erste Frage lautet? Mit dem erwarteten Gewinn ist
> der Erwartungswert gemeint? Oder ist damit was anderes
> gemeint?
Der Erwartungswert von was? Ein Erwartungswert ist immer an eine Zufallsvariable gekoppelt, und die will erst einmal klar definiert sein (du solltest dir das angewöhnen, falls noch nicht passiert, daher der Wink mit dem Kantholz  ).Es geht um den Erartungswert der Zufallsvariablen:
X:=Spieleinsatz - ausgezahlter Gewinn
Auch wenn das hier etwas durch die Tatsache verdeckt wird, dass der Spieler im Fall eines Gewinns seinen Einsatz auch zurückbekommt. Das ist halt eine klassische Nebelkerze. Auf jeden Fall aber war deine Vermutung richtig, dass hier ein Erwartungswert gesucht ist.
> Also ich hab mir jetzt folgendes gedacht: Ich berechne P(X
> = i), wobei i = 2, 3, 4 ... 12 ist und berechne dann den
> Erwartungswert. Ist dieses Vorgehen richtig?
Nein, das ist es eben. Deine Zufallsvariable kann alle Werte aus [mm] \{ -x; 2; 3; 4; 10; 11; 12 \}
[/mm]
annehmen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 04.05.2013 | | Autor: | starki |
Also ich hab das jetzt folgendermaßen gemacht: Ich habe mir eine Tabelle erstellt, wo ich in der ersten Spalte die Summe der beiden Würfel geschrieben habe, also 2, 3, 4, 5 ... bis 12.
In der zweiten Spalte habe ich den Gewinn bzw. Verlust für die Bank geschrieben:
-2, -3, -4, 5, 5, 5, 5, 5, -10, -11, -12
Und in der dritten Spalte habe ich Wahrscheinlichkeit des Gewinns bzw. Verlustes für die Bank berechnet. Also beispielsweise für die Augensumme 2: 1/36 * (-2) = -0.05.
Um den Erwartungswert zu berechnen, müsste ich dann eigentlich nur noch die Zahlen aufsummieren. Oder?
Und was genau sagt mir dann dieser Erwartungswert?
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Hallo,
> Also ich hab das jetzt folgendermaßen gemacht: Ich habe
> mir eine Tabelle erstellt, wo ich in der ersten Spalte die
> Summe der beiden Würfel geschrieben habe, also 2, 3, 4, 5
> ... bis 12.
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> In der zweiten Spalte habe ich den Gewinn bzw. Verlust für
> die Bank geschrieben:
> -2, -3, -4, 5, 5, 5, 5, 5, -10, -11, -12
>
> Und in der dritten Spalte habe ich Wahrscheinlichkeit des
> Gewinns bzw. Verlustes für die Bank berechnet. Also
> beispielsweise für die Augensumme 2: 1/36 * (-2) = -0.05.
>
> Um den Erwartungswert zu berechnen, müsste ich dann
> eigentlich nur noch die Zahlen aufsummieren. Oder?
Das ist alles ziemlich umständlich, aber richtig. Einfacher wäre es, nur die Werte der Zufallsvariablen zu betrachten, also {-12;-11;-10;-4;-3;-2;5}. Diese werden mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert, mit denen sie auftreten (man sagt dazu auch: die Werte werden gewichtet) und dann aufsummiert.
>
> Und was genau sagt mir dann dieser Erwartungswert?
Na ja, in diesem Fall ganz einfach, wie viel ggf. für die Spielbank langfristig gesehen pro Spiel herausspringt. Es gibt bspw. (oder gab auf jeden Fall) in Deutschland für Spielautomaten ein Gesetz, wonach 60% des Umsatzes wieder als Gewinn ausgeschüttet werden müssen. Je öfter man an so einem Automaten spielt, desto sicherer wird man also 40% des eingesetzten Geldes verlieren. Man nähert sich dem Erwartungswert dabei immer mehr an.
Allgemein ist der Erwartungswert derjenige Wert, den eine Zufallsvariable durchschnittlich annimmt.
Gruß, Diophant
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