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Erwartungstreu: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Mi 29.08.2018
Autor: AragornII

Aufgabe
Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit der Dichtefunktion

[mm] $f_\theta(t)=\frac{2t}{\theta^2}$ [/mm] für [mm] $0\let\le\theta$ [/mm] und 0, sonst

[mm] $\theta>0$ [/mm] Es seien [mm] $X_1,....,X_n$ [/mm] u.i.v. wie X.

Zeigen Sie, dass der Schätzer [mm] $T_n=T(X_1,...,X_n)=\bar{X_n}$ [/mm]

nicht erwartungstreu für [mm] $\tau(\theta)=\theta$ [/mm] ist.

Ist [mm] $T_n$ [/mm] asymptotisch erwartungstreu?

Guten Tag,

Wie gehe ich an diese Aufgabe ran? Bin sehr ahnungslos gerade. Wann ist es erwartungstreu bzw. asymptotisch erwartungstreu?

Kann mir jemand einige Tipps geben, wie ich anfangen kann?

LG

        
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Erwartungstreu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mi 29.08.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann mir jemand einige Tipps geben, wie ich anfangen kann?

da das Forum hier keine Lösungsmaschine ist, solltest du dir die Antworten auf deine Fragen

> Wann ist es erwartungstreu bzw. asymptotisch erwartungstreu?

selbst erarbeiten. Die Definition nachschlagen kannst du sicherlich selbst. Ihr werdet keine Aufgaben bekommen, wo ihr die Definition nicht hattet.
Und wenn: Das sind Begriffe, die man auch mit Hilfe von Google o.ä. selbst herausfindet.

Ein Tipp: Schlage auch nach, was mit [mm] $\overline{X}$ [/mm] gemeint ist.

Gruß,
Gono

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Erwartungstreu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Di 04.09.2018
Autor: AragornII

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

Das ist die Schätzfunktion:
$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

nun müsste ich den Erwartungswert von $X_1$ berechnen.

$E(X_1)=\int_{\mathbb{R}}x\cdot f(x)dx} = \int_{0}^{\theta}x \cdot \frac{2t}{\theta^2}=t $

nun weiß ich nicht weiter. In der Vorlesung oder Übung hatten wir solche Aufgaben nicht. Wir hatten nur Aufgaben bzgl. des Maximum-Likelihood-Schätzers. Deswegen fällt die Aufgabe mir ja so schwer.

LG

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Erwartungstreu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Di 04.09.2018
Autor: luis52


> Hallo,
>  
> Das ist die Schätzfunktion:
>  [mm]\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm]
>
> nun müsste ich den Erwartungswert von [mm]X_1[/mm] berechnen.

Das ist korrekt, aber ist dir klar, warum?

>  
> [mm]E(X_1)=\int_{\mathbb{R}}x\cdot f(x)dx} = \int_{0}^{\theta}x \cdot \frac{2t}{\theta^2}=t[/mm]

[notok] Ui, ui, ui. Macht dich das Ergebnis nicht stutzig?

[mm]E(X_1)=\int_{\mathbb{R}}x\cdot f_\theta(x)\,dx} = \int_{0}^{\theta}x \cdot \frac{2\red{x}}{\theta^2}\,\red{dx}=\frac{2 \theta}{3}\,.[/mm]

>  
> nun weiß ich nicht weiter.  

Immer noch nicht?


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Erwartungstreu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Di 04.09.2018
Autor: AragornII

Vielen Dank! habe mich schon gewundert.

ich bin mir nicht sicher, was ich tue. Ich denke ich rechne die Erwartungswerte, also

[mm] $E_\theta(T_n(X_1,....,X_n))=E_\theta(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)$ [/mm]

um zu zeigen, dass es erwartungstreu ist. In meinem fall wäre das genau das Gegenteil um zu zeigen, dass es nicht erwartungstreu ist. Also müsste es oben ungleich sein.
Ob das stimmt, was ich tue, weiß ich nicht.

wenn ich mir [mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] anschaue, weiß ich nicht wie ich den Erwartungswert berechnen soll.

[mm] $\frac{1}{n}\cdot E_\theta(X_1)=1 \cdot \frac{2\theta}{3}=\frac{2\theta}{3}$ [/mm]

aber irgendwie wie gesagt fühle ich mich bei dieser Aufgabe sehr sehr unsicher.


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Erwartungstreu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Di 04.09.2018
Autor: luis52


> Vielen Dank! habe mich schon gewundert.
>
> ich bin mir nicht sicher, was ich tue. Ich denke ich rechne
> die Erwartungswerte, also
>  
> [mm]E_\theta(T_n(X_1,....,X_n))=E_\theta(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)[/mm]

Das ist moeglich, aber ich moechte wetten, dass ihr den Sachverhalt schon hattet, dass der Erwartungswert des arithmetischen Mittel mit dem Erwartungswert der Grundgesamtheit uebereinstimmt. Hier nochmal zum Mitschreiben:

[mm]E_\theta(T_n(X_1,....,X_n))=E_\theta(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E_\theta(X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{2\theta}{3}=\frac{2\theta}{3}\,.[/mm]

Und was bedeutet das nun?





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Erwartungstreu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Di 04.09.2018
Autor: AragornII

Das sagt uns jetzt, dass wir einen erwartungstreuen Schätzer haben oder nicht?
Aber mein Schätzer sollte ja nicht Erwartungstreu sein.

Das verwirrt mich ja die ganze Zeit.


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Erwartungstreu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Di 04.09.2018
Autor: luis52

Die Aufgabenstellung lautet:

Zeigen Sie, dass der Schätzer $ [mm] T_n=T(X_1,...,X_n)=\bar{X_n} [/mm] $
nicht erwartungstreu für $ [mm] \tau(\theta)=\theta [/mm] $ ist.

[mm] $T_n$ [/mm] *waere* erwartungstreu, wuerde gelten [mm] $E_\theta[T_n]=\tau(\theta)=\theta [/mm] $. Das ist nicht der Fall ...

>  Aber mein Schätzer sollte ja nicht Erwartungstreu sein.

Ist er ja auch nicht.


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Erwartungstreu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Di 04.09.2018
Autor: AragornII

Vielen dank,

[mm] $\limes_{n \to \infty}E(\bar{X})=\theta$ [/mm] ist diese Schreibweise für die asymptotische Erwartungstreue richtig?

b) Modifizieren Sie [mm] $T_n$ [/mm] so, dass sie einen erwartungstreuen Schätzer [mm] $T_{n}^{0}$ [/mm] für [mm] $\theta$ [/mm] erhalten.

was ist mit [mm] $T_{n}^{0}$ [/mm] gemeint?

c) Was können sie über die Konsistenz von [mm] $T_{n}^{0}$ [/mm]

Die Konsistenz ist doch auch das Grenzwertverhalten oder nicht?


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Erwartungstreu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Di 04.09.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Vielen dank,
>  
> [mm]\limes_{n \to \infty}E(\bar{X})=\theta[/mm] ist diese
> Schreibweise für die asymptotische Erwartungstreue
> richtig?

Ja. Und jetzt berechne für deinen Fall doch mal [mm] $\limes_{n \to \infty}E(\bar{X})$ [/mm]

> b) Modifizieren Sie [mm]T_n[/mm] so, dass sie einen erwartungstreuen
> Schätzer [mm]T_{n}^{0}[/mm] für [mm]\theta[/mm] erhalten.
>  
> was ist mit [mm]T_{n}^{0}[/mm] gemeint?

Na du sollst jetzt [mm] T_n [/mm] so abändern, dass er erwartungstreu wird.
[mm] $E[T_n] [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\theta$ [/mm]
Was musst du jetzt machen, damit da [mm] $\theta$ [/mm] rauskommt?
Und das nennen wir dann [mm] T_n^0 [/mm]

Gruß,
Gono

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Bezug
Erwartungstreu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Di 04.09.2018
Autor: AragornII

$ [mm] \limes_{n \to \infty}E(\bar{X})=\limes_{n \to \infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{2\theta}{3}= \limes_{n \to \infty} \frac{2\theta}{3n}=0$ [/mm]

aber normalerweise müsste ja [mm] $\theta$ [/mm] rauskommen oder?

damit $ [mm] E[T_n] [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\theta [/mm] $ hier [mm] \theta [/mm] rauskommt, muss ich die rechte Seite mal dreihalbe multiplizieren? Habe gerade einen Denkfehler glaube ich...




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Erwartungstreu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Mi 05.09.2018
Autor: luis52


> [mm]\limes_{n \to \infty}E(\bar{X})=\limes_{n \to \infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{2\theta}{3}= \limes_{n \to \infty} \frac{2\theta}{3n}=0[/mm]
>  

[notok] Es gilt stets [mm] $\operatorname{E}(\bar{X})= \frac{2\theta}{3}$, [/mm] egal wie du $n$ waehlst. Also ist auch [mm] $\limes_{n \to \infty}\operatorname{E}(\bar{X})= \frac{2\theta}{3}$. [/mm] Du kannst dich auf den Kopf stellen und mit den Ohren quirlen, [mm] $\bar [/mm] X$ ist weder erwartungstreu noch asymptotisch erwartungstreu. Das aendert sich erst mit  [mm] $T_{n}^{0}$. [/mm]



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Erwartungstreu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Do 06.09.2018
Autor: AragornII

das ändert sich erst mit [mm] $T_{n}^{0}$ [/mm]

$ [mm] E[T_n] [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\theta [/mm] $ wie ändere ich mein [mm] $T_n$, [/mm] so dass [mm] $\theta$ [/mm] rauskommt.

das heißt wenn mein [mm] $T_n= \frac{3t}{\theta^2} [/mm] $  wäre und ich von meinen neuen [mm] $T_n$ [/mm] den Erwartungswert ausrechne, bekomme ich

[mm] $E(T_{n}^{0})= \int_{0}^{\theta} [/mm] x [mm] \cdot \frac{3x}{\theta^2} \, [/mm] dx = [mm] \theta$?? [/mm]

LG

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Bezug
Erwartungstreu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Fr 07.09.2018
Autor: luis52

$ [mm] T_n= \frac{3t}{\theta^2} [/mm] $ ist kein Schaetzer, seine Realisationen haengen ab von [mm] $\theta$. [/mm] Was ist $t$?

Setze  $ [mm] T_{n}^{0}=\frac{3}{2}\bar [/mm] X $ ...

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