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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Erwartungswert
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Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Mi 26.08.2015
Autor: bennoman

Hallo,

X sei B(1,pi) verteilt (Bernoulli verteilt).
Ich soll jetzt den Erwartungswert von [mm] e^X [/mm] berechnen, also [mm] E(e^X). [/mm]

Leider weiß ich nicht, was ich dann für X einsetzen soll oder wie man hier generell vorgehen soll.

Beste Grüße
Benno

        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Mi 26.08.2015
Autor: DieAcht

Hallo Benno!


[mm] $Y:=e^X\$ [/mm] ist auch "nur" eine Zufallsvariable. ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 Mi 26.08.2015
Autor: bennoman

Aber wie  berechne ich dann von dieser Zufallsvariablen den Erwartungswert?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Mi 26.08.2015
Autor: DieAcht

Schau mal []hier.

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Mi 26.08.2015
Autor: bennoman

Danke!

Ich kenne die Transformationsformel, aber ich weiß nicht wie ich sie hier anwenden soll´.

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:45 Do 27.08.2015
Autor: fred97


> Danke!
>  
> Ich kenne die Transformationsformel, aber ich weiß nicht
> wie ich sie hier anwenden soll´.


Die Dichte von X kennst Du und g ist die Exponentialfunktion.

Fred

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Do 27.08.2015
Autor: DieAcht

Gegeben: [mm] $X\sim B(1,\pi)$. [/mm] Gesucht: [mm] E(e^X). [/mm]


Die Zufallsgröße [mm] $g(X):=e^X\$ [/mm] ist (auch) diskret, so dass gilt

      [mm] E(g(X))=\sum_{x\in g(X)(\Omega)}g(x)*P(g(X)=x). [/mm]

Wir setzen [mm] $Y:=g(X)\$ [/mm] und erhalten

      [mm] E(Y)=\sum_{y\in Y(\Omega)}y*P(Y=y). [/mm]

Weiterhin ist

      [mm] $Y(\Omega):=\{Y(\omega)\in\IR\mid \omega\in\Omega\}=\{1,e\}$ [/mm] (Warum?),

so dass

      [mm] $E(Y)=1*P(Y=1)+e*P(Y=e)=1*P(X=0)+e*P(X=1)=1-\pi+\pi*e$. [/mm]


Alternativ: Es ist

      [mm] $M_X(t):=E(e^{t*X})=1-\pi*t+\pi*e^t$ [/mm] (Momentenerzeugende Funktion),

also erhalten wir für [mm] $t=1\$ [/mm] sofort

      [mm] $E(e^X)=1-\pi+\pi*e$.[/mm]

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:02 Sa 29.08.2015
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> X sei B(1,pi) verteilt (Bernoulli verteilt).

Ich kenne deine Nomenklatur nicht, aber nachdem, was ich kenne, ist diese B(n,p). Das würde bedeuten, dass es nur einen "Münzwurf" mit einer "Erfolgs"-Wahrscheinlichkeit von [mm] \pi [/mm] > 1 gibt......????



Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Sa 29.08.2015
Autor: DieAcht

Hallo HJKweseleit!


> > X sei B(1,pi) verteilt (Bernoulli verteilt).
>  
> Ich kenne deine Nomenklatur nicht, aber nachdem, was ich
> kenne, ist diese B(n,p).

Richtig. Sie definieren [mm] $\pi:=p$ [/mm] und in diesem Fall ist [mm] $n=1\$, [/mm] also
der Spezialfall der Binomialverteilung, denn damit ergibt sich
die Bernoulli-Verteilung. Es ist

      [mm] $B(1,p)\sim\text{Ber}_{p}$. [/mm]

(Oder nach der Notation oben:

      [mm] $B(1,\pi)\sim\text{Ber}_{\pi}$.) [/mm]

> Das würde bedeuten, dass es nur
> einen "Münzwurf" mit einer "Erfolgs"-Wahrscheinlichkeit
> von [mm]\pi[/mm] > 1 gibt......????

Nein, hier ist nicht die Kreiszahl gemeint. ;-)


Gruß
DieAcht

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