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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungswert
Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert: "Tipp", "Korrektur"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Mi 14.12.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Zeigen Sie die folgende Minimaleigenschaft des Erwartungswertes einer (endlichen) Zufallsvariable X:

$ [mm] EX=argmin_{a\in \IR} E(X-a)^{2} [/mm] $

HINWEIS: Verwenden Sie Methoden der Differentialrechnung

Hallo!

Ich wollte mal kurz meinen Lösungsansatz angeben und fragen ob dieser so weit stimmt.

Wie im Hinweis ja schon gegeben nutze ich die Differentialrechnung:

Sei f(x) eine diff'bare Funktion mit:

$ [mm] f(x)=\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)^{2} [/mm] $

$ [mm] \bruch{d}{da}f(x)=2*\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a) [/mm] $

Es soll gelten:

$ [mm] \bruch{d}{da}f(x))=0 \gdw 0=\summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] a = [mm] nX_{n}-na \gdw X_{n}=a [/mm] $

So weit so gut, nur wie komme ich denn damit auf die folgende Aussage? Im Grunde habe ich ja nur gezeigt, dass ein Minimum an dieser Stelle ist (da eine nach oben geöffnete Parabel).
Daher bräuchte ich dafür ja noch eine Folgerung, oder?

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 14.12.2016
Autor: HJKweseleit


> Zeigen Sie die folgende Minimaleigenschaft des
> Erwartungswertes einer (endlichen) Zufallsvariable X:
>  
> [mm]EX=argmin_{a\in \IR} E(X-a)^{2}[/mm]
>  
> HINWEIS: Verwenden Sie Methoden der Differentialrechnung
>  Hallo!
>  
> Ich wollte mal kurz meinen Lösungsansatz angeben und
> fragen ob dieser so weit stimmt.
>
> Wie im Hinweis ja schon gegeben nutze ich die
> Differentialrechnung:
>  
> Sei f(x) eine diff'bare Funktion mit:
>
> [mm]f(\red{a})=\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)^{2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{d}{da}f(\red{a})=2*\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)[/mm]
>  
> Es soll gelten:
>
> [mm][mm] \bruch{d}{da}f(x))=0 \gdw 0=\summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] a [ok](bis hier) = [mm] \summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] - na

[mm] \gdw [/mm] a= [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] = E(X).


Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:30 Do 15.12.2016
Autor: Chris84


> > Zeigen Sie die folgende Minimaleigenschaft des
> > Erwartungswertes einer (endlichen) Zufallsvariable X:
>  >  
> > [mm]EX=argmin_{a\in \IR} E(X-a)^{2}[/mm]
>  >  
> > HINWEIS: Verwenden Sie Methoden der Differentialrechnung
>  >  Hallo!
>  >  
> > Ich wollte mal kurz meinen Lösungsansatz angeben und
> > fragen ob dieser so weit stimmt.
> >
> > Wie im Hinweis ja schon gegeben nutze ich die
> > Differentialrechnung:
>  >  
> > Sei f(x) eine diff'bare Funktion mit:
> >
> > [mm]f(\red{a})=\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)^{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]\bruch{d}{da}f(\red{a})=2*\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)[/mm]

Wenn man nach $a$ ableitet, muss da natuerlich

[mm] $\frac{d}{da}f(a)=-2\cdot\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)$ [/mm]

stehen (was aber nichts am Endergebnis aendert ^^ ).

>  >  
> > Es soll gelten:
> >
> > [mm][mm]\bruch{d}{da}f(x))=0 \gdw 0=\summe_{i=1}^{n} X_{i}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] a [ok](bis hier) = [mm]\summe_{i=1}^{n} X_{i}[/mm] - na

[mm]\gdw[/mm] a= [mm]\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n} X_{i}[/mm] = E(X).
  


Bezug
        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Do 15.12.2016
Autor: luis52

Mit Verlaub, deine Loesung ist ziemlicher Murks.

Zunaechst einmal: Was ist eine *endliche* Zufallsvariable? Ich *vermute*, dass es sich um eine diskret verteilte Zufallsvariable handelt mit [mm] $P(X=x_1)+\dots+P(X_n=x_n)=1$ [/mm] fuer geeignet gewaehlte [mm] $x_1,\dots,x_n$. [/mm] Jetzt gilt es [mm] $\operatorname{E}[(X-a)^2]=\sum_{i=1}^n(x_i-a)^2P(X=x_i)$ [/mm] bzgl. $a_$ zu minimieren.

Bezug
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