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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungswert
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Erwartungswert: Verständnis Lösungsweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Fr 01.03.2019
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Im Erdgeschoss eines n-stöckigen Gebäudes betreten m Personen den Fahrstuhl. Jede Person Jede Person steige unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] in jedem der n Stockwerke aus. Der Fahrstuhl halte X.mal. Man berechne den Erwartungswert E(X)

Hallo liebe Mitglieder,

hier geht es um die Verständnis des Lösungswegs. Mein Ansatz: Es gilt allgemein
[mm] E(X)=\summe_{i}^{}x_{i}*f(x_{i}). [/mm] Also
[mm] E(X)=\summe_{i=1}^{n}i*\bruch{m}{n}. [/mm]

Musterlösung:
[mm] A_{i}={}Fahrstuhl [/mm] hält in i-tem Stock.
[mm] X=\summe_{i=1}^{n}1_{A_{i}}. [/mm] Was ist [mm] 1_{A_{i}} [/mm] ? Was besagt dieser Ausdruck ?
[mm] \Rightarrow E(X)=\summe_{i=1}^{n}P(A_{i})=n*P(A_{1})=n*[1-P(\overline{A_{1}})]=n*[1-(\bruch{n-1}{n})^{m}]. [/mm]

Ich versteh nicht wieso man hier die Gegenwahrscheinlichkeit benutzt. Man weiß dochm dass [mm] P(A_{1})=m*\bruch{1}{n} [/mm]

        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Sa 02.03.2019
Autor: HJKweseleit

Ob der Fahrstuhl in Stockwerk i hält, hängt davon ab, ob irgendjemand dort aussteigen will. Es können dort aber auch 2, 3, ..., alle m Personen aussteigen wollen, und man müsste dies für ganz viele Mgl. betrachten. Deshalb geht man zur Gegenw. über:

Der Fahrstuhl hält nicht in Stockwerk i an, wenn dort niemand aussteigen will. Die W., dass Person 1 dort  aussteigen will, ist 1/n, dass sie dort nicht aussteigen will, somit 1 - 1/n. Die W., dass von den m Personen niemand dort aussteigen will, ist somit [mm] (1-1/n)^m. [/mm] Damit wird nun die W., dass doch jemand im i-ten Stock aussteigen will, zu [mm] 1-(1-1/n)^m. [/mm]

Nun ist dein [mm] x_i [/mm] = 1 (und nicht i! - Fahrstuhl hält, wenn er hält, einmal) und in der Lösungsformel die 1 vor dem [mm] A_i, [/mm] dein [mm] f(x_i) [/mm] ist das [mm] A_i= 1-(1-1/n)^m [/mm]  in der Lösungsformel.


Bemerkung 1:
Deine Lösungsformel kann nicht richtig sein. Stell dir vor, es gibt 12 Stockwerke, und es steigen jedesmal 15 Personen in den Fahrstuhl. Dann gibt deine Formel an, dass der Fahrstuhl 1*15/12+2*15/12+...+12*15/12 = 78*15/12=97,5 mal pro Ereignis hält.
Selbst wenn du das i hinter dem Summenzeichen weglässt, würde der Fahrstuhl 12*15/12=15 mal anhalten, und das bei 12 Stockwerken.

Bemerkung 2:
Auch meine und die angegebene Musterlösung scheinen mir nicht ganz richtig zu sein, denn die Tatsache, dass irgendwo mehr oder weniger Leute aussteigen, beeinflusst den weiteren Verlauf des Vorganges und damit auch die W.
Ich werde darüber noch mal nachdenken und mich melden, falls ich die Lösung korrigieren muss.

Bezug
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