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| Aufgabe | Ein Hausmeister hat einen Schlüsselbund mit fünf nahezu gleich aussehenden Schlüssel. Er will eine Tur aufschließen, in deren Schloss genau einer der Schlüssel passt. Er probiert zufällig
einen der funf Schlüssel aus und hoff t, dass es der richtige ist. Ist es nicht der richtige, probiert er zufällig einen der übrigen vier Schlussel usw.
a) Wieviele Versuche wird der Hausmeister im Mittel machen mussen, um den richtigen
Schlüssel zu fi nden? Wählen Sie eine geeignete Zufallsvariable und bestimmen Sie zunächst ihre Verteilung (in Form der Dichtefunktion). Hierfur kann ein Baumdiagramm hilfreich sein.
b) Verallgemeinern Sie Ihre Aussage aus a) auf n Schlüssel! |
Hallo Leute,
Sei X meine Zufallsvariable für die Anzahl der Versuch bis der Hausmeister den richtigen Schlüssel gefunden hat.
X hat also den Wertebereich von 1 bis 5
Dann habe ich die P(X=1), ...., P(X=5) mit Hilfe des Baumsdiagramms ausgerechnet.
Mir ist nun aufgefallen das X gleichverteilt ist und immer 20% beträgt und der Erwartungswert bei 3 liegt. Wieso liegt er genau bei 3 wenn es gleichverteilt ist? Es könnte doch auch bei 1 liegen und es würde sich nichts ändern an der Auftriffswahrscheinlichkeit um den richtigen Schlüssel gefunden zuhaben?!
Oder habe ich mich gewaltig verrechnet?
b) Der E(X) für n-Schlüssel am Bund beträgt [mm] \bruch{1}{n}*100 [/mm]
Stimmt das so?
Viele Grüße, die BeeRe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Beere,
> Ein Hausmeister hat einen Schlüsselbund mit fünf nahezu
> gleich aussehenden Schlüssel. Er will eine Tur
> aufschließen, in deren Schloss genau einer der
> Schlüssel passt. Er probiert zufällig
> einen der funf Schlüssel aus und hoff t, dass es der
> richtige ist. Ist es nicht der richtige, probiert er
> zufällig einen der übrigen vier Schlussel usw.
>
> a) Wieviele Versuche wird der Hausmeister im Mittel machen
> mussen, um den richtigen
> Schlüssel zu fi nden? Wählen Sie eine geeignete
> Zufallsvariable und bestimmen Sie zunächst ihre
> Verteilung (in Form der Dichtefunktion). Hierfur kann ein
> Baumdiagramm hilfreich sein.
> b) Verallgemeinern Sie Ihre Aussage aus a) auf n
> Schlüssel!
> Hallo Leute,
>
> Sei X meine Zufallsvariable für die Anzahl der Versuch bis
> der Hausmeister den richtigen Schlüssel gefunden hat.
> X hat also den Wertebereich von 1 bis 5
>
> Dann habe ich die P(X=1), ...., P(X=5) mit Hilfe des
> Baumsdiagramms ausgerechnet.
>
> Mir ist nun aufgefallen das X gleichverteilt ist und immer
> 20% beträgt und der Erwartungswert bei 3 liegt. Wieso
> liegt er genau bei 3 wenn es gleichverteilt ist? Es könnte
> doch auch bei 1 liegen und es würde sich nichts ändern an
> der Auftriffswahrscheinlichkeit um den richtigen Schlüssel
> gefunden zuhaben?!
>
> Oder habe ich mich gewaltig verrechnet?
Nein, richtig gerechnet.Aber wieso sollte der Erwartungswert bei 1 liegen? Mal brauch er viele Versuche, manchmal wenige. Da alle gleichwahrscheinlich, sind im Mittel halt,... den Mittelwert.
>
> b) Der E(X) für n-Schlüssel am Bund beträgt
> [mm]\bruch{1}{n}*100[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein. Ich weiss nicht, wie du auf die 100 kommst, aber so es stimmt nicht.
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> Viele Grüße, die BeeRe
>
LG walde
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Jap danke!
also gut, dann probiere ich nochmal b)
X sei wieder die Anzahl der Versuche bis ich den richtigen Schlüssel finde
bei n Schlüssel am Bund errechnet sich dann mein Erwartungswertswert so
[mm] E(X)=\summe_{i=1}^{n}i*P(X=i)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{n}
[/mm]
Ist das so besser?
Lg, die BeeRe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Walde |
> Jap danke!
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> also gut, dann probiere ich nochmal b)
>
> X sei wieder die Anzahl der Versuche bis ich den richtigen
> Schlüssel finde
>
> bei n Schlüssel am Bund errechnet sich dann mein
> Erwartungswertswert so
>
> [mm]E(X)=\summe_{i=1}^{n}i*P(X=i)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{n}[/mm]
>
> Ist das so besser?
Viel besser. Noch etwas schöner geschrieben:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{n}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}i [/mm] und die Summe der ersten n natürlichen Zahlen [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] kann man noch vereinfachen...
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> Lg, die BeeRe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Blaub33r3 |
Super vielen Dank^^!
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