Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:21 So 20.02.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen!
Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit [mm] $S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i [/mm] $ Die Verteilung [mm] $P^{X_i}$sei $\mu_i$
[/mm]
Warum gilt dann:
[mm] \int 1_{\{S_n\ge0\}}dP^{S_n}=\int ...\int 1_{\{\sum_{i=1}^{n}x_i\ge 0\}}\mu_1(dx_1)...\mu_n(dx_n)
[/mm]
?
Ich weiß (denke ich zumindest ;)) dass in diesem Fall gilt: (Hier ist jetzt als erstes die Faltung gemeint [mm] P^{S_n}=P^{X_1}P^{X_2}*...*P^{X_n} [/mm]
=([mm](P^{X_1} \otimes P^{X_2} \otimes...\otimes P^{X_n})^{A_n}[/mm] mit [mm] A_n: (x_1,x_2,..,x_n)\to x_1+x_2+...+x_n
[/mm]
Dann muss man garantiert mit dem Satz von Fubini weitermachen. Aber ich bekomms nicht hin. Oder wie macht man das?
VG
Fry
</font>
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 So 20.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] (P^{X_1} \otimes P^{X_2} \otimes...\otimes P^{X_n})^{A_n} [/mm] $ mit $ [mm] A_n: (x_1,x_2,..,x_n)\to x_1+x_2+...+x_n [/mm] $
habt Ihr die Schreibweise näher erläutert? Das Produktmaß weißt einer Teilmenge von [mm] $\Omega_1\times\ldots\times\Omega_n$ [/mm] (genauer einem Element der dazugehörigen [mm] $\sigma$-Algebra) [/mm] eine Zahl aus $[0,1]$ zu. Während intuitiv klar ist, was gemeint ist, sehe ich keinen einfachen Weg, es mit der Summenabbildung zu verknüpfen.
Zu Deinem Problem:
allgemein gilt für eine [mm] $\IR^d$-wertige [/mm] ZV Z
[mm] $P^Z(A)=P(\{Z\in A\}).$
[/mm]
($Z: [mm] \Omega\to\IR^d$, [/mm] dann ist [mm] $A\subseteq\IR^d$ [/mm] und [mm] $\{Z\in A\}=\{\omega\ |\ Z(\omega)\in A\}\subseteq\Omega$. [/mm] Die Details sind nicht so wichtig; nur immer im Hinterkopf behalten, daß [mm] $P^Z$ [/mm] und P auf unterschiedlichen Räumen operieren)
$X+Y$ ist eine [mm] $\IR$-wertige [/mm] und $(X,Y)$ eine [mm] $\IR^2$ [/mm] wertige ZV, wir können also die Identität von eben zweimal anwenden:
[mm] $\int_A\ dP^{X+Y} [/mm] = [mm] P^{X+Y}(A)=P(\{X+Y\in A\})=P(\{(X,Y)\in\{x+y\in A\}\})=P^{X,Y}(\{x+y\in A\})$
[/mm]
und [mm] $P^{X,Y}$ [/mm] kannst Du zerlegen, weil X und Y unabhängig sind.
In Deinem Fall mußt Du das ganze jetzt noch für mehr als 2 Summanden verallgemeinern (einfach das oben entsprechend umschreiben. Sollte leichter sein als Induktion)
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 13:33 Mo 21.02.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Stefan.
Vielen Dank für deine Antwort!
Aber wie kann man denn
[mm] $P^{X,Y}(\{x+y\in A\})$ [/mm] zerlegen?
Habs jetzt so gemacht:
[mm] $\int_A\ dP^{X+Y} [/mm] = [mm] P^{X+Y}(A)=P(X+Y\in A)=P(\{(X,Y)\in\{x+y\in A\}\})=P^{X,Y}(x+y\in A)=(P^X\otimes P^Y)(\{(x,y)\in\IR^2, x+y\in A\})=\int 1_{\{x+y\in A\}}(P^X\otimes P^Y)d(x,y)=\int\int 1_{\{x+y\in A\}}P^X(dx)P^Y(dy)
[/mm]
Stimmt das?
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 08.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 21.02.2011 | | Autor: | Fry |
Noch eine Frage:
Wie kann ich mir denn noch erklären, dass
[mm] \int 1_{\{S_n\ge0\}}e^{-S_n}dP^{S_n}=\int ...\int 1_{\{\sum_{i=1}^{n}x_i}\ge 0\}e^{-\sum_{i=1}^{n}x_i}\mu_1(dx_1)...\mu_n(dx_n)
[/mm]
Hier versagt ja die Argumentation von Stefan, oder?
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mo 21.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Noch eine Frage:
> Wie kann ich mir denn noch erklären, dass
>
> [mm]\int 1_{\{S_n\ge0\}}e^{-S_n}dP^{S_n}=\int ...\int 1_{\{\sum_{i=1}^{n}x_i}\ge 0\}e^{-\sum_{i=1}^{n}x_i}\mu_1(dx_1)...\mu_n(dx_n)[/mm]
Die Notation ist m.E. nicht ganz exakt. Daraus erklären sich möglicherweise die Schwierigkeiten:
[mm] S_n [/mm] bezeichnet eine meßbare Abbildung eines W-Raumes in die reellen Zahlen
[mm] S_n:(\Omega,\mathcal{A}, P)\to (\IR,\mathcal{B}(\IR),P^{S_n})
[/mm]
wobei [mm] P^{S_n} [/mm] das Bildmaß von P unter [mm] S_n [/mm] ist.
Anstatt [mm] \int 1_{\{S_n\ge0\}}e^{-S_n}dP^{S_n} [/mm] würde ich lieber
[mm] \int 1_{\IR_0^+}(s)e^{-s}dP^{S_n}(s) [/mm] oder noch lieber [mm] \int 1_{\{S_n\ge0\}}e^{-S_n}dP [/mm] schreiben wollen. Dann ergibt sich mit dem Übergang zum Bildmaß in ganz natürlicher Weise (mit [mm] \Sigma [/mm] als der Funktion, die einer entsprechenden Anzahl von unabhängigen Variablen ihre Summe zuordnet)
[mm] \int{1_{\{\Sigma\circ X\in B\}}*e^{-\Sigma\circ X}dP}=\int{(1_B\circ\Sigma\circ X)*e^{-\Sigma\circ X}dP}=\int{(1_B\circ\Sigma)*e^{-\Sigma}dP^X}=\int...\int1_{\{\Sigma\in B\}}*e^{-\Sigma} dP^{X_1}...dP^{X_n}
[/mm]
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:48 Di 22.02.2011 | | Autor: | Fry |
Vielen, vielen Dank euch beiden für die Erleuchtung!
@gfm: Ja, hab da wieder Bildmaß und Wmaß durcheinander geschmissen. Stehe etwas auf Kriegsfuß mit den Maßintegralen ;)
Danke!
VG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:11 Do 24.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Hier versagt ja die Argumentation von Stefan, oder?
Nö tut sie nicht, weil das Lebesgue-Integral über unendliche Folgen einfacher Funktionen (d.h. Summen von Indikatorfunktionen) definiert ist. =)
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 21.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo zusammen!
>
> Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] stochastisch unabhängige
> Zufallsvariablen mit [mm]S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm] Die Verteilung
> [mm]P^{X_i}[/mm]sei [mm]\mu_i[/mm]
>
>
> Warum gilt dann:
>
>
> [mm]\int 1_{\{S_n\ge0\}}dP^{S_n}=\int ...\int 1_{\{\sum_{i=1}^{n}x_i\ge 0\}}\mu_1(dx_1)...\mu_n(dx_n)[/mm]
>
> Ich weiß (denke ich zumindest ;)) dass in diesem Fall
> gilt: (Hier ist jetzt als erstes die Faltung gemeint
> [mm]P^{S_n}=P^{X_1}P^{X_2}*...*P^{X_n}[/mm]
>
>
> =([mm](P^{X_1} \otimes P^{X_2} \otimes...\otimes P^{X_n})^{A_n}[/mm]
> mit [mm]A_n: (x_1,x_2,..,x_n)\to x_1+x_2+...+x_n[/mm]
>
> Dann muss man garantiert mit dem Satz von Fubini
> weitermachen. Aber ich bekomms nicht hin. Oder wie macht
> man das?
Ich weiß nicht, bis in welche "Tiefen" hinab Du eine Begründung suchst. Deswegen:
Das Produktmaß [mm] \mu:=\otimes\mu_i:\mathcal{A}:=\otimes\mathcal{A}_i\to[0,1] [/mm] für den Fall endlich vieler Maßräume [mm] (\Omega_i,\mathcal{A}_i,\mu_i) [/mm] ist durch die Vorgabe auf den "Rechtecken" [mm] \times A_i [/mm] aus [mm] \times\mathcal{A}_i [/mm] und der [mm] \sigma\mbox{-Endlichkeit} [/mm] aller Maße eindeutig bestimmt.
Für jede integrierbare [mm] \IR\mbox{-} [/mm] oder [mm] \IC\mbox{-wertige} [/mm] Funktion f auf vorstehendem [mm] (\Omega^{(n)}:=\times\Omega_i,\mathcal{A},\mu) [/mm] und jede Permutation [mm] \pi [/mm] gilt
[mm] \integral_{\Omega_{\pi(1)}}...\integral_{\Omega_{\pi(n)}}fd\mu_{\pi(1)}...d\mu_{\pi(n)}=\integral_{\Omega^{(n)}} fd\mu [/mm] (Fubini)
Die [mm] X_i:(\Omega,\mathacl{A},P)\to (\IR,\mathcal{B}(\IR)) [/mm] seien ZVn. Dann ist die Abbildung [mm] X:=\otimes_{i=1}^n X_i:(\Omega,\mathacl{A},P)\to (\IR,\mathcal{B}(\IR^n)\equiv\otimes_{i=1}^n\mathcal{B}(\IR)) [/mm] auch ZV.
Die gemeinsame Verteilung [mm] P^X [/mm] ist durch [mm] P(\{X\in B\}) [/mm] für alle [mm] B\in\mathcal{B}(\IR^n) [/mm] definiert und stimmt wegen der Unabhängigkeit auf "Rechteckmengen" mit dem Produktmaß der Einzelverteilungen überein. Da das Produktmaß eindeutig bestimmt ist und andererseits die gemeinsame Verteilung als eindeutige Fortsetzung verstanden werden kann, muss das Produktmaß mit der gemeinsamen Verteilung identisch sein:
[mm] P^{\otimes X_i}=\otimes P^{X_i}
[/mm]
Nun ist [mm] \Sigma:(\IR^n,\mathcal{B}(\IR^n),P^X)\to\IR;\omega:=(\omega_1,...,\omega_n)\mapsto \Sigma(\omega):=\summe_{i=1}^n \omega_i [/mm] ist eine ZV und [mm] S_n=\Sigma\circ [/mm] X.
Allgemein kann man schreiben [mm] P(\{Z\in B\})=\integral 1_{\{Z\in B\}}dP=\integral 1_B dP^Z [/mm] und damit auch
[mm] \integral1_{\{S_n\in B\}}dP=P(\{S_n\in B\})=P(\{\Sigma\circ X\in B\})=P(\{X\in\Sigma^{-1}(B)\})=P^X(\Sigma^{-1}(B))=P^X(\{\Sigma\in B\})=\otimes\\P^{X_i}(\{\Sigma\in B\})=\integral1_{\{\Sigma\in B\}}d\\\otimes\\P^{X_i}
[/mm]
[mm] =\integral...\integral1_{\{\Sigma\in B\}}dP^{X_1}...dP^{X_n} [/mm]
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 07.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
