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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 28.04.2011 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Sei $X$ eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] $\IN_0$. [/mm] Zeige, dass gilt:
$$
E(X) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X > k)
$$ |
Hallo Mathefreunde,
ich denke mein Ansatz geht so klar, aber ich würde gern wissen, ob es eleganter geht 
$$
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X > k)
= P(X > 0) + P(X > 1) + P(X > 2) + P(X > 4) + [mm] \ldots\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] P(X = k) [mm] +\sum_{k=2}^{\infty} [/mm] P(X = k) [mm] +\sum_{k=3}^{\infty} [/mm] P(X = k) [mm] +\sum_{k=4}^{\infty} [/mm] P(X = k) + [mm] \ldots\\
[/mm]
= P(X = 1) + 2 [mm] \cdot \sum_{k=2}^{\infty} [/mm] P(X = k) [mm] +\sum_{k=3}^{\infty} [/mm] P(X = k) [mm] +\sum_{k=4}^{\infty} [/mm] P(X = k) + [mm] \ldots\\
[/mm]
= P(X = 1) + 2 [mm] \cdot [/mm] P(X = 2) + 3 [mm] \cdot \sum_{k=3}^{\infty} [/mm] P(X = k) [mm] +\sum_{k=4}^{\infty} [/mm] P(X = k) + [mm] \ldots \\
[/mm]
= [mm] \ldots\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] k [mm] \cdot [/mm] P(X = [mm] k)\\
[/mm]
= E(X)
$$
Viele Grüße und ein Dankeschön im Voraus
jboss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Do 28.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich kann mich noch an die Aufgabe erinnern - die wurde im Tutorium genau so an Tafel vorgerechnet und als Musterlösung, da schönster/kürzester Weg, präsentiert.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 28.04.2011 | | Autor: | jboss |
Coole Sache! Danke
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