Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 26.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Wie lautet der Erwartungswert einer quadratischen Form $U^{T}AU$, wobei $A$ eine quadratische, symmetrische Matrix ist und $U=(U_1,...,U_n)$ mit $U_1,...,U_n$ identisch verteilt und unabhängig mit $E(U_i)=\mu$. |
Kann es sein, daß
$E\left(U^TAU)=\text{spur}(A)\cdot \sigma^2$ ist?
(Wobei $\sigma^2$ die Varianz sein soll.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 So 27.11.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 27.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Diese Seite hatte ich auch schon gefunden, aber leider verstehe ich das nicht so gut.
Da steht:
[mm] $E(Y^{T}AY)=\text{spur}(AK_{YY})+\mu_Y^TA\mu_Y$
[/mm]
Wir hatten:
[mm] $E(U^TAU)=\text{spur}A\cdot M_2$ [/mm] mit [mm] M_2=E(U_i^2)$.
[/mm]
So richtig schlau werde ich daraus nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 27.11.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
auf der Seite sind die [mm]Y_i[/mm] nicht notwendigerweise unabhängig.
Daher der Unterschied.
Wenn Du auf der Seite zusätzlich unabhängigkeit zugrunde legst und es durchrechnest deckt sich das Ergebnis mit deinem.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 27.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das möchte ich gerne näher wissen:
Was ist, wenn man von der Unabhängigkeit ausgeht:
a) [mm] $\text{spur}(AK_{YY})$?
[/mm]
Also [mm] $K_{YY}=\text{Var}(Y)=\sigma^2$, [/mm] oder?
Also: [mm] $\text{spur}(AK_{YY})=$\text{spur}(A)\cdot\sigma^2$?
[/mm]
b) Doch wie berechnet man in diesem Fall [mm] $\mu_Y^TA\mu_Y$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 27.11.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> Also [mm]K_{YY}=\text{Var}(Y)=\sigma^2[/mm], oder?
[mm]K_{YY}=\text{CovVar}(Y)[/mm]
ist eine Matrix auf der Diagonale stehen die Varianzen der [mm]Y_i[/mm] ansonsten die jeweiligen CovVar.
Bei Unabhängigkeit sind die CovVar alle Null.
Die Varianzen auf der Diagonale entsprechen (falls die [mm] Y_i [/mm] identisch verteilt mit Erwartungswert [mm]\mu[/mm])
[mm]E(Y_i^2)-\mu^2[/mm]
kommst Du weiter ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 27.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das bedeutet [mm] $K_{YY}$ [/mm] ist dann eine Matrix, die nur auf der Diagonalen Einträge hat und ansonsten Nullen?
Und dann berechnet man das Produkt [mm] $AK_{YY}$ [/mm] und nimmt davon die Spur.
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Nehmen wir mal an:
Seien [mm] $Y_1,...,Y_n$ [/mm] i.i.d. mit [mm] $E(Y_i)=0$.
[/mm]
Dann hätte man
[mm] $\text{spur}(AK_{YY})=\text{spur}(A)\cdot E(Y_i^2)$?
[/mm]
Und der zweite Summand, also [mm] $\mu_Y^TA\mu_Y$ [/mm] wäre hier 0, weil
[mm] $\mu_Y^T=(0,....,0)$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 27.11.2011 | | Autor: | vivo |
richtig! Aber es kommt natürlich auch für
[mm]E(Y) \neq (0, ... ,0)^T[/mm] das richtige raus!
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 27.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Dann kann ich jetzt zu meiner eigentlichen Frage kommen. 
Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] i.i.d. mit [mm] $E(X_i)=\mu, \text{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty$.
[/mm]
Dann gilt für
[mm] $\hat\sigma^2(X_1,...,X_n)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$, [/mm] daß
[mm] $E(\hat\sigma^2)=\sigma^2$.
[/mm]
So, also was ich weiß (was und gesagt wurde) ist, daß
[mm] $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$ [/mm] eine quadratische Form ist, und zwar so:
[mm] $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=X^TAX$, [/mm] wobei
[mm] $A=(a_{ij})_{i,j=1,...,n}$ [/mm] gegeben durch
[mm] $a_{ij}=\delta_{ij}-\frac{1}{n}$ [/mm] (Kronecker-Delta).
Und hierfür müsste ich das alles doch jetzt anwenden können??
Was ist hier denn
[mm] $\text{spur}(AK_{XX})$?
[/mm]
Also auf der Diagonalen von [mm] $K_{XX}$ [/mm] steht dann jeweils [mm] $E(X_i^2)-\mu^2$. [/mm] Und die Matrix A sieht so aus, daß auf der Diagonalen die Einträge [mm] $1-\frac{1}{n}$ [/mm] sind und sonst sind die Einträge [mm] $-\frac{1}{n}$.
[/mm]
Aber was ist hier [mm] $\mu_X^TA\mu_X$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 27.11.2011 | | Autor: | vivo |
na, dass brauchst du doch nur noch ausrechnen!
[mm]\mu_X^T=(\mu, ... ,\mu)[/mm]
da alle den selben Erwartungswert !
was gibt dann
[mm]\mu_X^T A \mu_X[/mm]
(zur Kontrolle: es gibt 0)
so, was gibt jetzt [mm] spur(AK_{XX}) [/mm] auch einfach ausrechnen!
(Kontrolle: [mm]\sigma^2 (n-1)[/mm]
also alles richtig!
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