Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Lena2327 |
| Aufgabe | Der seit mehr als 50 Jahren weithin bekannte Käse Babble wird u.a. als Mini Babble in Netzen mit jeweils 6 Stück a 20 Gramm abgepackt. Im Har 2007 enthielten diese Netze jeweils 3 Magnetbuchstaben zum Sammeln. Man kann davon ausgehen, dass alle Buchstaben mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftraten.
Aufgabe 3)
Da seine Familie ganz verrückt auf die kleinen Käsesnacks war und ohnehin eine Feier anstand, brachte Herr Sander bei seinem nächsten Einkauf 19 Netze mit. Seine Tochter legte alle Buchstaben auf den Tisch und zählte 51 Konsonanten. Herr Sander war enttäuscht, weil mit so vielen Konsonanten nur wenige Wörter gelegt werden können, und er entschloss sich, den Marktleiter darauf anzusprechen. Beurteilen sie die Abweichung von der erwarteten Anzahl von Konsonanten.
Aufgabe 4)
"Ich möchte endlich meinen Namen schreiben", rief seine Tochter begeistert: IRENE
"Die Konsonanten kann ich tauschen, aber das E ist heiß begehrt", meinte Herr Sander zu seiner Tochter. Ermitteln sie rechnerisch, wie teuer es Herr Sander zu stehen kam, wenn er durch den Kauf entsprechend vieler Netze den Wunsch seiner Tochter mit mindestens 90%iger Sicherheit erfüllen möchte. |
Bei Aufgabe drei muss man ja erst den Erwartungswert für die 57 Buchstaben herausfinden und dann die Standardabweichung heraus zu finden, ich weiß wie man den Erwartungswert für mindestens ein E herausfindet aber nicht für mindestens 2 e.
Bei Aufageb vier hat mir meine Lehrerin folgende Formel gegeben:
[mm] 1-\bruch{25}{26}^n-1 [/mm] * [mm] \bruch{1}{26}*n-\bruch{25}{26}^n [/mm] >= 0,9
Ich verstehe den Teil mit 1/26*n nicht und weiß auch nicht wie man die Formel nach n umstellt. Ich weiß das das Ergebnis für n = 100 ist, weil ich eingesetzt habe, aber ich kann keinen richtigen Lösungsweg nachweisen.
Danke schon einmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Der seit mehr als 50 Jahren weithin bekannte Käse Babble
> wird u.a. als Mini Babble in Netzen mit jeweils 6 Stück a
> 20 Gramm abgepackt. Im Har 2007 enthielten diese Netze
> jeweils 3 Magnetbuchstaben zum Sammeln. Man kann davon
> ausgehen, dass alle Buchstaben mit der gleichen
> Wahrscheinlichkeit auftraten.
>
> Aufgabe 3)
> Da seine Familie ganz verrückt auf die kleinen
> Käsesnacks war und ohnehin eine Feier anstand, brachte
> Herr Sander bei seinem nächsten Einkauf 19 Netze mit.
> Seine Tochter legte alle Buchstaben auf den Tisch und
> zählte 51 Konsonanten. Herr Sander war enttäuscht, weil
> mit so vielen Konsonanten nur wenige Wörter gelegt werden
> können, und er entschloss sich, den Marktleiter darauf
> anzusprechen. Beurteilen sie die Abweichung von der
> erwarteten Anzahl von Konsonanten.
>
> Aufgabe 4)
> "Ich möchte endlich meinen Namen schreiben", rief seine
> Tochter begeistert: IRENE
> "Die Konsonanten kann ich tauschen, aber das E ist heiß
> begehrt", meinte Herr Sander zu seiner Tochter. Ermitteln
> sie rechnerisch, wie teuer es Herr Sander zu stehen kam,
> wenn er durch den Kauf entsprechend vieler Netze den Wunsch
> seiner Tochter mit mindestens 90%iger Sicherheit erfüllen
> möchte.
> Bei Aufgabe drei muss man ja erst den Erwartungswert für
> die 57 Buchstaben herausfinden und dann die
> Standardabweichung heraus zu finden, ich weiß wie man den
> Erwartungswert für mindestens ein E herausfindet aber
> nicht für mindestens 2 e.
Hm, ich weiß nicht, was du da weißt (und was hätte ![[]](/images/popup.gif) Sokrates dazu gesagt?  ). Also es gibt keinen Erwartungswert für 57 Buchstaben, sondern es gibt Erwartungswerte für Zufallsvariablen. Definitiv geht es hier um die erwartete Anzahl an Konsonanten (also in Aufgabe 3). Von daher solltest du jetzt einfach die Wahrscheinlichkeit P(X=51) ausrechnen, so wie ich die Aufgabe verstehe (X: Anzahl der Konsonanten).
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> Bei Aufageb vier hat mir meine Lehrerin folgende Formel
> gegeben:
>
[mm]1-\bruch{25}{26}^n-1 *\bruch{1}{26}*n-\bruch{25}{26}^n>=0.9[/mm]
>
> Ich verstehe den Teil mit 1/26*n nicht und weiß auch nicht
> wie man die Formel nach n umstellt.
Ich verstehe diese Formel auch nicht. Zum einen hast du sie völlig unleserlich notiert (sind da im Original irgendwelche Klammern?) und auch wenn ich mir Klammern dazudenke, will das für mich keinen Sinn ergeben.
Definitiv kann man über obige Gleichung eines sagen: die bekommst du nicht per Hand nach n aufgelöst, aus dem einfachen Grund weil dies überhaupt nicht möglich ist (die Variable steht sowohl in der basis als auch im Exponenten!).
> Ich weiß das das
> Ergebnis für n = 100 ist, weil ich eingesetzt habe, aber
> ich kann keinen richtigen Lösungsweg nachweisen.
Sollte die obige Formel doch in der einen oder anderen Weise stimmen, dann wird man hier sicherlich die Lösung per GTR akzeptieren und es wäre kein Lösungsweg erforderlich.
Meiner Ansicht nach muss man einfach für eine binomialverteilte Zufallsvariable X (X: Anzahl an E's) die Ungleichung
[mm] P(X\ge{2})\ge{0.9}
[/mm]
nach n auflösen, und auch dies wird dir nicht von Hand gelingen, sondern nur per GTR. Kurz und knapp sieht die Rechnung bei mir so aus:
[mm]P(X\ge{2})=1-P(X<2)=1-P(X\le{1})=1-\left(\underbrace{\left(\bruch{25}{26}\right)^n}_{P(X=0)}+\underbrace{n*\left(\bruch{1}{25}\right)*\left(\bruch{25}{26}\right)^{n-1}}_{P(X=1)}\right)\ge{0.9}[/mm]
Das könnte jetzt schon das sein, was deine Lehrerin dir gegeben hat, aber du wirst mir zugeben müssen, dass unsere Versionen geringfügig voneinander abweichen.
Mache folgendes: Definiere mit deinem GTR eine Funktion mit dem linken Term der Ungleichung als Funktionsterm. Berechne eine Wertetabelle und schaue nach, für welches n die Funktion das erste Mal den Wert P=0.9 überschreitet. Das sind diese modernen Abituraufgaben, in manchen Kreise wird das sehr beführwortet, ich finds furchtbar, habe aber da glücklicherweise nichst zu melden. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Lena2327 |
Vielen Dank für deine Antwort, leider dürfen wir keinen GTR benutzen, darauf werde ich sie noch einmal ansprechen. Zu Aufgabe 3 weiß ich leider immer noch nicht mehr?
Danke
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Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort, leider dürfen wir keinen
> GTR benutzen, darauf werde ich sie noch einmal ansprechen.
Habt ihr einen normalen wissenschaftlichen TR, der eventuell in der Lage ist, Wertetabellen zu berechnen (so etwas wie bspw. den CASIO fx-991? Also es ist schon definitiv so, dass diese Aufgabe irgendein Rechenhilfmsittel wie GTR oder CAS erfordert, denn sonst musst du theoretisch ab n=1 den Term links für jedes n so lange getrennt ausrechnen, bis du oberhalb von 0.9 gelandet bist. Das ergibt keinen Sinn!
> Zu Aufgabe 3 weiß ich leider immer noch nicht mehr?
Hm, ich habe dir doch aber eigentlich einen ganz klaren Tipp gegeben. Vergisss mal die Dreierpackungen, das ist ja nur eine typische Nebelkerze, also eine Angabe, die etwas Verwirrung stiften soll (das ist kein Vorwurf: so etwas ist im Rahmen von Stochastikaufgaben sehr sinnvoll, weil die Realität es genauso macht).
Du kaufst also zunächst mal 57 Buchstaben. Für jeden von diesen Buchstaben hast du eine Wahrscheinlichkeit von P=21/26 bzw. P=20/26, dass der Buchstabe ein Konsonant ist (das hängt jetzt noch davon ab, als was man den Buchstaben Y anschaut). Eine klassische Binomialverteilung also, n=57, k=51 und P siehe oben.
Wobei die eigentliche Anweiseung, dass man das Ergebnis bewerten soll, die kann man so (mit den von dir gemachten Angaben) nicht klären. Was habt ihr dazu im Unterricht besprochen, insbesondere was die Bedeutung der Standardabweichung angeht?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Lena2327 |
Ich, bzw. meine Klasse hat den Casio fx-82ES, wer Abitur schreibt hat noch den 991, da ich aber nur mündliches Abitur habe habe ich den nicht. Habe in den von einer Freundin trotzdem mal die Formel eingetippt, die Lösung war aber eher verwirrend: -24, lag vielleicht aber auch daran, das meine Gleichung noch falsch war. Dann werde ich das nochmal versuchen.
Wir haben im Unterricht leider noch nichts dazu gemacht, da das ganze mit 10 weiteren Aufgaben meine Präsentationsleistung ist, meine Mathe Lehrerin hat auch wegen Vorabi keine Zeit mir da zu helfen und hat mir nur kurz folgenden Lösungsansatz geschickt:
3.0 X zählt die Anzahl der Konsomanten: P(42<=X<= 50) = 87,2%
Nun verstehe ich nicht woher die 42 und 50 kommen. Wenn das ganze mich nur hinters Licht führt fällt mir ein das die Wahrscheinlichkeit für Konsonanten 21/26 ja bei ungefähr 81% liegt. Das würde bedeuten von 57 sind 80 % 45,6. Das ist dann quasi die erwartete Anzahl von Konsonanten, wurde aber durch 51 zufällig überschritten, da Wahrscheinlichkeit mit Glück zusammenhängt. Ist das richtig ?
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Hallo,
> Ich, bzw. meine Klasse hat den Casio fx-82ES, wer Abitur
> schreibt hat noch den 991, da ich aber nur mündliches
> Abitur habe habe ich den nicht. Habe in den von einer
> Freundin trotzdem mal die Formel eingetippt, die Lösung
> war aber eher verwirrend: -24, lag vielleicht aber auch
> daran, das meine Gleichung noch falsch war. Dann werde ich
> das nochmal versuchen.
Ich würde das an deiner Stelle unbedingt mit deiner Lehrerin klären. Denn es ist in meinen Augen nicht in Ordnung, bei einer solchen Aufgabe nicht adäquate Hilfsmittel (in diesem Fall wäre IMO ein GTR angemessen) zuzulassen.
> Wir haben im Unterricht leider noch nichts dazu gemacht, da
> das ganze mit 10 weiteren Aufgaben meine
> Präsentationsleistung ist, meine Mathe Lehrerin hat auch
> wegen Vorabi keine Zeit mir da zu helfen und hat mir nur
> kurz folgenden Lösungsansatz geschickt:
>
> 3.0 X zählt die Anzahl der Konsomanten:
> P(42<=X<= 50) = 87,2%
>
> Nun verstehe ich nicht woher die 42 und 50 kommen.
Das verstehe ich auch nicht. Sie berechnet hier die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Konsonanten in den gekauften 19 Netzen zwischen 42 und 50 liegt. Da der Erwartungswert bei knapp über 40 liegt, denke ich, dass sie dir den Hinweis geben wollte, mit einer Wahrscheinlichkeit der Form [mm] P(a\le{X}\le{b)} [/mm] zu rechnen.
Meine Frage von vorher möchte ich wiederholen: in der Aufgabenstellung heißt es wörtlich Beurteilen sie die Abweichung von der erwarteten Anzahl von Konsonanten und Beurteilen ist zunächst einmal keine mathematische Tätigkeit. Da muss irgendeine Beurteilungsgrundlage her, meine Frage ist, ob da nicht doch irgendetwas im Unterricht besprochen wurde, ansonsten kann ich auch nicht mehr sagen als
[mm] E(X)\approx{40.4} [/mm] ; [mm] P(X=51)\approx{0.034}
[/mm]
Bedeutet: die Wahrscheinlichkeit speziell für diesen Wert liegt bei 3.41% aber das ist nun auch nicht wirklich eine Beurteilungsgrundlage.
Nächste Möglichkeit: deine Lehrerin meinte, dass [mm] P(41\le{X}\le{50}) [/mm] relativ groß ist (hat sich jedoch bei der unteren Schranke vertan), so dass man sagen kann, dass es schon eher unwahrscheinlich ist, dass die Anzahl der Konsonanten über 50 liegt. Aber auch das ist wieder subjektiv.
Also: kläre auch hier bitte die gewünschte Herangehensweise, am besten durch ein Gespräch mit deiner Lehrerin. Denn natürlich könnte man hier jetzt sagen, da stimmt etwas nicht, dass sind zu viele Konsonanten. Aber wir bewegen uns mit allen genannten Argumentationen nicht wirklich auf dem Boden der Mathematik.
> Wenn das
> ganze mich nur hinters Licht führt fällt mir ein das die
> Wahrscheinlichkeit für Konsonanten 21/26 ja bei ungefähr
> 81% liegt. Das würde bedeuten von 57 sind 80 % 45,6. Das
> ist dann quasi die erwartete Anzahl von Konsonanten, wurde
> aber durch 51 zufällig überschritten, da
> Wahrscheinlichkeit mit Glück zusammenhängt. Ist das
> richtig ?
Nein, das ist definitiv falsch.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Lena2327 |
Danke, werde nochmal das Gespräch mit ihr suchen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Lena2327 |
Habe nochmal p,n und k in die binomialverteilung eingesetzt und 0,0341 rausbekommen, entspricht dann ja 3,41 Prozent. Ist das dann die Standardabweichung ?
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Hallo,
> Habe nochmal p,n und k in die binomialverteilung eingesetzt
> und 0,0341 rausbekommen, entspricht dann ja 3,41 Prozent.
> Ist das dann die Standardabweichung ?
nein. Die Standardabweichung der Binomialverteilung ist gegeben durch
[mm] \sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}
[/mm]
Das schlägst du bitte selbst nach.
Gruß, Diophant
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