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Forum "Stochastik" - Erwartungswert Binomial
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Erwartungswert Binomial: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Di 13.11.2018
Autor: Valkyrion

Eine Zufallsvariable sei binomialverteilt mit den Parametern n=10 und p=0,25

Der Erwartungswert ist dann ja laut Formel n*p=10*0,25=2,5

1.
Würde man das dann auch als Erwartungswert angeben, auch wenn die Binomialverteilung als diskrete Verteilung eigentlich keine stetigen Zahlen vorsieht?
Oder würde man dann untersuchen welche der beiden benachbarten Zahlen die höhere Wahrscheinlichkeit hat?

2. Wenn jetzt der Erwartungswert (bei einer anderen Binomialverteilung) einen Wert von z.B. 2,8 ergibt, kann man dann immer davon ausgehen, dass bei 3 Treffern die höchste Wahrscheinlichkeit liegt bzw. bei einem Erwartungswert von 2,3 die höchste Wahrscheinlichkeit bei 2 Treffern liegt?

        
Bezug
Erwartungswert Binomial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Di 13.11.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Eine Zufallsvariable sei binomialverteilt mit den
> Parametern n=10 und p=0,25
>  
> Der Erwartungswert ist dann ja laut Formel n*p=10*0,25=2,5
>  
> 1.
> Würde man das dann auch als Erwartungswert angeben, auch
> wenn die Binomialverteilung als diskrete Verteilung
> eigentlich keine stetigen Zahlen vorsieht?
>  Oder würde man dann untersuchen welche der beiden
> benachbarten Zahlen die höhere Wahrscheinlichkeit hat?


in diesem Beispiel ist der Erwartungswert wirklich gleich 2.5 ,
obwohl dieser Wert bei keinem einzelnen Ergebniswert jemals
auftreten kann. Das ist keineswegs ein Widerspruch, denn der
Erwartungswert ist eigentlich als Limes der Mittelwerte der Ereignisse
bei einer gegen unendlich strebenden Anzahl Versuche definiert.

  

> 2. Wenn jetzt der Erwartungswert (bei einer anderen
> Binomialverteilung) einen Wert von z.B. 2,8 ergibt, kann
> man dann immer davon ausgehen, dass bei 3 Treffern die
> höchste Wahrscheinlichkeit liegt bzw. bei einem
> Erwartungswert von 2,3 die höchste Wahrscheinlichkeit bei
> 2 Treffern liegt?


Bei Binomialverteilungen muss nicht in jedem Fall der dem
Erwartungswert nächstliegende ganzzahlige Wert auch der
Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit sein.

Beispiel: n=14 , p=0.2

Der Erwartungswert ist gleich n*p=2.8 .
Es ist aber nicht etwa (wie vermutet)  P(k=3) > P(k=2) ,
sondern es ist etwas erstaunlicherweise exakt  P(k=3) = P(k=2) .  

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert Binomial: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Mi 14.11.2018
Autor: Valkyrion

Hallo,
erst mal danke für die Antwort:

Kann man zumindest sagen, dass der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit einer der beiden benachbarten Werte eines nicht ganzzahlingen Erwartungswertes ist (oder die Wahrscheinlichkeiten der beiden benachbarten Werte sind gleich)?
oder anders formuliert:
Ein ganzzahliger Erwartungswert entspricht immer dem Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit?
Ein nicht ganzzahliger Wert liegt immer zwischen den beiden Werten mit der (gemeinsamen) / den größten Wahrscheinlichkeit(en)?
Gibt es Binomialverteilungen mit mehr als zwei größten Wahrscheinlichkeiten (P(X=3)=P(X=4)=P(X=5))?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert Binomial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Mi 14.11.2018
Autor: Chris84

Huhu
Hier ist dein grosser Denkfehler:

Der Erwartungswert gibt NICHT (auch nicht naeherungsweise) das wahrscheinlichste Ereignis an (wie der Name vielleicht suggerieren koennte).

Beispiel: Man betrachte den einfachen Wuefelwurf: Sechs Seiten, jede Seite GLEICHwahrscheinlich mit p=1/6.
Der Erwartungswert von einem Wuerfel is 3,5, wie man leicht nachrechnen kann. Das heisst aber nicht, dass die Wahrscheinlichkeit am hoechsten ist, eine drei oder vier zu wuerfeln, denn jede Seite/Augenzahl ist ja gleichwahrscheinlich.
Der Wert 3,5 heisst, dass, wenn man sehr haeufig wuerfelt, und die gemittelte Augenzahl ermittelt, genau diese bei etwa 3,5 liegt. Der Erwartungswert gibt also gerade den Mittelwert eines Zufallexperiments.

Hilft das?

Gruss,
Chris

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert Binomial: Bemerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 Mi 14.11.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Chris,

die Frage von Valkyrion bezog sich aber zunächst explizit auf
Binomialverteilungen. Da gehört die (diskrete) Gleichverteilung
beim Würfeln natürlich nicht dazu.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert Binomial: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:14 Do 15.11.2018
Autor: Chris84


> Hallo Chris,
>  
> die Frage von Valkyrion bezog sich aber zunächst explizit
> auf
> Binomialverteilungen. Da gehört die (diskrete)
> Gleichverteilung
>  beim Würfeln natürlich nicht dazu.
>  
> LG ,   Al-Chw.

Hej Al
Dessen bin ich mir natuerlich bewusst :)

Ich wollte nur eben ein Beispiel geben, an dem man gut sieht, dass der Erwartungswert eben nicht das wahrscheinlichste Ereignis angibt, sondern eher als Mittelwert zu betrachten ist.

Gruss,
Chris


Bezug
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