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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Erwartungswert; Dichte
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Erwartungswert; Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Do 15.06.2017
Autor: knowhow

Aufgabe
die Zufallsvariable X besitze die Verteilungsfunktion

[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t\in (-\infty,-1) \\ 1/2, & \mbox{für } t\in[-1,0)\\3/4, &\mbox{für }t\in[0,1)\\1,&\mbox{für}t\in[1,\infty) \end{cases} [/mm]

a) Berechne E(X) und Var(X)
b) Begründe, warum X keine Dichte besitzt.

Hallo

zu a) [mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{-1}{x*0 dx}+\integral_{-1}^{0}{x+1/2 dx}+\integral_{0}^{1}{x*3/4 dx}+\integral_{1}^{\infty}{x*1 dx}=\Bigg[ \bruch{1}{4}x^2 \Bigg]_{-1}^{0}+\Bigg[ \bruch{3}{8}x^2 \Bigg]_0^1+\Bigg[ \bruch{1}{2}x^2\Bigg]_1^{\infty}=\underbrace{-\bruch{1}{4}+\bruch{3}{2}}_{=0}+\Bigg[\limes_{a\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}a^2-\bruch{1}{2}\Bigg] [/mm]
[mm] =\Bigg[\limes_{a\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}a^2-\bruch{1}{2}\Bigg]=\infty [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] E(X) ex. nicht.
[mm] \Rightarrow [/mm] Var(X) ex. somit auch nicht!?

zu b) Kann ich sagen, da E(X) nicht ex. besitzt X keine Dichtefunktion?

und wir haben auch mit Integral gezeigt, dass [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}\not=1 [/mm] ist. aber in diesem Integral war f(x) nicht die Dichtefunktion, kann ich es trotzdem sagen?

Dankeschön im Voraus.

        
Bezug
Erwartungswert; Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Do 15.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

vorneweg: das obige kann man nicht wirklich nachvollziehen. Ist dir selbst einigermaßen klar, was du hier tust? Vermutlich nein, sonst würde das anders aussehen...

> die Zufallsvariable X besitze die Verteilungsfunktion

Ja, halten wir hier gleich mal ein: das ist eine Verteilungsfunktion, keine Dichte!

>

> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t\in (-\infty,-1) \\ 1/2, & \mbox{für } t\in[-1,0)\\3/4, &\mbox{für }t\in[0,1)\\1,&\mbox{für}t\in[1,\infty) \end{cases}[/mm]

>

> a) Berechne E(X) und Var(X)
> b) Begründe, warum X keine Dichte besitzt.
> Hallo

>

> zu a) [mm]E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{-1}{x*0 dx}+\integral_{-1}^{0}{x+1/2 dx}+\integral_{0}^{1}{x*3/4 dx}+\integral_{1}^{\infty}{x*1 dx}=\Bigg[ \bruch{1}{4}x^2 \Bigg]_{-1}^{0}+\Bigg[ \bruch{3}{8}x^2 \Bigg]_0^1+\Bigg[ \bruch{1}{2}x^2\Bigg]_1^{\infty}=\underbrace{-\bruch{1}{4}+\bruch{3}{2}}_{=0}+\Bigg[\limes_{a\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}a^2-\bruch{1}{2}\Bigg][/mm]

>

> [mm]=\Bigg[\limes_{a\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}a^2-\bruch{1}{2}\Bigg]=\infty[/mm]

>

Das alles ist völliger Unsinn. Die Definition (des Erwartungswerts) über das Integral gilt für die zugehörige Dichtefunktion, die du hier nicht hast (wie hängen Verteilungsfunktion und Dichtefunktion im stetigen Fall zusammen?)!

In deinen Unterlagen solltest du eine Darstellung des Erwartungswerts (einer stetigen ZV) haben, die ohne Dichtefunktion auskommt, also nur mit Hilfe der Verteilungsfunktion geschieht. Falls nicht, gucksch du []hier.

Die Varianz lässt sich dann über den []Verschiebungssatz berechnen.


Gruß, Diophant
 

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert; Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 15.06.2017
Autor: knowhow

Wäre dann

[mm] E(X)=-1*\bruch{1}{2}+0*\bruch{3}{4}+1*1=\bruch{1}{2} [/mm] ?

[mm] E(X^2)=\bruch{1}{2} [/mm]

[mm] \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}=0 [/mm]

und warum soll X jetzt Dichtefunktion besitzen?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert; Dichte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Do 15.06.2017
Autor: knowhow

ich meinte in meine letzten Frage warum X keine Dichtefunktion besitzen kann?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert; Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Do 15.06.2017
Autor: Stala

Zur Frage warum es keine Dichte geben kann:

Angenommen die Dichte deiner Verteilungsfunktion wäre g. Dann müsste also gelten:

f(t) = [mm] \int_{-\infty}^t [/mm] g(x) dx

Wenn du dir jetzt überlegst welche Eigenschaft von f dann aus der Integraldarstellung folgt und prüfst ob dein f diese Eigenschaft vielleicht gar nicht aufweist, dann kommst du da recht schnell drauf.

VG

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert; Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Do 15.06.2017
Autor: knowhow

da das Integral niemals den Wert 1 annimmt, kann es keine Dichtefkt. besitzen, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert; Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Do 15.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

viel einfacher: die Nullfunktion kann keine Dichte sein. Die Ableitung der gegebenen Verteilung ist aber die Nullfunktion.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert; Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Do 15.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

in der vorigen Antwort habe ich dir einen Link gepostet, der nicht einfach nur auf eine Wikipediaseite verweist, sondern dort auf einen konkreten Abschnitt mit einer Rechenanweisung wie oben beschrieben. Ich kann nicht erkennen, inwiefern du versucht hast, diesen Hinweis umzusetzen.

(Mich stört das nicht, wohlgemerkt. Es zeigt nur auf, dass es dir an einer strukturierten Arbeitsweise mangelt, was du in deinem eigenen Interesse ändern solltest)

Versuche es nochmal.

Zur Kontrolle: es ist

[mm] E(X)=-\frac{1}{4} [/mm]

Man kann auf diesen Erwartungswert auch ganz intuitiv kommen, indem man sich die Sprünge an den Stellen -1, 0 und 1 anschaut. Aber ich glaube nicht, dass eine solche Argumentation bei einer solchen Übungsaufgabe anerkannt würde.

Für die Varianz per Verschiebungssatz musst du allerdings diese Sprünge verwenden, um für eine neue Zufallsvariable [mm] X^2 [/mm] auf die gleiche Art und Weise wie angegeben eine Verteilungsfunktion herzuleiten, deren Erwartungswert du dann wiederum benötigst. Die Vorgehensweise sollte dann klar sein.


Gruß, Diophant

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