Erwartungswert Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 So 26.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | [mm] E_{n}[X]=\summe_{k=0}^{n}k\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}
[/mm]
Stellen Sie eine Vermutung auf wie eine einfache Formel lauten könnte und beweisen Sie diese mit Induktion. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
ich bräuchte Hilfe bei dem Induktionsbeweis der oben genannten Formel. Ich habe durch das ausrechen der ersten paar Summenglieder die Vermutung aufgestellt das die Summe vereinfacht durch n*p dargestellt werden kann.
Das möchte ich nun mit Induktion beweisen/überprüfen. Ich hab schonmal angefangen aber ich komme nicht weiter.
Induktionsanfang: Die Formel habe ich schon gezeigt für n=0,1,2,3
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}k\vektor{n+1 \\ k}p^{k}(1-p)^{(n+1)-k}= \summe_{k=0}^{n}k\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}+(n+1)\vektor{n+1 \\ n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+1-n-1}=n*p [/mm] + [mm] (n+1)\vektor{n+1 \\ n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+1-n-1}=n*p [/mm] + [mm] (n+1)\vektor{n+1 \\ n+1}p^{n+1}=np+(n+1)p^{n+1}
[/mm]
Ich weiß nicht ob der Schritt korrekt war. Mein gedankengang: Ich Teile die Summe auf in zwei teile und benutze dann meine Induktionannahme das [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}=n*p [/mm] ist. Dann muss ich nur noch das (n+1)te Glied addieren und durch vereinfachen komme ich dann hoffentlich auf (n+1)p. Irgendwie klappt das aber nicht so. Ich wäre sehr dankbar für ein wenig Hilfe.
Grüß
Rzeta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 26.10.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
[mm]k*\pmat{n\\k}=\frac{k*n*(n-1)*...*2*1}{(k*(k-1)*...*1)*(n-k)!}[/mm]
Aus diesem Term kann man n ausklammern, k kürzen und das Verbleibende (unter der Berücksichtigung, dass (n-k) das Gleiche ergibt wie (n-1)-(k-1) )
als einen leicht abgeänderten Binomialkoeffizienten schreiben.
Wenn du außerdem noch aus der Gesamtformel statt [mm] $p^k$ [/mm] besser [mm] $p*p^{k-1}$ [/mm] schreibst, kannst du nicht nur das oben erwähnte n, sondern sogar n*p vor die Summenformel ziehen.
Dann ist nur noch zu beweisen, dass der verbleibende Summenterm 1 ergibt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 26.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
Vielen Dank für die Antwort. Ich bin jetzt bis hierher gekommen:
[mm] k*\vektor{n \\ k}=n*\vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
Mieser Identität habe ich dann die Summe vereinfacht und n*p vor die Summe gezogen:
np [mm] \summe_{i=1}^{n} p^{k-1}(1-p)^{n-k}
[/mm]
Jetzt stecke ich schon wieder fest. :/ (auch wenn mathe echt spaß kann man daran echt verzweifeln)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Mo 27.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort. Ich bin jetzt bis hierher
> gekommen:
>
> [mm]k*\vektor{n \\ k}=n*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
Genau.
> Mieser Identität habe ich dann die Summe vereinfacht und
> n*p vor die Summe gezogen:
>
> np [mm]\summe_{i=1}^{n} p^{k-1}(1-p)^{n-k}[/mm]
Wie kommst du darauf?
[mm] \sum_{k=0}^n [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k} p^k (1-p)^{n-k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n n*\vektor{n-1 \\ k-1}p^k (1-p)^{n-k} [/mm] = np [mm] \sum_{k=1}^n \vektor{n-1 \\ k-1} p^{k-1} (1-p)^{n-k}
[/mm]
So hier kannst du dich an Indexverschiebungen üben! Wir wollen es so verschieben, dass wir den binomischen Lehrsatz anwenden können.
Z.B. die erste Indexverschiebung l=k-1
Die Grenzen der neuen Summe:
k=1 [mm] \Rightarrow [/mm] l=0
k=n [mm] \Rightarrow [/mm] l=n-1
Und überall wo k in der Summe steht schreiben wir l+1 hin.
Schreib die Summe auf und überleg dir dann die zweite Indexverschiebung.
Liebe Grüße,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 26.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
abaskus hat dir wie ich sehe eine Methode an die Hand gegeben die zwar nicht die Induktion benutzt aber dafür nicht so schreibintensiv ist.
Bei deinen Induktionsschritt stimmt schon das erste Gleichheitszeichen nicht. Auch wenn du den (n+1)-ten Term abspaltest von der Summe, darf sich dadurch nicht plötzlich deine ganze Summe ändern, die bleibt gleich nur die obere Grenze wird zu n.
Für den Induktionsschritt:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} [/mm] k [mm] \vektor{n+1 \\ k}p^k (1-p)^{n+1-k}
[/mm]
= (n+1) [mm] \vektor{n+1 \\ n+1} p^{n+1} (1-p)^0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] k [mm] \vektor{n+1 \\ k}p^k (1-p)^{n+1-k}
[/mm]
So sieht die richtige Abspaltung vom (n+1)-ten Term aus.
Ich beginne außerdem bei k=1, denn bei k=0 hab ich ja nur eine 0 dazuaddiert.
Nun stelle ich mir das Pascal´sche Dreieck vor um auf die Identität [mm] \vektor{n+1 \\ k}=\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n \\ k} [/mm] zu kommen.
=(n+1) [mm] p^{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^n k*(\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n \\ k})p^k (1-p)^{n+1-k}
[/mm]
= (n+1) [mm] p^{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^n k*\vektor{n \\ k-1}p^k (1-p)^{n+1-k}+ \sum_{k=1}^n k*\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n+1-k}
[/mm]
Nun sehe ich den (n+1)-ten Term der linken Summe da stehen, und die andere Summe lass ich wieder ab 0 beginnen.
[mm] =\sum_{k=1}^{n+1} k*\vektor{n \\ k-1}p^k (1-p)^{n+1-k}+ \sum_{k=0}^n k*\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n+1-k}
[/mm]
Nun Indexverschiebung der ersten Summe
[mm] =\sum_{k=0}^n [/mm] (k+1) [mm] \vektor{n \\ k}p^{k+1} (1-p)^{n-k}+ \sum_{k=0}^n k*\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n+1-k}
[/mm]
Nun, sind die letzten Schritte deine Aufgabe.
Etwas jeweils herausheben, Induktionsannahme anwenden und binomische Lehrsatz;)
Liebe Grüße,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 So 26.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
Vielen Dank für die Antwort. Ich schau mir das gerade noch durch also brauche ich noch kurz um das zu verstehen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 26.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ich hätte ein paar Fragen zu deiner Umformung:
woher weißt du das (n+1) [mm] p^{n+1} [/mm] der n+1 te summand von [mm] \sum_{k=1}^n k\cdot{}\vektor{n \\ k-1}p^k (1-p)^{n+1-k} [/mm] ist?
Wie kommst du bei der Indexverschiebung in der letzten Zeile von [mm] \sum_{k=1}^{n+1} k\cdot{}\vektor{n \\ k-1}p^k (1-p)^{n+1-k} [/mm] auf vektor{n [mm] \\ k}p^{k+1} (1-p)^{n-k}. [/mm] Ich glaube mittlerweile ich habe das mit der Indexverschiebung völlig falsch verstanden.
Wie kommt man überhaupt darauf sowas auszurechnen und die Terme so umzuformen? Mir kommt das immer vor wie Zauberei. Wenn ich das mache ist das einfach ein blind drauf losbrechen/umformen das meistens in chaos resultiert. Wie bleibt man da frustfrei?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 So 26.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> woher weißt du das (n+1) [mm]p^{n+1}[/mm] der n+1 te summand von
> [mm]\sum_{k=1}^n k\cdot{}\vektor{n \\ k-1}p^k (1-p)^{n+1-k}[/mm]
> ist?
Ausrechnen, was ist das (n+1)-te Glied der Summe?
k=n+1
[mm] (n+1)*\vektor{n \\ (n+1)-1}p^{n+1} (1-p)^{n+1-(n+1)} [/mm] =(n+1) [mm] \vektor{n \\ n} p^{n+1} (1-p)^0 [/mm] = [mm] (n+1)p^{n+1}
[/mm]
> Ich glaube
> mittlerweile ich habe das mit der Indexverschiebung völlig
> falsch verstanden.
Ich verschiebe die Summe um 1, damit ich als Grenzen wieder 0 bis n habe.
Um das deutlicher zu sehen füge ich eine Variable i ein.
k=i+1
Wenn wir bei der vorigen Summe die untere Grenze k=1 haben dann ist i=k-1=1-1=0.
Bei der oberen Grenze k=n+1 ist i=k-1=n+1-1=n
> Wie kommt man überhaupt darauf sowas auszurechnen und die
> Terme so umzuformen? Mir kommt das immer vor wie Zauberei.
> Wenn ich das mache ist das einfach ein blind drauf
> losbrechen/umformen das meistens in chaos resultiert. Wie
> bleibt man da frustfrei?
Ich hab das genauso wie du, schonmal machen müssen und bin angestanden. Wie ich mich erinnere hab ich da aber abaskus Weg vorgezogen. Mit der Zeit erkennst du Ähnlichkeiten. Die Summe hat doch verdammt viel Ähnlichkeit mit dem binomoischen Lehrsatz und deshalb gehst du bei der Induktion genauso vor.
LG,
sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 26.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
Abgesehen davon das ich (noch) nicht weiß wie genau du zu der letzten Zeile gekommen bist habe ich es gelöst:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(k+1)\vektor{n \\ k}p^{k+1}(1-p)^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}(k)\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n+1-k}
[/mm]
Ich schreibe die Erste summe so um das ich [mm] p^{k+1} [/mm] als [mm] p^{k}*p^{1} [/mm] schreibe und klammer dann p aus bzw. ziehe es vor die Summe. Außerdem schreibe ich bei der zweiten summe [mm] (1-p)^{n-k+1} [/mm] als [mm] (1-p)^{n-k}*(1-p)^{1} [/mm] und ziehe (1-p)vor die Summe. Dann sehen meine beiden Terme so aus:
(p)* [mm] \summe_{k=0}^{n}(k+1)\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}+(1-p) \summe_{k=0}^{n}(k)\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}
[/mm]
Jetzt schreibe ich den ersten Term so um das ich (k+1) ausmultipliziere und daraus 2 Summen bekomme:
[mm] (p)*(\summe_{k=0}^{n}(k)\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}+(1-p)*\summe_{k=0}^{n}(k)\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k})
[/mm]
Ich benutze die Induktionsannahme und Die Binomische Formel und schreibe die Summen um:
[mm] (p)(np+1)+(1-p)(np)=np^{2}+p+np-np^{2}=p+np=p(n+1)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 So 26.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Rzeta,
Das passt alles.
Ich hab dir im anderen Post noch was zur Indexverschiebung geschrieben. Vlt. probierst du paar einfache Bsp aus, wo der Index verschoben wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 So 26.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
Super! Das mit der Indexverschiebung hilft auch sehr. Danke für die Hilfe ohne die ich das sicher nicht geschafft hätte.
Einen schönen Sonntag Abend noch.
Liebe Grüße
Rzeta
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