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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungswert/ Kovarianz
Erwartungswert/ Kovarianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert/ Kovarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Sa 10.11.2018
Autor: knowhow

Aufgabe
Der Zufallsvektor [mm] \vec{X}=(X,Y)^{T} [/mm] sei auf dem Dreieck [mm] D=\{(x,y)^T\in\IR^2:x,y\ge 0, x+y\le 1\} [/mm] uniform verteilt.

(i) Bestimme [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y. [/mm]
(ii) Bestimme [mm] E(\vec{X}) [/mm] und [mm] Cov(\vec{X}). [/mm]
(iii) Bestimme [mm] \varphi_{\vec{X}}. [/mm]


hallo,


zu (i): Ich bin davon nun ausgegangen, dass X,Y stetige Zufallsvariablen sind.

[mm] f_x=\int_{0}^{1-x}1dy=\bigg[y]_{y=0}^{y=1-x}=1-x [/mm] und für [mm] f_y [/mm] analog, daher
[mm] f_y=1-y. [/mm]

zu (ii): [mm] E(\vec{X})=\vektor{E(X) \\ E(Y)}=\vektor{\int_{0}^1xf_xdx \\ \int_{0}^1yf_ydy}, [/mm] also

[mm] E(X)=\int_{0}^1xf_xdx=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] E(Y)=\int_{0}^1yf_ydy=\bruch{1}{4}. [/mm]

[mm] Cov(\vec{X})= E(\vec{X}\vec{X}^{T})-E(\vec{X})E(\vec{X}^T)=\pmat{ Var(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(Y,X) & Var(X) } [/mm]

da benötigt man die gemeinsame Verteilung von X,Y. Wie mache ich das?

zu (iii) die Charakteritische Funktion eines Zufallsvektor ist definiert als

[mm] \varphi_{\vec{X}}(\vec{v})=E(e^{i\vec{v}^{T}\vec{X}}). [/mm]

Leider komme ich da nicht weiter. Stimmt bis dahin alles soweit? Habt ihr einige Verbesserungsvorschläge?
Könnt ihr mir Tipps geben? Danke!

        
Bezug
Erwartungswert/ Kovarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Sa 10.11.2018
Autor: luis52


>  
>
> zu (i): Ich bin davon nun ausgegangen, dass X,Y stetige
> Zufallsvariablen sind.
>  
> [mm]f_x=\int_{0}^{1-x}1dy=\bigg[y]_{y=0}^{y=1-x}=1-x[/mm] und für
> [mm]f_y[/mm] analog, daher
> [mm]f_y=1-y.[/mm]

Du arbeitest anscheinend mit der falschen gemeinsamen Dichte von [mm] $(X,Y)^T$. [/mm] Ich meine, sie ist gegeben durch [mm] $f(x,y)=2\cdot 1_D(x,y)$ [/mm] ...

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert/ Kovarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Sa 10.11.2018
Autor: knowhow

Wie kommt der Faktor 2 zustande?

[mm] f_x=2(1-x) [/mm] und [mm] f_y=2(1-y)? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert/ Kovarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Sa 10.11.2018
Autor: luis52


> Wie kommt der Faktor 2 zustande?

Die Menge $D_$ beschreibt ein Dreieck im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der Flaeche $1/2_$. Damit der Block der gemeinsamen Dichte darueber das Volumen $1_$ aufweist, muss seine Hoehe $2_$ sein.

Das kannst du auch ueberpruefen: Bestimme $k_$ (Gleichverteilung!) mit

[mm] $1=\int_0^1\int_0^{1-y}k\,dx\,dy$. [/mm]



>
> [mm]f_x=2(1-x)[/mm] und [mm]f_y=2(1-y)?[/mm]  

Genauer:  [mm]f_x(x)=2(1-x)1_{(0,1)}(x)[/mm].



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