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Forum "stochastische Analysis" - Erwartungswert/Varianz
Erwartungswert/Varianz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert/Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Mo 27.08.2012
Autor: melisa1

Aufgabe
Die reelle Zufallsvariable X nehme die Werte 1,2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/6 bzw. 1/3 an. Die Zufallsvariable Y sei stetig verteilt mit Dichte

f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR f(x)=\begin{cases} 12*x^2(1-x), & \mbox{für } 0\ge x \ge 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x<0 oder x>1 \mbox{ } \end{cases} [/mm]

a)bestimmen sie EX und V(X)
b)bestimmen sie EY und V(Y)
c) Bestimmen sie E(X+Y) und V(X+Y). An welchen Stellen benötigen Sie hier die Unabhaengigkeit von X und Y?

Hallo,

hab das alles schon berechnet, aber die Ergebnisse kommen mir etwas komisch vor. Bitte um Korrektur.

a) EX= 1*1/2+2*1/6+3*1/3= 11/6

[mm] E(X^2)=1^2*1/2+2^2*1/6+3^2*1/3=25/6 [/mm]

V(X)=25/6-121/36= 29/36

b) [mm] EY=\integral_\IR [/mm] y*f(y)dy = [mm] \integral_{0}^{1} y*(12y^2(1-y))dy=[ 3x^4-12/5x^5]_{0}^{1}=3/5 [/mm]

[mm] E(Y^2)=\integral_\IR y^2*f(y)dy [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} y^2*(12y^2(1-y))dy=[ 12/5x^5-12/6x^6]_{0}^{1}=2 [/mm]

[mm] V(Y)=E(Y^2)-(EY)^2=2-9/25=41/25 [/mm]


c)E(X+Y)=E(X)+E(Y)=11/6+3/5=73/30

Da U und V unabhaengig gilt

V(X+Y)=V(X)+V(Y)=29/36+41/25=2201/900

danke schonmal im Voraus

        
Bezug
Erwartungswert/Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 27.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo melisa1,


> Die reelle Zufallsvariable X nehme die Werte 1,2 und 3 mit
> den Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/6 bzw. 1/3 an. Die
> Zufallsvariable Y sei stetig verteilt mit Dichte
>  
> f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR f(x)=\begin{cases} 12*x^2(1-x), & \mbox{für } 0\red{\ge} x \red{\ge} 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x<0 oder x>1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]

Da sollte wohl [mm]\red{\le}[/mm] stehen (\le)

>  
> a)bestimmen sie EX und V(X)
>  b)bestimmen sie EY und V(Y)
>  c) Bestimmen sie E(X+Y) und V(X+Y). An welchen Stellen
> benötigen Sie hier die Unabhaengigkeit von X und Y?
>  Hallo,
>  
> hab das alles schon berechnet, aber die Ergebnisse kommen
> mir etwas komisch vor. Bitte um Korrektur.
>  
> a) EX= 1*1/2+2*1/6+3*1/3= 11/6 [ok]
>  
> [mm]E(X^2)=1^2*1/2+2^2*1/6+3^2*1/3=25/6[/mm] [ok]
>  
> V(X)=25/6-121/36= 29/36 [ok]
>  
> b) [mm]EY=\integral_\IR[/mm] y*f(y)dy = [mm]\integral_{0}^{1} y*(12y^2(1-y))dy=[ 3\red{x}^4-12/5\red{x}^5]_{0}^{1}=3/5[/mm] [ok]

[mm]\red{y}[/mm] aber bitte ;-)

>  
> [mm]E(Y^2)=\integral_\IR y^2*f(y)dy[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1} y^2*(12y^2(1-y))dy=[ 12/5\red{x}^5-12/6\red{x}^6]_{0}^{1}[/mm] [ok] [mm]\red{y}[/mm] !!

> =2

Hmmm, 2/5 meinst du wohl ...

>  
> [mm]V(Y)=E(Y^2)-(EY)^2=2-9/25=41/25[/mm] [notok]

Fehler bei [mm]E[Y^2][/mm]

>  
>
> c)E(X+Y)=E(X)+E(Y)=11/6+3/5=73/30 [ok]
>  
> Da U und V unabhaengig gilt

Was ist [mm]U[/mm] ?

>  
> V(X+Y)=V(X)+V(Y)=29/36+41/25=2201/900

Wieso sind [mm]X,Y[/mm] unabh.?

Beachte die oben falsch berechnete Varianz von [mm]Y[/mm]

>  
> danke schonmal im Voraus

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Erwartungswert/Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mo 27.08.2012
Autor: melisa1

die falsch berechnete Varianz müsste 1/25 sein.

Damit folgt für c)

V(X+Y)=V(X)+V(Y)=29/36+1/25=761/900

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert/Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mo 27.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> die falsch berechnete Varianz müsste 1/25 sein. [ok]
>  
> Damit folgt für c)
>
> V(X+Y)=V(X)+V(Y)=29/36+1/25=761/900 [ok]

Gruß

schachuzipus


Bezug
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