Erwartungswert berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
[mm] $\overline{\mathbb{E}}$ [/mm] ist der Erwartungswert unter dem Maß Q.
[mm] $\mathbb{E}$ [/mm] unter dem Maß P.
P << Q
Ich möchte diesen Erwartungswert berechnen - wobei X ein P - Martingal ist
[mm] $\overline{\mathbb{E}}[\mathbb{E}[X_{t}]|F_{s}]$
[/mm]
Da Martingale konstanten Erwartungswert besitzen ist [mm] $\mathbb{E}[X_{t}] [/mm] = c$
also [mm] $\overline{\mathbb{E}}[c|F_{s}]$ [/mm] , da eine Konstante aber ua von der Filtration ist folgt
[mm] $\overline{\mathbb{E}}[c|F_{s}]$= [/mm] c ?
Stimmt das so ?
lg
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Hiho,
> Ich möchte diesen Erwartungswert berechnen - wobei X ein
> P - Martingal ist
>
>
> [mm]\overline{\mathbb{E}}[\mathbb{E}[X_{t}]|F_{s}][/mm]
[mm] $\mathbb{E}[X_{t}]$ [/mm] ist eine relle Zahl und damit immer [mm] F_s [/mm] meßbar. Daher ist [mm]\overline{\mathbb{E}}[\mathbb{E}[X_{t}]|F_{s}] = \mathbb{E}[X_{t}][/mm] egal ob [mm] X_t [/mm] ein Martingal ist, oder nicht.
Gruß,
Gono
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Ja stimmt, das ist mir klar - es sollte aber [mm] $X_{s}$ [/mm] rauskommen - kann man das eventuell noch über die Martingaleigenschaft von X begründen? (der obige Erwartungswert soll für s<t bestimmt werden)
sicher gilt ja, [mm] $\mathbb{E}[X_{t}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[X_t|F_s]$ [/mm] da Martingale ja konstante Erwartung haben...
und somit
[mm] $\mathbb{E}[X_{t}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[X_t|F_s]=X_s$
[/mm]
passt das ?
Lg Peter
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Hiho,
> Ja stimmt, das ist mir klar - es sollte aber [mm]X_{s}[/mm] rauskommen
das wird es nie, es sei denn [mm] (X_t) [/mm] ist konstant.
> sicher gilt ja, [mm]\mathbb{E}[X_{t}] = \mathbb{E}[X_t|F_s][/mm] da Martingale ja konstante Erwartung haben...
Na das gilt ganz sicher nicht.
Im Allgemeinen ist für Martingale [mm] $\mathbb{E}[X_t|F_s] [/mm] = [mm] X_s \not= \mathbb{E}[X_{t}] [/mm] $
Bevor du nochmehr Unsinn postest, solltest du vielleicht mal die vollständige Frage abschreiben! Dann kann man dir auch besser helfen.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mi 02.12.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hiho,
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> > Ja stimmt, das ist mir klar - es sollte aber [mm]X_{s}[/mm]
> rauskommen
>
> das wird es nie, es sei denn [mm](X_t)[/mm] ist konstant.
Hallo Gono,
Oder die Maße sind äquivalent zueinander - dann kommt tatsächlich [mm] X_{s} [/mm] raus ... als Folge von Radon-Nikodym / Bayes.
ansonsten ohne weitere Infos keine Chance. :)
>
> > sicher gilt ja, [mm]\mathbb{E}[X_{t}] = \mathbb{E}[X_t|F_s][/mm] da
> Martingale ja konstante Erwartung haben...
>
> Na das gilt ganz sicher nicht.
> Im Allgemeinen ist für Martingale [mm]\mathbb{E}[X_t|F_s] = X_s \not= \mathbb{E}[X_{t}][/mm]
>
> Bevor du nochmehr Unsinn postest, solltest du vielleicht
> mal die vollständige Frage abschreiben! Dann kann man dir
> auch besser helfen.
>
> Gruß,
> Gono
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 02.12.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Oder die Maße sind äquivalent zueinander - dann kommt
> tatsächlich [mm]X_{s}[/mm] raus ... als Folge von Radon-Nikodym /
> Bayes.
na das zeige mir mal bitte 
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mi 02.12.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Wir nehmen an, dass die Maße P und Q äquivalent zueinander sind - $P [mm] \sim [/mm] Q$
ich schreibe allerdings für den Erwartungswert unter Q nun [mm] $\mathbb{E}_{Q}$ [/mm] , und für P [mm] $\mathbb{E}_{P}$
[/mm]
[mm] Z_{t} [/mm] sei der Dichteprozess zum Maßwechsel.
es sei s < t < T
[mm] $\mathbb{E}_{Q}[\mathbb{E}_{P}[A_t]|F_{s}] [/mm] = [mm] \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] =\frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] [/mm] = [mm] \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[Z_{T}F_{t}]A_{t}|F_{s}] [/mm] = [mm] \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[Z_{t}A_{t}|F_{s}] [/mm] = [mm] \frac{1}{Z_{s}}Z_{s}A_{s} [/mm] = [mm] A_{s} [/mm] $
letzte Gleichheit folgt aus der Martingaleigeschaft des Dichteprozesses und der von A.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 02.12.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]\mathbb{E}_{Q}[\mathbb{E}_{P}[A_t]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] =\frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[Z_{T}F_{t}]A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[Z_{t}A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}Z_{s}A_{s} = A_{s}[/mm]
beim zweiten Gleichheitszeichen setzt du voraus, was du eigentlich zeigen möchtest, oder wie begründest du das?
Ich sehe nicht, warum im Allgemeinen
[mm] $\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] [/mm] $
gelten sollte.
Rechts kann man zwar noch umformen zu [mm] $\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{t}|F_{s}]$, [/mm] aber das erklärt obige Gleichheit auch nicht.
edit: bzw obige Gleichung ist Äquivalent zu:
[mm] $E_P[A_t] [/mm] = [mm] E_Q[A_t [/mm] | [mm] F_s]$ [/mm] und wenn das für alle s gelten soll, dann insbesondere für $s=0$ und wenn [mm] F_0 [/mm] trivial ist müsste also mindestens gelten:
[mm] $E_P[A_t] [/mm] = [mm] E_Q[A_t]$
[/mm]
Und warum sollte der Erwartungswert von A sich unter einem Maßwechsel nicht ändern?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mi 02.12.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hiho,
>
> > [mm]\mathbb{E}_{Q}[\mathbb{E}_{P}[A_t]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] =\frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[Z_{T}F_{t}]A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[Z_{t}A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}Z_{s}A_{s} = A_{s}[/mm]
>
> beim zweiten Gleichheitszeichen setzt du voraus, was du
> eigentlich zeigen möchtest, oder wie begründest du das?
>
> Ich sehe nicht, warum im Allgemeinen
>
> [mm]\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] = \mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}][/mm]
als Konsequenz der Turmeigenschaft. Mann kann natürlich noch einmal eine Bedingung [mm] $|F_{T}$ [/mm] einschieben
>
> gelten sollte.
> Rechts kann man zwar noch umformen zu
> [mm]\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{t}|F_{s}][/mm], aber das erklärt obige
> Gleichheit auch nicht.
>
> Gruß,
> Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Mi 02.12.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> als Konsequenz der Turmeigenschaft. Mann kann natürlich
> noch einmal eine Bedingung [mm]|F_{T}[/mm] einschieben
dann zeige es doch mal bitte Schritt für Schritt! Sonst kann man den Fehler ja nicht finden
Ich habe ja schon dargelegt, dass aus der Umformung ebenfalls [mm] $E_P[A_t] [/mm] = [mm] E_Q[A_t]$ [/mm] und das gilt im Allgemeinen eben nicht.
Gruß,
Gono
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