Erwartungswert berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 23.04.2007 | | Autor: | ps4c7 |
| Aufgabe | Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*x^{-\bruch{1}{2}}*e^{-\bruch{x}{2}}, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. |
Wie ich an die Sache herangehe ist mir klar (wie man halt den Erwartungswert für eine stetige Verteilung berechnet). Ich habe dann also folgendes Integral:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*x^{\bruch{1}{2}}*e^{-\bruch{x}{2}} dx}
[/mm]
Nur komme ich hier nicht mehr weiter. Hab schon versucht mich schlau zu machen und hab herausgefunden, dass es sich hier um die [mm] \chi^{2}-Verteilung [/mm] handelt (eine Art der Gammaverteilung). Der Erwartungswert müsste aufgrund meiner Informationen 1 sein. Jedoch würd ich gerne wissen, wie ich das Integral lösen kann. Vielleicht kann mir ja jemand hier helfen. Wäre sehr nett!
MfG ps4c7
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 23.04.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
mal etwas auf die Schnelle. Den Bruch vor das Integral ziehen, dann mit Partieller Integration (wohl zwei Schritte) eine Berechnung herbeiführen. Achtung bei den Grenzprozessen an den Integralgrenzen bei den Stammfunktionen!!!!
Sicher geht es über eine Abschätzung schneller, aber die habe ich nicht im Kopf, sorry.
Ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mo 23.04.2007 | | Autor: | ps4c7 |
Jo, die Idee mit der Partiellen Integration hatte ich auch schon. Nur komm ich damit irgendwie nicht weiter. Wäre für jeden Hinweis dankbar!
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[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{\infty}{x^{\bruch{1}{2}}e^{-\bruch{x}{2}} dx}
[/mm]
Setze [mm] k=x^{\bruch{1}{2}^}.
[/mm]
Damit wird [mm] dk/dx=\bruch{1}{2x^\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2k} [/mm] oder 2kdk=dx. Nun hast du
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{\infty}{k e^{-\bruch{k^{2}}{2}} kdk}=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{\infty}{u'v dk}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}uv [/mm] (in den angegebenen [mm] Grenzen)-\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{\infty}{uv' dk}= \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}(-e^{-\bruch{k^{2}}{2}}) [/mm] k (in den angegeb. Grenzen)- [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{\infty}{ (-e^{-\bruch{k^{2}}{2}}) 1 dk}=0-0+\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{\infty}{ e^{-\bruch{k^{2}}{2}} dk}=Integral [/mm] der Gaußverteilung = 1
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