Erwartungswert berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 03.12.2009 | | Autor: | Hugo20 |
| Aufgabe | Seinen [mm] X_{1}, X_{2}, [/mm] .... unabhängige zu dem Parameter p bernoulli-verteilte Zufallsvariablen. Sei Z:= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1{ [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1}=1 [/mm] }
(Die Eins steht für die Indikatorfunktion)
Berechne bei Existenz den Erwartungswert und die Varianz von Z. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
ich habe zuerst versucht, den Erwartungswert zu berechnen und bin mir jetzt überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt. Meine Berechnung sieht so aus:
E(Z)= E( [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1{ [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1}=1 [/mm] } ) =
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] E( 1{ [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1}=1 [/mm] } ) . Das darf man doch so schreiben, oder?
Es gilt ja, dass die Indikatorfunktion entweder 1 oder 0 sein kann.
Also hab ich berechnet:
P ( 1{ [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1}=1 [/mm] } = 1 ) = P ( [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1} [/mm] = 1 ) = 2p(1-p) und
P ( 1{ [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1}=1 [/mm] } = 0 ) = P ( [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1} [/mm] = 0 ) = [mm] (1-p)^2 [/mm] + [mm] p^2
[/mm]
Also ist der Erwartungswert von 1{ [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1}=1 [/mm] } = [mm] 0*((1-p)^2 [/mm] + [mm] p^2) [/mm] + 1*2p(1-p) = 2p(1-p)
Um jetzt aber den Erwartungswert von Z zu bekommen, muss ich die einzelnen Erwartungswerte doch nur noch summieren und erhalte somit:
E(Z)= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 2p(1-p) = 2np(1-p)
Kann das so stimmen? Und wie berechne ich als nächstes am geschicktesten die Varianz von Z?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 03.12.2009 | | Autor: | Hugo20 |
Super, dann hat das also gestimmt, wie ich den Erwartungswert berechnet habe.
Danke für den Tip mit der Formel für die Varianz von Summen von Zufallsvariablen!
In der Formel besteht ja der eine Teil aus der Summe über den Varianzen, der andere Teil aus den Covarianzen.
Der Teil mit den Varianzen war nicht schwierig:
Die Varianz von einem einzelnen 1 { [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1} [/mm] = 1 } ließ sich berechnen durch:
[mm] 0^2 [/mm] * ( [mm] (1-p)^2 [/mm] + [mm] p^2 [/mm] ) + [mm] 1^2 [/mm] * 2p(1-p) - [mm] (2p(1-p))^2 [/mm] =
= 2p - [mm] 6p^2 [/mm] + [mm] 8p^3 [/mm] - [mm] 4p^4
[/mm]
Nun zu den Kovarianzen: Für alle i und j, die nicht benachbart sind, ist die Kovarianz doch Null, weil die jeweiligen Indikatorfunktionen dann unabhängig von einander sind, stimmt das?
Also interessieren mich jetzt nur noch die Kovarianzen von benachbarten i und j. (Ich habe rausbekommen:
Cov ( 1 { [mm] X_{i} [/mm] + [mm] X_{i+1} [/mm] = 1 } , 1 { [mm] X_{j} [/mm] + [mm] X_{j+1} [/mm] = 1 } ) =
= [mm] -3p^2 [/mm] + [mm] 8p^3 [/mm] - [mm] 4p^4 [/mm]
damit bin ich ganz zufrieden),
meine letzte Frage wäre hier nur noch:
Wenn ich jetzt also Var (Z) berechnen will, rechne ich ja laut der Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] Var (...) + [mm] \summe_{i,j=1 , |i-j| = 1}^{n} [/mm] Cov (...)
Da die Varianz ja für alle i gleich ist, kann ich statt dem ersten Summenzeichen ja "n-mal" schreiben. Ist es denn richtig, wenn ich für das Summenzeichen bei der Kovarianz dann "(n-1)-mal" schreibe? Ich betrachte ja immer die benachbarten i und j. Jetzt weiß ich nicht genau, ob ich die Kovarianz n-mal oder (n-1)-mal nehmen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 03.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Nun zu den Kovarianzen: Für alle i und j, die nicht
> benachbart sind, ist die Kovarianz doch Null, weil die
> jeweiligen Indikatorfunktionen dann unabhängig von
> einander sind, stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> meine letzte Frage wäre hier nur noch:
>
> Wenn ich jetzt also Var (Z) berechnen will, rechne ich ja
> laut der Formel:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] Var (...) + [mm]\summe_{i,j=1 , |i-j| = 1}^{n}[/mm]
> Cov (...)
>
> Da die Varianz ja für alle i gleich ist, kann ich statt
> dem ersten Summenzeichen ja "n-mal" schreiben. Ist es denn
> richtig, wenn ich für das Summenzeichen bei der Kovarianz
> dann "(n-1)-mal" schreibe?
Ja. Aber [mm] $2\times$, [/mm] den beispielsweise ist $|3-2|=|2-3|$ ...
> Ich betrachte ja immer die
> benachbarten i und j. Jetzt weiß ich nicht genau, ob ich
> die Kovarianz n-mal oder (n-1)-mal nehmen muss?
>
>
$2(n-1)$
vg Luis
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Varianz von Summen von Zufallsvariablen