Erwartungswert einer Zeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Mo 13.04.2015 | | Autor: | hippias |
| Aufgabe | Die Firma Beachtours kauft $10$ neue Busse. Die Erfahrungen haben gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass einer dieser Busse waehrend eines Betriebsjahres einen Austauschmotor benoetigen wird, [mm] $8\%$ [/mm] betraegt.
Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren zu erwarten ist, dass mehr als die Haelfte der neuen Busse einen Austauschmotor haben wird. |
Hallo Forum,
diese Aufgabe stammt aus einer schriftliche Abiturpruefung, und ich bekomme es nicht heraus. Es waere nett, wenn mir jemand einen Hinweis geben koennte.
Meine Ueberlegungen bisher beinhalten, dass ein Erwartungswert gesucht ist.
1. Ansatz: Ich schaetze die Zeit ab, indem ich sage, dass die Zahl der Busse ohne Austauschmotor gegeben ist durch $f(t)= [mm] 10\cdot 0,92^{t}$, [/mm] $t$ Zeit in Jahren. Der Ansatz [mm] $5>10\cdot 0,92^{t}$ [/mm] liefert dann eine Zeit, die aber Meinung nach kaum die gesuchte Loesung sein duertfe; es wuerde ja kein Erwartungswert berechnet.
2. Ansatz: Hier versuche ich eine regelgerechte Erwartungswertbestimmung, indem ich die Verteilung der Ausfallszeit bestimme. Diese erscheint mir fuer eine Abiturpruefung aber als viel zu anspruchsvoll, zumal ich mit unendlichen Reihen hantieren muss. Ausserdem habe ich die Situation modelliert und meine Wahrscheinlichkeitsfunktion liefert nicht in allen Faellen die richtigen Wahrscheinlichkeiten. Vielleicht findet jemand einen Fehler bzw. einen einfacheren Zugang zu dem Problem.
Ich gehe im folgenden davon aus, dass die Busmotoren unabhaengig voneinander ausfallen. Sei $a:= 0,08$ ihre Ausfallwahrscheinlichkeit.
Es sei [mm] $T_{i}$ [/mm] die Zeit, bis der Bus $i$ einen Austauschmotor benoetigt. $T$ ist geometrisch verteilt, sodass [mm] $P(T_{i}= [/mm] t)= [mm] (1-a)^{t-1}a$ [/mm] gilt. Ferner berechnet man [mm] $P(T_{i}\leq [/mm] t)= [mm] 1-(1-a)^{t}$.
[/mm]
Ich schiebe eine Hilfsueberlegung ein. Es seien nun $m$ Busse gegeben und sei $T'$ die Zeit bis zuerst alle Busse einen Austauschmotor erhalten haben. Setze $M:= [mm] \{1,\ldots,m\}$.
[/mm]
Dann gilt [mm] $T'=t\iff\exists \emptyset\neq X\subseteq [/mm] M$, sodass fuer alle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt [mm] $T_{x}= [/mm] t$ und fuer alle [mm] $y\in M\backslash [/mm] X$ gilt [mm] $T_{y}\leq [/mm] t-1$. Daher $P(T'= t)= [mm] \sum_{\emptyset\neq X\subseteq M} P(T_{x}=t, x\in [/mm] X, [mm] T_{y}\leq [/mm] t-1, [mm] y\in M\backslash [/mm] X)$.
Aufgrund der angenommenen Unabhaengigkeit gilt dann $P(T'= t)= [mm] \sum_{\emptyset\neq X\subseteq M} ((1-a)^{t-1}a)^{|X|} (1-(1-a)^{t-1})^{m-|X|}= \sum_{l=1}^{m}\binom{m}{l} ((1-a)^{t-1}a)^{l} (1-(1-a)^{t-1})^{m-l}=$
[/mm]
[mm] $(\sum_{l=0}^{m}\binom{m}{l} ((1-a)^{t-1}a)^{l} (1-(1-a)^{t-1})^{m-l})-(1-(1-a)^{t-1})^{m}= ((1-a)^{t-1}a+1-(1-a)^{t-1})^{m}-(1-(1-a)^{t-1})^{m}$. [/mm] Ein paar kleinere Vereinfachungen liefern schliesslich $P(T'=t)= [mm] (1-(1-a)^{t})^{m}-(1-(1-a)^{t-1})^{m}$.
[/mm]
Diese Formel stimmt sehr gut mit meiner Simulation ueberein.
Nun zum letzten Schritt. Es seien $n$ Busse gegeben und sei $T''_{m}$ die Zeit bis zuerst genau $m$ der $n$ Busse einen Austauschmotor erhalten haben. Setze $N:= [mm] \{1,\ldots, n\}$.
[/mm]
Dann gilt $T''_{m}= [mm] t\iff\exists X\subseteq [/mm] N$ mit $|X|= m$, sodass fuer die Busse aus $X$ gilt, dass $T'=t$ ist, waehrend keiner der Busse aus [mm] $N\backslash [/mm] X$ ausgefallen ist.
Die Unabhaengigkeit und die obigen Formeln liefern mir [mm] $P(T_{m}''=t)= \binom{n}{m}((1-(1-a)^{t})^{m}-(1-(1-a)^{t-1})^{m})(1-a)^{t(n-m)}$.
[/mm]
Diese Formel liefert durchweg zu kleine Wahrscheinlichkeiten im Vergleich zur Simulation (ausser im Fall $n=m$).
Mit dieser Wahrscheinlichkeit koennte ich wohl den Erwartungswert der Zeit ermitteln (wenn sie stimmen wuerde). Es koennte natuerlich auch Programmierungsfehler meiner Simulation vorliegen.
Es waere nett, wenn mich jemand auf einen Fehler in meinen bisherigen Ueberlegung hinweisen koennte, bzw. einen Hinweis fuer eine einfachere Loesung geben koennte.
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Wahrscheibnlich sollst du so rechnen:
Nach einem Jahr fallen 8 % aus, 92 % bleiben übrig.
Nach 2 Jahren sind dann noch 92% von 92 % = 84,64 % übrig usw..
Somit: [mm] 0,92^x=0,5 [/mm] oder x=log(0,5)/log(0,92)=8.31 Jahre.
Das ganze ist aber völlig unsinnig, da der Verschleiß der Motoren nicht unabhängig vom Lebensalter des Motors ist. Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall des Motors erhöht sich mit dem Alter des Motors.
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