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Forum "Stochastik" - Erwartungswert, unabh. ZV
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Erwartungswert, unabh. ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Fr 25.03.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Seien [mm] $X_1,\dotso, X_n$ [/mm] unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit [mm] $P(X_1\leq [/mm] 0)=0$.

Bestimmen Sie

[mm] $\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1+\dotso+X_n}\right)$ [/mm]

Hallo,

ich möchte diesen Erwartungswert bestimmen.
Leider weiß ich nicht so recht, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann.

Zur Bestimmung des Erwartungswertes benötige ich ja eine Dichtefunktion oder Verteilungsfunktion. Das habe ich hier nicht gegeben.

Mir fehlt ein bisschen der Ansatz und ich würde mich über einen Hinweis, wie man diese Aufgabe lösen kann, sehr freuen.

Vielen Dank.

        
Bezug
Erwartungswert, unabh. ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 So 27.03.2016
Autor: tobit09

Hallo impliziteFunktion!


> Seien [mm]X_1,\dotso, X_n[/mm] unabhängige identisch verteilte
> Zufallsvariablen mit [mm]P(X_1\leq 0)=0[/mm].
>  
> Bestimmen Sie
>  
> [mm]\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1+\dotso+X_n}\right)[/mm]

(Genau genommen müsste man sich erst einmal Gedanken machen, dass der Nenner fast sicher ungleich 0 ist und somit [mm] $\frac{X_1}{X_1+\dotso+X_n}$ [/mm] fast überall definiert ist, und dass sich diese fast überall definierte Abbildung zu einer messbaren Abbildung [mm] $\Omega\to\IR$ [/mm] fortsetzen lässt.
Weiter wäre zu überlegen, dass diese Abbildung fast sicher nichtnegativ ist und somit einen (a priori möglicherweise unendlichen) Erwartungswert hat.)


Bei dieser Aufgabe hilft ein Trick:

Sei [mm] $Y_i:=\frac{X_i}{X_1+\ldots+X_n}$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,n$. [/mm]
Gesucht ist [mm] $EY_1$. [/mm]

Leichter als [mm] $EY_1$ [/mm] ist [mm] $E(Y_1+\ldots+Y_n)$ [/mm] zu bestimmen.

Außerdem gilt eine gewisse "Symmetrie-Eigenschaft":
Man kann sich überlegen, dass [mm] $Y_1,\ldots,Y_n$ [/mm] alle identisch verteilt sind und somit [mm] $EY_1=\ldots=EY_n$ [/mm] gilt.

Reicht das schon als erster Input?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert, unabh. ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 So 27.03.2016
Autor: impliziteFunktion

Danke für die Antwort.

> Leichter als $ [mm] EY_1 [/mm] $ ist $ [mm] E(Y_1+\ldots+Y_n) [/mm] $ zu bestimmen.

Es ist [mm] E(Y_1+\ldots+Y_n)=E(\frac{X_1+\ldots+X_n}{X_1+\ldots+X_n})=E(1)=1 [/mm]

Weil [mm] $X_1,\ldots, X_n$ [/mm] unabhängig sind, sind [mm] $Y_1,\ldots, Y_n$ [/mm] unabhängig und es ist

[mm] $E(Y_1+\ldots+Y_n)=E(Y_1)+\ldots+E(Y_n)=1$ [/mm]

Da die [mm] $Y_i$ [/mm] identisch verteilt sind ist also

[mm] $nE(Y_1)=1$ [/mm] und somit [mm] $E(Y_1)=\frac{1}{n}$ [/mm]

Ist das so korrekt?
Dies wäre nämlich auch das Ergebnis, was ich erwarten würde.
Meine erste naive Rechnung zu der Aufgabe sah nämlich einfach so aus, dass wegen der identischen Verteilung der [mm] $X_i$ [/mm] gilt

[mm] $E(\frac{X_1}{X_1+\ldots+X_n})=E(\frac{X_1}{nX_1})=E(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}$ [/mm]

Was aber sicherlich eine falsche Rechnung ist.

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert, unabh. ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 So 27.03.2016
Autor: tobit09


> Danke für die Antwort.
>  
> > Leichter als [mm]EY_1[/mm] ist [mm]E(Y_1+\ldots+Y_n)[/mm] zu bestimmen.
>
> Es ist
> [mm]E(Y_1+\ldots+Y_n)=E(\frac{X_1+\ldots+X_n}{X_1+\ldots+X_n})=E(1)=1[/mm]

[ok]


> Weil [mm]X_1,\ldots, X_n[/mm] unabhängig sind, sind [mm]Y_1,\ldots, Y_n[/mm]
> unabhängig

Nein, warum sollte das gelten?


> und es ist
>  
> [mm]E(Y_1+\ldots+Y_n)=E(Y_1)+\ldots+E(Y_n)=1[/mm]

[ok] (Linearität des Erwartungswertes unter Berücksichtigung der Tatsache, dass alle [mm] $Y_i$ [/mm] fast sicher nichtnegativ sind)


> Da die [mm]Y_i[/mm] identisch verteilt sind ist also
>  
> [mm]nE(Y_1)=1[/mm] und somit [mm]E(Y_1)=\frac{1}{n}[/mm]

[ok]

(Etwas lästig könnte der exakte Nachweis sein, dass die [mm] $Y_i$ [/mm] tatsächlich identisch verteilt sind. Das hängt auch von euren Vorkenntnissen ab.)


> Meine erste naive Rechnung zu der Aufgabe sah nämlich
> einfach so aus, dass wegen der identischen Verteilung der
> [mm]X_i[/mm] gilt
>  
> [mm]E(\frac{X_1}{X_1+\ldots+X_n})=E(\frac{X_1}{nX_1})=E(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}[/mm]
>  
> Was aber sicherlich eine falsche Rechnung ist.

Letztlich stimmen alle Gleichheiten. Aber das erste Gleichheitszeichen ist nicht begründet und ich wüsste auch keine sinnvolle Begründung.

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