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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Erwartungswert und Varianz
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Erwartungswert und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Do 25.12.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Berechnen Sie jeweils Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung folgender Dichtefunktion

[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \alpha*e^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t \ge 0 \end{cases} [/mm]

Dabei sei [mm] \lambda [/mm] >0 und [mm] \alpha \in [/mm] R geeignet zu bestimmen

Den Erwartungswert bestimme ich mit

[mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt} [/mm]

aber wie bestimme ich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \lambda [/mm] ?

        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Do 25.12.2014
Autor: andyv

Hallo,

[mm] $\lambda$ [/mm] ist fest und [mm] $\alpha$ [/mm] ist so zu bestimmen, dass [mm] $1=\int f(t)\mathrm{d}t$ [/mm] (Normierung) gilt, was wegen der Integrierbarkeit von f auch möglich ist.

Liebe Grüße



Bezug
                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Do 25.12.2014
Autor: arbeitsamt

Hallo,


[mm] 1=\int_{0}^{\infty} f(t)\mathrm{d}t=[\bruch{\alpha}{-\lambda}*e^{-\lambda*t}]_{0}^{\infty}=\bruch{\alpha}{\lambda} [/mm]

[mm] 1=\bruch{\alpha}{\lambda} [/mm]

[mm] \lambda=\alpha [/mm]


kann man eig. immer die folgende Gleichung

[mm] 1=\int f(t)\mathrm{d}t [/mm]

benutzen und eine unbekannte Konstante zu bestimmen?


> [mm]\lambda[/mm] ist fest

was genau meinst du damit? wieso muss ich [mm] \lambda [/mm] nicht bestimmen? ist [mm] \lambda [/mm] keine unbekannte ?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Do 25.12.2014
Autor: DieAcht

Hallo arbeitsamt,



> [mm]\lambda=\alpha[/mm]

[ok]

> kann man eig. immer die folgende Gleichung
>  
> [mm]1=\int f(t)\mathrm{d}t[/mm]
>  
> benutzen und eine unbekannte Konstante zu bestimmen?

Schau dir die Definition einer Dichte an! Diese Eigenschaft muss
unter Anderem gelten, damit wir überhaupt von einer Dichte reden
können.

> > [mm]\lambda[/mm] ist fest
>
> was genau meinst du damit? wieso muss ich [mm]\lambda[/mm] nicht
> bestimmen? ist [mm]\lambda[/mm] keine unbekannte ?

[mm] $\lambda>0$ [/mm] (fest) sind die erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall.
Das spielt aber für diese Aufgabe keine besondere Rolle. Falls du
dazu mehr wissen willst, dann google mal "Exponentialverteilung".


Gruß
DieAcht


Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:50 Sa 27.12.2014
Autor: arbeitsamt

Hallo,

[mm] f(t)=\alpha*e^{-\lambda*t} [/mm]

[mm] \alpha=\lambda [/mm]


[mm] f(t)=\lambda*e^{-\lambda*t} [/mm]



[mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt} [/mm]

da der Funktionswert gleich Null ist für t<0, kann ich dann die Integralgrenzen ändern zu

[mm] E(x)==\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt} [/mm]

kann ich das so machen? oder muss ich das sogar so machen? (bitte auf beide fragen eingehen)

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:05 Sa 27.12.2014
Autor: andyv

Hallo,

du musst!
$ [mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t\cdot{}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} dt} [/mm] $ ist falsch, da $f(t)=0$ für negative t.

Liebe Grüße


Bezug
                                                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Sa 27.12.2014
Autor: arbeitsamt

[mm] E(t)=\integral_{0}^{\infty}{t\cdot{}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} dt} [/mm]

[mm] E(t)=[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-\lambda*t} dt} [/mm]

[mm] =[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+[-\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_{0}^{\infty} [/mm]


[mm] =\bruch{1}{\lambda} [/mm]


[mm] Var(t)=\integral_{0}^{\infty}{(t- \bruch{1}{\lambda})^2*\lambda*e^{-\lambda*t} dt} [/mm]


[mm] =\integral_{0}^{\infty}t^2*\lambda*e^{-\lambda*t}dt-\integral_{0}^{\infty}2t*e^{-\lambda*t}dt+\bruch{1}{\lambda}\integral_{0}^{\infty}e^{-\lambda*t} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{\lambda^2} [/mm]

Standardabweichung [mm] \sigma=\bruch{1}{\lambda} [/mm]

ich soll noch die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion zeichnen. wie mache ich das hier?


die Dichtefunktion lautet [mm] f(t)=\lambda*e^{-\lambda*t} [/mm] für [mm] t\ge [/mm] 0


wie zskizziere ich das jetzt ein wenn ich [mm] \lambda [/mm] nicht kenne?



Bezug
                                                        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Sa 27.12.2014
Autor: DieAcht


>
> [mm]E(t)=\integral_{0}^{\infty}{t\cdot{}\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t} dt}[/mm]
>  
> [mm]E(t)=[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-\lambda*t} dt}[/mm]
>  
> [mm]=[\bruch{1}{-\lambda}e^{-\lambda*t}*t]_{0}^{\infty}+[-\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_{0}^{\infty}[/mm]
>  
>
> [mm]=\bruch{1}{\lambda}[/mm]

Nein. Richtig:

      [mm] E(X)=\bruch{1}{\lambda}. [/mm]

> [mm]Var(t)=\integral_{0}^{\infty}{(t- \bruch{1}{\lambda})^2*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}[/mm]
>  
>
> [mm]=\integral_{0}^{\infty}t^2*\lambda*e^{-\lambda*t}dt-\integral_{0}^{\infty}2t*e^{-\lambda*t}dt+\bruch{1}{\lambda}\integral_{0}^{\infty}e^{-\lambda*t}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{\lambda^2}[/mm]

Nein. Richtig:

      [mm] V(X)=\bruch{1}{\lambda^2}. [/mm]

Außerdem geht das einfacher: Was ist denn die Varianz einer
Zufallsvariable in Abhängigkeit vom Erwartungswert?

> Standardabweichung [mm]\sigma=\bruch{1}{\lambda}[/mm]
>  
> ich soll noch die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
> zeichnen. wie mache ich das hier?
>  
>
> die Dichtefunktion lautet [mm]f(t)=\lambda*e^{-\lambda*t}[/mm] für
> [mm]t\ge[/mm] 0
>  
>
> wie zskizziere ich das jetzt ein wenn ich [mm]\lambda[/mm] nicht
> kenne?

Zeichne die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion zum Beispiel mit
folgenden Werten für [mm] \lambda:\quad\frac{1}{4},\quad\frac{1}{2},\quad\frac{3}{4},\quad $2\$. [/mm] Du solltest dann etwas
erkennen.

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