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Forum "Stochastik" - Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert und Varianz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert und Varianz: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Sa 12.12.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Berechnen Sie jeweils Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zu folgenden Dichtefunktionen. Skiziieren Sie außerdem Dichtefunktion f und zugehörige Verteilungsfunktion F.

a)

[Dateianhang nicht öffentlich]

b)

[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \alpha{e}^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t\ge0 \end{cases} [/mm]

Dabei sei [mm] \lambda>0 [/mm] fix und [mm] \alpha\in\IR [/mm] geeignet zu bestimmen

c)

[mm] f(x_i)=(1-q)q^i [/mm] für [mm] x_i\in\IN_0 [/mm]

Hinweis: [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q} [/mm]

d) [mm] f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2} [/mm]


a)

Erwartungswert:

[mm]E(X)=-1*0,1+0*0,4+1*0,2+2*0,2+3*0,1=0,8[/mm]

Varianz:

[mm] Var(X)=(-1-0,8)^2*0,1+(0-0,8)^2*0,4+(1-0,8)^2*0,2+(2-0,8)^2*0,2+(3-0,8)^2*0,1=1,1 [/mm]

Standardabweichung:

[mm] \sigma=\pm\wurzel{1,1} [/mm]

b) Wie bestimme ich [mm] \lambda [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Sa 12.12.2015
Autor: DieAcht

Hallo Rebellismus!


> Berechnen Sie jeweils Erwartungswert, Varianz und
> Standardabweichung zu folgenden Dichtefunktionen.
> Skiziieren Sie außerdem Dichtefunktion f und zugehörige
> Verteilungsfunktion F.
>  
> a)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> b)
>  
> [mm]f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \alpha{e}^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t\ge0 \end{cases}[/mm]
>  
> Dabei sei [mm]\lambda>0[/mm] fix und [mm]\alpha\in\IR[/mm] geeignet zu
> bestimmen
>  
> c)
>  
> [mm]f(x_i)=(1-q)q^i[/mm] für [mm]x_i\in\IN_0[/mm]
>  
> Hinweis: [mm]\summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q}[/mm]
>  
> d)
> [mm]f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2}[/mm]
>  
> a)
>  
> Erwartungswert:
>  
> [mm]E(X)=-1*0,1+0*0,4+1*0,2+2*0,2+3*0,1=0,8[/mm]
>  
> Varianz:
>  
> [mm]Var(X)=(-1-0,8)^2*0,1+(0-0,8)^2*0,4+(1-0,8)^2*0,2+(2-0,8)^2*0,2+(3-0,8)^2*0,1=1,1[/mm]

*Ich* komme auf [mm] $1,36\$. [/mm]
  

> Standardabweichung:
>  
> [mm]\sigma=\pm\wurzel{1,1}[/mm]

Wie kommst du auf [mm] $\pm$? [/mm] Es gilt [mm] $\sigma=\sqrt{Var(X)}\approx [/mm] 1.17$.

> b) Wie bestimme ich [mm]\lambda[/mm] und [mm]\alpha[/mm] ?

Du irrst dich: [mm] $\lambda>0$ [/mm] ist fix, also unveränderlich. Man sagt auch "fest".
Deine Aufgabe ist es nun [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] zu bestimmen. Dazu folgende Definition / Erinnerung:

Eine Dichtefunktion ist eine Abbildung [mm] $f\colon\IR\to[0,\infty)$, [/mm] so dass [mm] \int_{\IR}f(x)\mathrm{d}x [/mm] existiert und den Wert Eins hat.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Sa 12.12.2015
Autor: Rebellismus

[mm] 1=\integral_{0}^{\infty}{f(t) dt} [/mm]

[mm] 1=\integral_{0}^{\infty}{\alpha*e^{-\lambda*t} dt}=[\bruch{-\alpha}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{\alpha}{\lambda} [/mm]

[mm] \lambda=\alpha [/mm]

Erwartungswert:

[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty} [/mm]

Ich bin mir nicht sicher, aber ich würde jetzt sagen:

E(X)=0

weil der Term [mm] -t*e^{-\lambda*t} [/mm] für [mm] t=\infty [/mm] gegen Null geht und der Term [mm] t*e^{-\lambda*t} [/mm] für t=0 ebenfalls gegen Null geht.

Varianz:

[mm] Var(X)=\integral_{0}^{\infty}{t^2*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t^2*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=0 [/mm]

Standardabweichung:

[mm] \sigma=0 [/mm]

Stimmt die Lösung?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Sa 12.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> [mm]1=\integral_{0}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]

>

> [mm]1=\integral_{0}^{\infty}{\alpha*e^{-\lambda*t} dt}=[\bruch{-\alpha}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{\alpha}{\lambda}[/mm]

>

> [mm]\lambda=\alpha[/mm] [ok]

>

> Erwartungswert:

>

> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}[/mm]

Das letzte "=" stimmt nicht mehr, will heißen, deine Stammfunktion passt nicht ...

Du solltest partiell integrieren ..

>

> Ich bin mir nicht sicher, aber ich würde jetzt sagen:

>

> E(X)=0

>

> weil der Term [mm]-t*e^{-\lambda*t}[/mm] für [mm]t=\infty[/mm] gegen Null
> geht und der Term [mm]t*e^{-\lambda*t}[/mm] für t=0 ebenfalls gegen
> Null geht.

>

> Stimmt die Lösung soweit?

Nicht ganz .... Leite zur Kontrolle "deine Stammfunktion" mal ab.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Sa 12.12.2015
Autor: Rebellismus

Erwartungswert:

[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}-[\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{1}{\lambda} [/mm]

aber jetzt stimmt die lösung oder?

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Sa 12.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Erwartungswert:

>

> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}-[\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{1}{\lambda}[/mm]

>

> aber jetzt stimmt die lösung oder?

Ja!

Gruß
schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: aufgabe c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Sa 12.12.2015
Autor: Rebellismus

Wie wende ich die allgemeine Formel:

[mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt} [/mm]

bei aufgabe c) an?

Ich hätte folgendes integral gebildet:

[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{x_i*f(x_i) dx}=\integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx} [/mm]

ist das dass richtige integral? wie integeriere ich das? betrachte ich das [mm] x_i [/mm] bei der Integration al sganz normales x? dann gilt ja

[mm] \integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx}=[\bruch{1}{2}x_i*(1-q)q^i]_{0}^{\infty} [/mm]

ist das soweit richtig?


Bezug
                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Sa 12.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Wie wende ich die allgemeine Formel:

>

> [mm]E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}[/mm]

>

> bei aufgabe c) an?

>

> Ich hätte folgendes integral gebildet:

>

> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{x_i*f(x_i) dx}=\integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx}[/mm] [notok]

>

> ist das dass richtige integral?

Nein, du hast doch hier einen diskreten Fall vorliegen, da brauchst du diese Summenformel ...

> wie integeriere ich das?
> betrachte ich das [mm]x_i[/mm] bei der Integration al sganz normales
> x? dann gilt ja

>

> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx}=[\bruch{1}{2}x_i*(1-q)q^i]_{0}^{\infty}[/mm]

>

> ist das soweit richtig?

Nein

Gruß

schachuzipus
>

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 13.12.2015
Autor: Rebellismus

Dann gilt für den Erwartungswert:

[mm] E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}x_i*(1-q)q^i [/mm]

Es gilt:

[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(1-q)q^i=(1-q)*\bruch{1}{1-q}=1 [/mm]

Dann gilt für:

[mm] E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}x_i*(1-q)q^i=0+1+2+3+4+....+\infty=\infty [/mm]

stimmt die Lösung?


Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 So 13.12.2015
Autor: luis52


> Dann gilt für:
>  
> [mm]E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}x_i*(1-q)q^i=0+1+2+3+4+....+\infty=\infty[/mm]
>  
> stimmt die Lösung?
>  


Moin, mit Verlaub, das ist ziemlicher Unsinn. Es ist



$ [mm] E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}i\cdot{}(1-q)q^i [/mm] $

zu bestimmen.

Bezug
        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: aufgabe d)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 So 13.12.2015
Autor: Rebellismus

wie bestimmt man bei d) den Erwartungswert und die Varianz?

soweit ich weiß kann man die gegebene DichteFunktion bei d) nicht integrieren

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 13.12.2015
Autor: luis52


> wie bestimmt man bei d) den Erwartungswert und die
> Varianz?
>  

$f(t)$ ist die Dichte einer Normalverteilung ...

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 So 13.12.2015
Autor: Rebellismus

Ich verstehe nicht genau was du mir sagen willst.

Den Erwartungswert bestimmt man mit der formel:

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt} [/mm]

gegeben ist nun foglende Dichte:

[mm] f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2} [/mm]

Soweit ich weiß kann man f(t) nicht integrieren. Wie bestimme ich hier dann den erwatungswert?

außerdem ist doch das [mm] \mu [/mm] im exponenten doch der erwartungswert oder? das verwirrt mich ein bisschen

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 So 13.12.2015
Autor: fred97


> Ich verstehe nicht genau was du mir sagen willst.
>  
> Den Erwartungswert bestimmt man mit der formel:
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}[/mm]
>  
> gegeben ist nun foglende Dichte:
>  
> [mm]f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2}[/mm]

f hast du falsch abgeschrieben


>  
> Soweit ich weiß kann man f(t) nicht integrieren

•••••••   und tf (t) ......   ?


Fred


>. Wie

> bestimme ich hier dann den erwatungswert?
>  
> außerdem ist doch das [mm]\mu[/mm] im exponenten doch der
> erwartungswert oder? das verwirrt mich ein bisschen


Bezug
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