Erwartungswert, verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Gruppe aus vier Mädchen (m1 bis m4) und fpnf Jungen (j1 bis j5) geht auf einen spieluplatz, auf dem k Schaukeln sind. DIe betreuerin los aus er wauf die schaukel darf.
auf den ersten Spielplatzt gibt es K=2 schaukeln, geben sie die anzahl der möglichen Loskombinationen an und bestimmen sie die Wahrscheinlichekti mit der
1. nur Jungen auf die schaukel dürfen
2. mindestens ein Mädchen auf die Schaukel darf
Ermitteln sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X für die Anzahl der Mädchen die Schaukeln dürfen und berechnen sie den Erwartungswert von X |
| Aufgabe 2 | B) auf dem zweiten spielplatzt sind K04 Schaukeln vorhanden
ermitteln sie die wahrscheinklichkeitsverteilung der zufallsvariablen Y für die anzahl der Jungen die schaukeln dürfen und berechnen sie die wahrscheinlichkeit dafür dass mehr mädchen als ungen schaukeln dürfen
Die vier schaukeln sind mit 4 jungs besetzt und die mädchn vermuten dass beim lose gemogelkt wurde. Kann man bei ener Irrtumswahrscheinlichkeit von 3 % dem Mädchen Recht geben |
| Aufgabe 3 | | Nach einigen Tagen stellt die Betreuerin das Auslosen ein. SIe hat beocbatet dass jedes Kind im Mittel 15 minuten pro stunde schuakelt und möchte das besetzen des vier vorhanden schaukeln dem zufall überlassen. Sie nimmt dazu a, dass der eines kindes zu schaukeln unabhängig von dden Wünschen der übrigen Kinder ist. untersuchen sie wie oft es unter diesen Anahmen vorkommt das ein kind warten muss. |
Hallo, und shconmal danke für die Hilfe, die ich im dringend brauche. Ich hab mit jeder hier aufgezahählten probleme.
für die mögliche anzahl von Loskombinationen muss ich doch einfach [mm] k^n, [/mm] also [mm] 2^9 [/mm] ausrechnen oder nicht ?
für die Wahrscheinlichkei dass ein junge drankommt kann man ja fix einen baum zeichnen, also 5/9 *5/9 oder nicht ?
bei dem mädchen was mindestne einmal auf der schaukel sein muss, was muss da machen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestell
so das was dannach komtm versteh ich nichtmal was ist die zufalsariable x und wire rechnent man den erwartungwert in diesem fall aus (ich hab schon versucht mir das beizubringen bin aber rigoros gescheitert)
Nun zu Aufgabe 2
Ist mit der zufallsvariabel eben 5/9 (jungen) und 4/9 (Mädchen) gemeint ? und wie rechen ich das aus. SOrry für die allgemien frage aber das ist mir alles ein wenig zu hoch
nun zu aufgabe 3
da versteh ich gar ncihts wäre super wenn mir da sjemand ncoh erklären könnte.
SO mit dem haufen fragen bedanke ich mich schonmal für die arbeit die hier geacht wird.
MFG mr. HYDE
ich brauch die antworten möglchst bis morgen deswegen die kurze beabreitungszeit
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Aufgabe 1
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> Gruppe aus vier Mädchen (m1 bis m4) und fpnf Jungen (j1
> bis j5) geht auf einen spieluplatz, auf dem k Schaukeln
> sind. DIe betreuerin los aus er wauf die schaukel darf.
>
> auf den ersten Spielplatzt gibt es K=2 schaukeln, geben sie
> die anzahl der möglichen Loskombinationen an und bestimmen
> sie die Wahrscheinlichekti mit der
> 1. nur Jungen auf die schaukel dürfen
> 2. mindestens ein Mädchen auf die Schaukel darf
>
> Ermitteln sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
> Zufallsvariablen X für die Anzahl der Mädchen die
> Schaukeln dürfen und berechnen sie den Erwartungswert von
> X
Deine Lösung:
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> für die mögliche anzahl von Loskombinationen muss ich
> doch einfach also ausrechnen oder nicht ?
Was? Ich sehe keinen Lösungsvorschlag deinerseits für die Anzahl der Loskombinationen.
Zunächst: Die Schaukeln sind laut Aufgabenstellung anscheinend nicht unterscheidbar.
Die Mädchen und Jungen anscheinend sind unterscheidbar, weil sie mit m1,...,m4 usw. bezeichnet werden.
Es sollen also aus der 9 - elementigen Menge (m1,m2,m3,m4,j1,j2,j3,j4,j5) zwei Personen gezogen werden (diejenigen, die schaukeln dürfen). Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge (Schaukeln sind nicht unterscheidbar).
Was für eine Formel kennst du da? (Ergebnis sollte sein: 36)
> für die Wahrscheinlichkei dass ein junge drankommt kann
> man ja fix einen baum zeichnen, also 5/9 *5/9 oder nicht ?
Nein. Wenn ein Junge ausgewählt wurde, sind ja nur noch 8 Personen und 4 Jungen da.
Daher lautet die Lösung
P(zwei Jungen) = 5/9*4/8.
Etwas allgemeiner ginge das mit der ![[]](/images/popup.gif) Hypergeometrischen Verteilung: Wir haben 9 Personen, 5 Jungen, 4 Mädchen. Die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Zügen j Jungen zu bekommen ist
P(j Jungen) = [mm] $\frac{\begin{pmatrix}5\\ j \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\ 2-j\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9 \\ 2\end{pmatrix}}$
[/mm]
Wenn du hier j = 2 einsetzt, erhältst du obiges.
> bei dem mädchen was mindestne einmal auf der schaukel sein
> muss, was muss da machen ?
Betrachte das Gegenereignis:
P(Mind. ein Mädchen) = 1 - P(kein Mädchen) = 1 - P(2Jungen)
Und die Wahrscheinlichkeit P(2Jungen) wurde bereits in der vorherigen Aufgabe berechnet.
> so das was dannach komtm versteh ich nichtmal was ist die
> zufalsariable x und wire rechnent man den erwartungwert in
> diesem fall aus (ich hab schon versucht mir das
> beizubringen bin aber rigoros gescheitert)
X soll die Anzahl der Mädchen auf Schaukeln sein.
Weil nur 2 Schaukeln da sind, kann X nur die Werte 0,1,2 annehmen.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist die Angabe der Wahrscheinlichkeiten
P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2).
Du sollst also ausrechnen:
P(X = 0) = P(kein Mädchen) = P(2Jungen) = ... schon oben berechnet ...
P(X = 1) = P(ein Mädchen, ein Junge) = ???
P(X = 2) = P(zwei Mädchen) = ???
Dazu folgende Hilfestellung: Wie ich schon oben geschrieben habe, ist diese Anzahl hypergeometrisch verteilt. D.h. es gilt für m = 0,1,2
$P(X = m) = [mm] $\frac{\begin{pmatrix}5\\ 2-m\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\ m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9 \\ 2\end{pmatrix}}$
[/mm]
Damit kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen.
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Der Erwartungswert von X ist
E[X] = 0*P(X = 0) + 1*P(X = 1) * 2*P(X = 2).
2. Aufgabe
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> auf dem zweiten spielplatzt sind K04 Schaukeln
> vorhanden
> ermitteln sie die wahrscheinklichkeitsverteilung der
> zufallsvariablen Y für die anzahl der Jungen die schaukeln
> dürfen und berechnen sie die wahrscheinlichkeit dafür
> dass mehr mädchen als ungen schaukeln dürfen
> Die vier schaukeln sind mit 4 jungs besetzt und die
> mädchn vermuten dass beim lose gemogelkt wurde. Kann man
> bei ener Irrtumswahrscheinlichkeit von 3 % dem Mädchen
> Recht geben
Deine Lösung:
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> Ist mit der zufallsvariabel eben 5/9 (jungen) und 4/9
> (Mädchen) gemeint ? und wie rechen ich das aus. SOrry für
> die allgemien frage aber das ist mir alles ein wenig zu
> hoch
Nein, die Zufallsvariable gibt die Anzahl der Jungen auf Schaukeln an. Weil jetzt 4 Schaukeln da sind, ist Y entweder 0,1,2,3 oder 4.
(Der Wert einer Zufallsvariablen ist erst NACH dem Experiment bekannt. Vor dem Experiment kann man nur sagen, was für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Zufallsvariable hat)
Mit den Hinweisen von oben dürfte es die möglich sein, die Wahrscheinlichkeitsverteilung anzugeben. Es ist wieder eine Hypergeometrische Verteilung.
Bezeichnet $X$ die Anzahl der Mädchen auf Schaukeln, so gilt $X = 4-Y$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Mädchen als Jungen auf Schaukeln sitzen ist
$P(X [mm] \ge [/mm] Y) = P(4-Y [mm] \ge [/mm] Y) = P(4 [mm] \ge [/mm] 2 Y) = P(2 [mm] \ge [/mm] Y) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)$.
Nun kannst du's ausrechnen.
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Das letzte sieht nach einem Hypothesentest aus. Habt ihr sowas schonmal gemacht?
Also wie habt ihr den Begriff "Irrtumswahrscheinlichkeit" im Unterricht eingeführt?
Evtl. ist es hier hilfreich, zunächst P(Y = 4) zu berechnen.
3. Aufgabe
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> Nach einigen Tagen stellt die Betreuerin das Auslosen ein.
> SIe hat beocbatet dass jedes Kind im Mittel 15 minuten pro
> stunde schuakelt und möchte das besetzen des vier
> vorhanden schaukeln dem zufall überlassen. Sie nimmt dazu
> a, dass der eines kindes zu schaukeln unabhängig von dden
> Wünschen der übrigen Kinder ist. untersuchen sie wie oft
> es unter diesen Anahmen vorkommt das ein kind warten
> muss.
Deine Lösung:
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> da versteh ich gar ncihts wäre super wenn mir da sjemand
> ncoh erklären könnte.
Was hattet ihr dazu schon im Unterricht?
Ab jetzt ist Mädchen oder Junge irrelevant. Es geht nur noch um 9 Kinder, die unabhängig voneinander schaukeln wollen. Es werden keine Aussagen darüber gemacht, ob die Kinder in der Stunde "zusammenhängend" schaukeln oder immer mal wieder auf die Schaukel gehen.
Wir betrachten jetzt eine fest ausggewählte Stunde.
Man kann denke ich annehmen: Ein Kind ist zu einem Zeitpunkt mit Wahrscheinlichkeit p = 1/4 auf der Schaukel.
Ein Kind muss warten, wenn bereits alle 4 Schaukeln besetzt sind.
Man kann das folgendermaßen modellieren:
Führe Zufallsvariablen [mm] $X_1,...,X_9$ [/mm] ein , die nur Werte 0 oder 1 annehmen. [mm] $X_i [/mm] = 1$ bedeutet, dass Kind i auf einer Schaukel sitzt. Die Anzahl $S = [mm] X_1 [/mm] + ... [mm] +X_9$ [/mm] ist die Anzahl der Kinder, die gerade auf der Schaukel sitzen. S ist binomialverteilt mit n = 9, p = 1/4.
Wenn mehr als 4 Kinder gleichzeitig schaukeln wollen, muss eines warten. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind in einer Stunde mal auf eine Schaukel warten muss:
P(S > 4).
Jetzt kannst du es ausrechnen.
Viele Grüße,
Stefan
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